Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

917.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

1	2	3

Задача 8. Найти ранг. A 2	4	6	Ответ: 1.
	20	30
10	20	30
			1		2	3

Задача 9. Найти ранг матрицы и базисный минор. A				2	4	8	.
				5	10	1
				5	10	1

Ответ: 2.

1		1	0	3
	1	2	2	1
Задача 10. Найти ранг матрицы.
	2	1	0	2

Решение. Преобразуем матрицу. Ко 2-й строке прибавим 1-ю, а от

1		1	0	3
	0	3	2	4
третьей отнимем удвоенную 1-ю.					теперь к третьей
	0	3	0	4

1		1	0	3
	0	3	2	4
прибавим вторую					. Ранг равен 3, так как есть
	0	0	2	0

невырожденный минор 3 порядка. Ответ r(A) = 3.

Замечание. Если бы на месте a33 изначально было число -2, то ранг был бы меньше, так как в итоге получилась бы третья строка из всех

1		1	0	3	1		1	0	3
	1	2	2	1		0	3	2	4
					преобразуется к					.и тогда r(A) = 2.
	2	1	2	2		0	0 0		0

Задача 11. Доказать, что 3 столбец матрицы является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.

1		5	11			1			5		11

	2	1	0	ответ 1 и 2. Реш.	x1	2	x2		1			0
	3	4				3			4
	3	4	11			3			4		11
					1	2	1	1		0
					0	1	1	2		1
Задача 12. Найти ранг матрицы					0	1	1	2		1	ответ r = 3.
Задача 12. Найти ранг матрицы					0	1	1	3		2	ответ r = 3.
					0	1	1	3		2

					1	0	1	4		3
					1	0	1	4		3

Практика 4.

Элементы векторной алгебры.

Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.

(a,b) (b, a)

[a,b] [b, a]

(a,b c) (a,b) (a, c)

[a,b c] [a,b] [a, c]

(a,b) (a,b)

[a,b] [a,b]

(a, a)

[a, a] 0

(a,b)

cos

[a,b]

sin

Примеры ре шения задач.

Пример 1. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3) 1 1 1

1 2 3 = 1e1 2e2 1e3 = (1, 2,1) . Также можно проверить, что

e1 e2 e3

он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й, получим 0). Ответ (1,-2,1).

Задачи для практического занятия.

Задача 1. Найти скалярное и векторное произведение векторов: (1,3,-

2) и (3,1,-5).

Ответ скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

Задача 2. a r s , b 2r s ,	r	1,	s	1, угол между ними 45 град.
Задача 2. a r s , b 2r s ,	r	1,	s	1, угол между ними 45 град.
Найти (a, b).

Реш. (r s,2r s) 2(r, r) 2(s, r) (r, s) (s, s) = 2																							r	2 3(r, s)	s	2 =
Реш. (r s,2r s) 2(r, r) 2(s, r) (r, s) (s, s) = 2																							r	2 3(r, s)	s	2 =
2		r		2 3		s		r	cos(45)				s	2	3 3			1	.
														2				1

																		2
Задача 3, 4, 5:																		2
Задача 3, 4, 5:
Векторы a,b выражены через p,r: a 3 p r ,																						b p 3r .
			5,
	p		5,		r				2 , угол между ними 45 град.
Задача 3. Найти (a,b). Ответ																29.
Задача 4. Найти \| [a,b] \|.															Ответ 50.
Задача 5. Найти \| a \| 2. Ответ 257.
Задачи 6,7 на повторение к контрольной:
																1		1		7 1
																	0	5		8
6. Найти обратную матрицу																	0	5		8	.
																	3	9		1
																	3	9		1
										67		62			27
	Ответ.						1				24	20				8
																		.
																		.
148											15		6			5
											15		6			5

4		2	8	0	1 3 3				7
	1	3	3	7		0	1	5	1
7. Найти ранг матрицы					сводится к
	1	4	8	8		0	0	46	18

Ответ: ранг = 3.

2 урок:

Контрольная по темам 1 Умножение матриц

2Определители

3Обратная матрица

4Ранг матрицы.

Практика 5.

Системы линейных алгебраических уравнений. Примеры ре шения задач.

Пример 1. Решение матричным методом:							x1 2x2	4	.
Пример 1. Решение матричным методом:									.
						3x1 4x2		10
1	2 x				4	, обратную матрицу для
Матричный вид системы:		1				, обратную матрицу для
	4
3	4	x2		10
		2			1
этой матрицы ранее находили, это							. Тогда
			3 / 2		1/ 2
			3 / 2		1/ 2

x1	2		1		4		2		x 2 , x		1 .
						=		. Итак,	x 2 , x	2	1 .
		3 / 2	1/ 2				1		1	2
x2		3 / 2	1/ 2	10			1

Пример 2. Метод Крамера xi										Ai

											A


x1		2x2		4	.
		4x2		10	.
3x1		4x2		10
		4	2				1		4
x	10 4			4 2 ,		x		3 10
	10 4							3 10

1		1	2	2		1		1	2
		1	2	2				1	2
		3	4					3	4

на примере той же системы:

2 1 .

