99

РАЗДЕЛ 2. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ РАЗЛОЖЕНИЯ

2.1. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

Определение. Переключательной функцией (ПФ) f(x1,x2,…,xn) называется однозначное отображение вектора X = (x1,x2,…,xn), каждая переменная xi (xi X) которого принимает значение из множества {0,1,…,ki

– 1}, i = 1,2,…,n в множество f, f {0,1,…,kf -1}.

В случае, если k1 = k2 =…= ki =…= kn = kf = k, получаем определение k-значной функции; в пределе, когда k = 2 – определение булевой

функции.

ПФ можно задавать:

−табличным способом;

−теоретико-графовым;

−аналитическим способом.

Табличными способами являются одномерные и двумерные таблицы. Одномерная таблица, определяющая функцию f(x1, x2, …, xn), имеет размеры:

∏n ki × (n + 1) , i= 1

где ∏n ki – количество строк, которые взаимно однозначно соответствуют

i= 1

векторам X = (x1, x2, …, xn); (n + 1) – количество столбцов; из них n столбцов взаимно однозначно соответствуют предметным переменным x1, x2, …, xn, (n + 1)-й столбец – функциональной переменной f.

Пример 2.1. Пусть x1 {0, 1, 2}; x2 {0, 1}; x3 {0, 1}; f {0, 1, 2, 3}. Определим переключательную функцию с помощью одномерной таблицы.

101

используются категории (классы):

−мографа G M (f) (модельный граф),

−гиперграфа HB (f),

−графа Кёнига K (f) и

−гиперкуба H(f).

Рассмотрим их.

Задание переключательной функции мографом

Задание переключательной функции мографом GM(f) связано с одномерной таблицей (см. таблицу 2.1).

Каждая вершина vi мографа взаимно однозначно соответствует

первичному терму vi ↔ xiσ i , σ i = 0, 1; f jσ j , σ j = 0, 1, 2.

Взаимно однозначно идентифицируем строки одномерной таблицы 0… 00, 0… 01, … как 1, 2, 3, …, 12.

102

Вершина f k соединяется с вершиной xik , если f k и xik входят в одинаковые наборы.

f (4,7,11)=0

Рисунок 2.2

Задание переключательной функции гиперграфом

Гиперграф HB( f ), определяющий функцию f(x1, x2, …, xn) по существу является диаграммой Эйлера.

Фрагмент гиперграфа HB( f ), определяющий первые два значения рассматриваемой функции f(x1, x2, x3), представлен на рисунке 2.3.

103

x2 =0

x3=1

Рисунок 2.3

Очевидно, что при большом числе строк соответствующей одномерной таблицы, геометрическое представление гиперграфа функции не обеспечивает должной наглядности. В этом случае его целесообразнее представлять модифицированной матрицей инциденций.

Задание переключательной функции гиперкубом

Гиперкуб H(f) – каждый вектор X функции f(x) взаимно однозначно сопоставляется вершине гиперкуба, и две вершины смежны, если соответствующие им векторы отличаются в одном и только одном разряде ровно на 1.

Значение переменной называют фазой.

Каждая вершина гиперкуба взвешена значением функции f(x1, x2, …, xn).

105

Так, количество вершин во втором ярусе равно:

nj – количество разрядов, в которых могут встречаться символы 1, 1; nj = 3, n(li) = 2 (так как «1» встречается сразу в двух разрядах). Символ «2» может встречаться только в одном разряде – nj = 1, n(li) = 1 (n(li) – количество символов). Отсюда имеем:

3! × (2!)–1 + 1! × (1!)–1 = 3 + 1 = 4.

Рассчитаем количество вершин в первом ярусе. Первому ярусу соответствуют вершины, которые взвешены значениями функции f(x1, x2, x3) = {3, 1, 2}.

Выпишем из таблицы (2.1) вектора, соответствующие этим значениям:

Применяя формулу (2.1), учитываем, что вектора вершин смежных должны отличаться только в одном разряде и всего на «1», и сумма фаз переменных векторов равна i (i – номер фазы; фаза – это значение переменной).