119

f14 = `x`y Ú x`y Ú `x y .

f14 = K0 Å K1 Å K2 = x y Å xy Å x y = (x Å 1)( y Å 1) Å ( x + 1) y Å x( y + 1) = = 1Å x Å x Å y Å y Å xy Å xy Å xy = 1Å xy.

2.4. ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ

Система функций å называется функционально полной системой, если любая логическая функция может быть представлена формулой над å , т.е. являться суперпозицией функций из å .

Теорема. Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Действительно, для всякой логической функции, кроме константы «0», таким представлением может служить её СДНФ. (Дизъюнкция конституент «1», равных «1» на тех же наборах, что и заданная функция, называется СДНФ переключательной функции).

Константу «0» также можно представить булевой формулой x`x .

Из теоремы следует, что система å = {&, , ¬} является функционально полной:

f ( x1 , x2 , , xn ) = K j1 K j 2 K jm

где Kji – это наборы переменных, где функция принимает значение «1». СДНФ функции f представляет собой разложение функции по всем n переменным.

Согласно принципу двойственности, справедливому в алгебре Буля, имеем следующий вывод: ¾ любая булева функция f(x1, x2, … , xn) может быть представлена в виде конъюнкции дизъюнкций её аргументов на тех наборах их значений, на которых f(x1, x2, … , xn ) принимает значение «0». Таким представлением булевой функции служит совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

120

Представление булевых функций двух аргументов в формах СДНФ и СКНФ приведены в таблице 2.3.

122

2.5. ПРИМЕРЫ

Пример 1.

Логическую функцию f(x1, x2, x3 )=(x1 ~ ¬x2) → ((x1 x3 ) & x2) представить булевой формулой - в виде СДНФ.

Решение.

1.Функция f (x1, x2, x3 ) задана не булевой формой.

2.По исходной формуле восстановим её таблицу истинности.

3.По таблице истинности составим СДНФ заданной функции:

f (x1,x2 ,x3 )= x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3

Пример 2. Привести к ДНФ функцию:

f (x, y, z) = xy x(y xz)(x(y z) yz)

Решение.

f (x, y, z) = xy Ú x(y Ú xz)(x(y Ú z) Ú yz) =

= xy Ú (xy Ú xxz) × x(y Ú z) × yz = xy Ú xy(x Ú (y Ú z)) × yz = = xy Ú xy(x Ú yz) × (y Ú z) = xy Ú xy(x y Ú xz Ú y yz Ú yzz) =

xy Ú xy(x y Ú xz Ú yz) = xy Ú xy(x y Ú yz) = xy Ú xyz = y(x Ú xz) = y(x Ú z) = = xy Ú yz.

Пояснение к решению.

При проведении эквивалентных преобразований функции f(x,y,z) применяли правила де Моргана, законы действия с константами 0 и 1

(x ¬x =1)

и закон идемпотентности.

x xy = x·1 xy = x·(y y) xy = xy xy xy xy =x y .

123

Пример 3.

Привести к СДНФ функцию: f (x,y,z ) = xy ¬x y ¬z

Решение.

f (x, y, z) = xy Ú xyz = xy × 1Ú xyz = xy × (z Ú z) Ú xyz = = xyz Ú xyz Ú xyz.

Пример 4.

Представить булеву формулу x1 x2 ¬x2 ( x3 x4 ) в базисе {& , ¬} и в базисе { ,¬}.

Решение.

Применим правила де Моргана и правило двойного отрицания.

а) в базисе {&,¬}: f = x1 x2 ¬x2 ( x3 x4 ) =

Пример 5. Упростить булеву формулу:

f(x1, x2 , x3) = x1 x1 x3 ¬x1 x2 x3 x 2 ¬x3

Решение:

f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x1 x3 x1 x2 x3 x2 x3 =

x1(1 x3) x1 x2 x3 x2 x3 = x1 x1 x2 x3 x2 x3 = = x1 x2 x3 x2 x3 = x1 x2.

Пример 6.

Доказать тождество: x1 ¬x1x2x3 = x1 x2x3 .

Доказательство.