95
|
|
1 |
(10)4 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(12)12 |
(8) 8 |
(22)7 |
(10) |
|
(11)11 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
(14)9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
17 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
(18) |
|
|
(12)12 |
10 |
(12) |
|
(10)10 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
(17)17 |
|
|
|
|
|
|
( 9)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 10.15.
|
|
1 |
(10)4 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
(12)12 |
(8) 8 |
(22)7 |
(10) |
(11)11 |
s |
|
|
|||
(14)9 |
5 |
|
6 |
(10)10 |
|
|
(18)17 |
|
|
(12)12 |
t |
|
( |
(12)12 |
|
||
|
|
|
(17)17 |
||
|
|
( 9)5 |
|
||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 10.16.
7.Выполнив действия, связанные с увеличением допустимого потока в сети (рисунки 10.1 –10.16) от вершины s к вершине t , переходим
кпостроению минимального разреза сети Т.
8.Алгоритм нахождения минимального разреза сети
96
8.1. Процедура “пометок вершин “
Начальное состояние: ¾ все вершины не имеют пометок.
Вершине s приписывается пометка.
Всем вершинам xi Î {Gs}, для которых дуга (s, xi) не насыщена:
¾
с si > j si присваиваются пометки.
Всем вершинам xk Î {G xi}, для которых дуга (xi , xk,) не насыщена:
¾
сij > j ij присваиваются пометки.
Входе присвоения пометок вершинам сети возможны две
ситуации:¾
1. Удалось присвоить пометку вершине t, из чего следует, что в сети есть путь от вершины s к вершине t, все дуги которого не насыщены. Следовательно, поток на сети может быть увеличен за счёт его увеличения на пути s,…, t (с помощью рассмотренного выше алгоритма).
2. Не удалось присвоить пометку вершине t. Следовательно, на сети получен максимальный поток и, для его вычисления, возможно, построить минимальный разрез.
На рисунке 10.17 приведён результат пометок вершин для рассматриваемой сети:
|
1 |
(10)4 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
(12)12 |
(8) 8 |
(22)7 |
(10) |
(11)11 |
|
|
|
||||
(14)9 |
5 |
(12)10 |
6 |
(10)10 |
|
(18)17 |
|
|
(12)12 |
t |
|
( |
(12)12 |
(17)17 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
( 9)5 |
2 |
4 |
|
Рисунок 10.17.
97
8.2. Определение дуг минимального разреза
По результату алгоритма пометок, когда не возможно пометить вершину t (сток), определяем дуги минимального разреза: ¾ это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы – в не
помеченных вершинах. |
|
|
|
|
|||
|
В наше примере это дуги us,1 ; u5,6 |
; u2,6 |
; u3,t ; u4,t (см. рисунок 10.18). |
||||
|
Таким образом минимальный разрез данной сети Т = (us,1 ; u5,6 ; |
||||||
u2,6 |
; |
|
A=(1, 6, t) |
|
|
|
u3,t ; u4,t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
1 |
(10)4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(12)12 |
(8) 8 |
(22)7 |
(10) |
(11)11 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
s |
(14)9 |
5 |
(12)10 |
6 |
(10)10 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18)17 |
|
(12)12 |
(12)12 |
|
|
|
|
|
( |
|
(17)17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( 9)5 |
4 |
|
||
|
|
Рисунок 10.18.
Вычисление величины максимального потока Фmax:
Фmax = сs,1 + |
с5,6 + с4,t + с2,6 + с3,t = 12+10+17+12+ 11 = 62. |
|
Допустимый поток максимальной величины на заданной сети G ¾ |
||
найден. |
|
|
Упражнения |
|
|
1. Для сети |
G = (X,U, С), где | X | = 6, |
| U | = 10 и U = {(x1, x2), |
(x1, x3), (x2, x4), (x2, |
x5), (x3, x2), (x3, x5), (x4, x3), |
(x5, x4), (x4, x6), (x5, x6)}, |
определить: ¾ является G насыщенной, т.е. |
в G задан максимальный |
|
98
допустимый поток, или G ненасыщенная, если известно, что дуги сети
(x1, x2), (x4, x6), (x3, x5), (x2, x4), (x5, x4) ¾ насыщенные. |
|
||||
2. |
Определить максимальный поток в сети G = (X,U, С), где | X | = 6, |
||||
| U | = 10, пропускные |
способности |
дуг |
равны: ¾ |
c12 =7, |
|
c13 =5, c24 = 4, c25 =10, c32 = 8, |
c35 = 6, c43 = 5, |
c45 =3, |
c46 = 11, c56 = 6. |
||
3. |
Определить минимальный разрез в |
сети G = (X,U, С), |
где |
||
| X | = 6, |
U = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x4), (x2, x5), (x3, x2), (x3, x5), (x4, x3), (x4, |
||||
x5), (x4, x6), (x5, x6)} , если известно, что дуги сети |
(x1, x2), (x4, x6), |
(x3, x5), |
|||
(x2, x4), (x4, x5) , (x5, x6) ¾ насыщенные. |
|
|
|
||