Пример 3. Решение системы методом Гаусса.

x1	x2		x3		3
Решить систему уравнений: x1	2x2		3x3
					6
2x	x	2	x	3	4
1

Решение. Выполним преобразования расширенной матрицы:

1		1	1	3	1 1			1	3	1 1			1	3

	1	2	3	6		0	1	2	3		0	1	2	3 .
	2	1	1	4		0	1	1	2		0	0	1	1
	2	1	1	4		0	1	1	2		0	0	1	1

Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.

Система после преобразований:

x1 x2	x3	3
x2	2x3	3 , из последнего x	3 = 1, подставляем в
	x3
	x3	1

предпоследнее, будет x2 2 3 , то есть x2 =1. Далее, уже известные x2 и x3 подставми в первое уравнение, и получим x1 =1.

Ответ x1 =1, x2 =1, x3 = 1, или x (1,1,1) .

Поиск координат в новом базисе.

Пример 4. В декартовом базисе координаты вектора (3,2) Найти координаты в новом базисе, состоящем из векторов (1,1) и (1,0) Запишем их сначала как неизвестные в векторном равенстве:

x	1	x		1	3	это очевидно, преобразуется к системе:
x		x				это очевидно, преобразуется к системе:
1			2	0	2
	1			0	2

x	x		3	.
1		2	2	.
x1			2
Ответ: координаты (2,1).
Общее и частное решение.
			x1 x2 x3 3
Пример 5.			x1 2x2			2x3		5
			2x 3x		2	3x	3	8
				1	2		3

Запишем расширенную матрицу и преобразуем еѐ методом Гаусса:

1		1	1	3	1		1	1	3	1 1			1	3	1 1 1				3

	1	2	2	5		0	1	1	2		0	1	1	2		0	1	1	2	.
	2	3	3	8		2 3		3	8		0	1	1	2		0	0	0	0
	2	3	3	8		2 3		3	8		0	1	1	2		0	0	0	0

Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0 , очевидно, его можно вычеркнуть.

Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу.

Здесь m = 3, n = 4, r = 2.

Развернѐм две оставшихся строки снова в систему уравнений:

x		x		x			3
	1		2			3
		x2 x3			2

Здесь перенесѐм x3 вправо, именно 3-я переменная - свободная, так как баисный минор обвели в левом углу.

x		x		3 x	3 Основная матрица системы фактически стала
	1		2		3 Основная матрица системы фактически стала
		x2 2 x3

квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных

1		1
переменных образует такую квадратную матрицу:		.
	0
	0	1

Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров.

Видно, что x2 уже и так выражена, x2 2 x3 . Подставим это выражение в 1 уравнение, чтобы выразить отдельно x1 через x3 .

x1 (2 x3 ) 3 x3 , в итоге x1 1. Как видно, свободные переменные

где-то могут и сократиться полностью, то есть какие-то базисные переменные выражаются просто через константу. Но в других примерах могут и все базисные зависеть от свободных переменных.

Итак, x1 1, x2 2 x3 - это общее решение. В нѐм есть один свободный параметр x3 .

Его можно записать также и в виде такого вектора: (1,2 x3 , x3 ) . Если задавать любое x3 R , будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями.

Например, при x3 = 0 получим (1,2,0). А при x3 = 1 получим (1,1,1).

При x3 = 2 получим (1,0,2), также можно задавать дробные значения
x3 , например, частным решением является также и	1,	3	, 1	2	.
		2		2

Частных решений бесконечно много.

Однородные системы.

x1 x2 x3 x4 0									запишем основную
Пример 6. (r=2, n=4).	2x2	x3 2x4 0							запишем основную
x1	2x2	x3 2x4 0
матрицу, преобразуем еѐ	1 1		1 1						1 1 1 1
матрицу, преобразуем еѐ										снова

	1 2		1 2						0 1 2 1
	x		x		x		x		0
представим в виде системы:		1		2		3		4		базисный минор
		x2 2x3 x4 0

порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная

	x		x		x		x	4 .
- свободные. Перенесѐм их через знак равенства.		1		2		3		4 .
			x2 2x3 x4
x2 уже выражено: x2 2x3	x4 , подставим это в первое уравнение,
чтобы выразить и x1 .
x1 (2x3 x4 ) x3 x4 , x1 3x3 .
Общее решение: { x1 3x3	, x2 2x3 x4 }.

Если поочерѐдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

x3 : 1, x4 : 0 , получим ( 3,2,1,0) x3 : 0, x4 : 1 , получим (0, 1,0,1) .

Эти 2 вектора { ( 3,2,1,0) , (0, 1,0,1) } и есть ФСР. Это n r частных

решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы. В этом примере n 4 , r 2 .

Пример 7.

x x

(r=2, n=3)

x1 2x2 x3 0

x2 2x3 0

x2 2x3

x2 2x3 , тогда

x1 2x3

x3 ,

x1 3x3

Общее решение { x1 3x3 , x2 2x3 }. Присвоим x3 : 1 , получим

остальные неизвестные.

