22

Тема 2. Операции на графах

2.1. УДАЛЕНИЕ ВЕРШИНЫ

При удалении вершины удаляются все инцидентные ей рёбра.

Пример.

В графе G = (X,U) на рисунке 2.1 удалить вершину х1.

Результат выполнения данной операции ¾ Граф G’ (рисунок 2.2) .

u2.

Граф G" (рисунок 2.3) – результат выполнения данной операции.

23

u1 G” u3

Рисунок 2.3

Если из графа требуется удалить некоторое множество вершин и рёбер, то эта процедура сводится к последовательному удалению каждой вершины отдельно и отдельно каждого ребра.

2.3. ЗАМЫКАНИЕ (ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ) ВЕРШИН

Для любой заданной пары вершин Vi, Vj операция замыкания сводится к отождествлению этих вершин в новую вершину Vk , при этом все рёбра, инцидентные вершинам Vi и Vj становятся инцидентными вершине Vk .

ПРИМЕР: На графе G=(X,U), представленном на рисунке 4а), выполнить операцию «замыкания» вершин x1 и x2.

На рисунке 4б) представлен граф G", полученный из графа G, после «замыкания» вершин х1 и х2, где вершина xk=(x1+x2).

24

Рисунок 2.4

2.4. СТЯГИВАНИЕ ВЕРШИН ГРАФА ПО РЕБРУ

Операция стягивания вершин xi и xj графа G(X,U) по инцидентному им ребру uk включает операцию удаления ребра uk и операцию отождествления вершин xi, xj .

ПРИМЕР: На рисунке 2.5б) представлен граф G^, полученный из графа G (рисунок 2.5а) операцией стягивания вершин х4 , х2 по ребру u2.

25

Рисунок 2.5

2.5. СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ГРАФОВ

Пусть G=(V, X) и H =(U,Y) – два графа.

Через G ÅH будет обозначаться граф, называемый симметрической разностью графов G и H с множеством вершин W = VÈ U и множеством рёбер Z= XÅY , состоящим из тех и только тех рёбер, которые входят ровно в одно из множеств X или Y.

2.6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАФОВ

Пересечение графов G=(V, X) и H=(U,Y) есть граф G Ç H , вершинами которого являются вершины , присутствующие одновременно и в графе G и в графе H, а множество рёбер состоит только из рёбер, присутствующих одновременно и в графе G и в графе H.

2.7. ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРАФОВ

Объединением графов G=(V, X) и H=(U,Y) называется граф

26

Рисунок 2.6

Симметрическая разность G (H графов G и H :

Рисунок 2.7.

x2

Объединение G H графов G и H :

G H

27

Рисунок 2.8.

Пересечение G Ç H графов G и H (рисунки 2.10, 2.9):

a

x1 x2

Рисунок 2.10

Упражнения для самопроверки

1.Для неорграфов G(X,U), H(Z,V), L(Y,W) выполнить следующие операции:

GÅL; GÈH; HÇG; HÇL; GÇL, если U={(x1,x2), (x1,x5), (x1,x3), (x1,x4), (x4,x5), (x3,x2), (x3,x4), (x3,x5)}; V={(z1,z2), (z1,z3), (z1,z5), (z3,z4), (z4,z5) }; W={(y1,y3), (y1,y5), (y2,y3), (y5,y3), (y4,y3), (y2,y4) }.

2.Определить какой из графов G, H, L является эйлеровым, полуэйлеровым, гамильтоновым.

3.Даны неорграфы G(X,U), H(X,V), L(X,W). Пусть X={x1,x2, x3,

x4,x5}, U={(x3,x4), (x4,x5)}, V={(x2,x1)}, W={(x2,x1), (x3,x4), (x4,x5)}.