89

переходят в соответствующую вершину vj. Делают пометки вершин и идут далее в направлении вершины z. Если путь, на котором будут отмечены все пройденные вершины, приведёт в вершину z, то это говорит о том, что найден один из путей, наиболее близкий к насыщению. Нужно довести поток по нему до насыщения, увеличивая тем самым поток на графе. Значение, на которое можно увеличить поток, находится как минимальное d из множества отмеченных значений в пройденных по данному пути вершинах. Для выяснения вопроса, является ли полученный таким образом поток максимальным или нет, необходимо просмотреть все другие возможные пути, ведущие от x0 к z . Для этого необходимо возвратиться в x0 и повторить описанные выше действия, но идти следует по еще не помеченным вершинам. В результате выполнения этих действий можно столкнуться с двумя вариантами: ¾ 1) пройденный путь снова приводит от x0 к z , т. е. удается найти ненасыщенные пути и, значит, можно увеличить потоки на их дугах; 2) придя в некоторую вершину, обнаружить, что все смежные с ней вершины помечены и, следовательно, больше путей, ведущих к z нет. Это указывает на то, что на сети G получен максимальный поток.

Согласно теореме Форда и Фалкерсона значение полученного максимального потока можно вычислить, выделив дуги разреза R(G) с минимальной пропускной способностью и просуммировав их пропускные способности.

10.5. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА ФОРДА-ФАЛКЕРСОНА

Пусть задана сеть G =(X,U) (рисунок 10.1) , на дугах u ij которой в скобках обозначены значения пропускных способностей дуг ¾ (с ij ).

Рисунок .10.1.

1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока jij равна 0). Нулевой поток ¾ это начальный допустимый поток на сети.

Значение потока на каждой дуге u ij будем указывать за скобками пропускной способности дуги: ¾ (с ij ) jij . Значение потока, равное «0» не указываем.

2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины s в вершину t:

s ®1®5®6®t .

93

действия, связанные с увеличением потока на сети, отражены на рисунках 10.8 – 10.16. Все оставшиеся вычисления и выкладки предлагается провести самостоятельно в качестве упражнения.

Для однозначности, отметим лишь последовательность рассматриваемых путей: s →5→3→t (рисунки 10.8 –10.10); s →2→6→4→t (рисунки 10.11 –10.12); s →2→4→t (рисунки 10.13 –10.16).

Рисунок 10.11.