ФСР состоит всего из одного вектора: ( 3,2,1) . Все остальные решения пропорциональны этому.

Задачи для практического занятия.

Задача 1. (8.16 [1]) Найти косинус угла между векторами a (3,3,1),b (3,1, 3) . Ответ. 9/19.

Нужно воспользоваться тем, что скалярное произведение = произв. модулей на косинус угла.

Задача 2. (8.19 [1]) Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами a, b , если a 3p 2q,b 4 p 5q ,

p 4, q 2 , угол между p,q равен 6 . Отв. 92.

Задача 3. (8.18 [1]) Найти проекцию вектора a (4,5, 6) на ось b (1, 2, 2) . Отв. 2.

2x3

Задача 4. Решить систему уравнений

2x2

3x3

Ответ x1 =2, x2 =1, x3 =1.

Задача 5. Решить систему уравнений методом Гаусса

3x3

2x2

2x3

4x1

Ответ x1 = -1

=1, x3 =4.

Задача 6. Решить систему уравнений методом Гаусса

4x1

3x2

2x3

2x2

3x3

6x1

Ответ x1 =1,

=2, x3 = -1.

5x1

3x2

2x3 3

Задача 7. a (1,1),b (2,1) Найти новые координаты вектора (3,2).

Ответ. (1,1).

Задача 8. a (1,1),b (1,0) Найти новые координаты вектора (5,4).

Ответ. (4,1).

Задача 9. a (1,2,3),b (0,1,1),c (1,1,1) . Найти новые координаты вектора (0,3,4). Ответ. (1,2,-1).

Задача 10. Решить неоднородную систему с прямоугольной матрицей:

x x		x			2			x x		x		2	x x	2 x
1	2		3		Решение.			1	2		3	,	1 2	3	,
x1 2x2 3x3					3			x2 2x3				1	x2	1 2x3
общее реш:				x	1 x
общее реш:				1		3	,
				x2	1 2x3

частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2) ... вообще, их бесконечно много.

Задача 11. Решить соответствующую однородную систему для системы из задачи 10:

x x		x			0			x x		x		0	x x		x
1	2		3		Решение.			1	2		3	,	1	2		3	,
x1 2x2 3x3					0			x2 2x3				0	x2		2x3
				x	x
общее реш:				1		3	, ФСР (1,-2,1).
				x2	2x3

Практика 6 Линейные операторы, собственные векторы.

Примеры ре шения задач.

Пример 1.

Как построить матрицу по общему виду функции.

L(x1 , x2 ) (2x1 3x2 , x1 4x2 )

Отобразим базис: (1,0) (2,1) , (0,1) (3,4) .Запишем в столбцы:

2		3
A			.
	1	4
	1	4

Образ произвольного вектора как раз и получается таким, как

требуется в изначальной формуле:	2		3 x			2x 3x
требуется в изначальной формуле:					1	1		2
		1	4	x	2	x 4x	2
					2	1	2

Алгоритм поиска собственных векторов.

1.Записать характеристическую матрицу A E , то есть вычесть по диагонали произвольное .

2.Вычислить определитель A E и приравнять к нулю - получится

характеристическое уравнение.

3. Решить характеристическое уравнение A E 0 , найти все

собственные числа.

Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, так как по диагонали n элементов.

4. Подставить каждое конкретное в характеристическую матрицу, и решить однородную систему

( A E)x 0 . Таких шагов может быть n. Каждый раз надо изменить

диагональ и заново решить систему!

ФСР системы это и будет собственный вектор для того .

Пример 2.	1		3	найти собственные числа и векторы.
Пример 2.	A			найти собственные числа и векторы.
		2	6
		2	6

A E	1	3			Далее,			1		3		0 .
	1	3						1		3
	=		.
		6							2	6
	2	6							2	6
(1 )(6 ) 6 0 ,
Рещим это уравнение:			2		7 0 . Получим						0,		2	7 .
											1		2
Теперь подставим каждое и решим системы уравнений.
0 :
1 0	3 x	0		,	1	3 x				0				x	3x		0	.
	1			,			1			, система:				1		2		.
														2x1	6x2 0
2	6 0 x2	0			2	6 x2				0				2x1	6x2 0

Общее решение: x1 3x2 , вектор ( 3,1) .

7 :

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021530.34 Кб25887.pdf
#
05.02.2023447.49 Кб05893.pdf
#
05.02.2023444.4 Кб05894.pdf
#
05.02.2023432.93 Кб15898.pdf
#
05.02.2023239.46 Кб05905.pdf
#
05.02.2023917.83 Кб35906.pdf
#
05.02.2023647.91 Кб15909.pdf
#
05.02.2023652.02 Кб05910.pdf
#
05.02.2023334.11 Кб15921.pdf
#
05.02.2023429.77 Кб15925.pdf
#
05.02.2023309.53 Кб15926.pdf