Управление техническими системами.-2
.pdfK |
(k) P (k)G(k)T (G(k)P (k)G(k)T Q) 1 |
, |
(22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E2 K (k)G(k))P (k) , P (0) P 0 . |
(23) |
|||||
Начальные условия для уравнения (4) следующие: |
|
|
||||
|
ˆ |
|
0 |
|
|
|
|
(0) |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица P (0) диагональная и задана в таблице 3.
Определить матрицу G(x(k),u(k)) и вектор g(x(k),u(k)) . Учитывая, что 2-ая строка матрицы G(x(k),u(k)) нулевая, модифици-
ровать уравнения фильтрации (21 23). Эта модификация позволит вместо полного вектора x(k 1) в (21) использовать только 1-ю компонен-
ту этого вектора.
ЗАДАНИЕ
1. Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управлений и оценок неизвестных параметров. Результаты моделирования выполнить для 2-х случаев:
а) без учета на ограничения; б) с учетом ограничений.
Сравнить качество оценок неизвестных параметров. Сделать вы-
воды.
2. Выполнить моделирование в предположении, что контроль за состоянием объекта осуществляется с ошибками. Модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская последовательность независимая от q(k) с характеристиками:
M{ (k)} 0, |
M{ (k) T ( j)} V k , j . |
|||
Матрица V диагональная, ее элементы заданы в таблице 2. Матрица |
||||
системы контроля следующая |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
|
11 |
|
|
|
Лабораторная работа № 6
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОНДОМ ПОТРЕБЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА ДВУХЭТАПНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Для дискретной модели |
|
|
x(k 1) A( )x(k) B( )u(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(24) |
и для модели:
w(k 1) (1 r)w(k), w(0) w0.
Вектор неизвестных параметров определяется следующим соотношением:
1
b1
b2 .b1
Выполнить моделирование системы (24), реализовав адаптивное управление в предположении, что вектор x(k) контролируется с помощью следующей модели:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
Матрица системы контроля равна
12
|
1 |
0 |
|
H |
0 |
1 |
. |
|
|
Для вычисления оценок вектора неизвестных параметров использовать алгоритм двухэтапной идентификации.
Адаптивное управление будет иметь вид:
|
|
u(k) [B |
T |
|
ˆ |
|
T |
|
ˆ |
1 |
B |
T |
ˆ |
|
|
|||||
|
|
|
( (k))F |
|
CFB( (k)) D] |
|
|
( (k)) |
|
(25) |
||||||||||
|
|
|
|
F |
T |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C[FA( (k))xˆ(k) w(k 1)], |
|
|
|
|
|
||||||||||
Интервал времени: k 0,....,140 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Оценки векторов |
xˆ(k) |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и (k ) определяются с помощью следу- |
||||||||||||||||||||
ющих формул: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xˆ(k |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
(k)[ y(k 1) |
|
|
|||||||
1) A( (k))xˆ(k) B( (k))u(k) K f |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
x(0) , |
|
(26) |
||||
|
|
H ( A( (k))xˆ(k) |
B( (k))u(k))] , xˆ(0) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Pf (k 1/ k) |
ˆ |
|
ˆ |
|
T |
Q , |
|
(27) |
||||||||
|
|
|
|
A( (k))Pf |
(k) A( (k)) |
|
|
|||||||||||||
|
|
K |
f |
(k) P (k 1/ k)H T [HP (k 1/ k)H T V ] 1 , |
|
(28) |
||||||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pf (k 1) (E2 K f (k)H )Pf |
(k 1/ k) , |
Pf (0) Pf0 , |
|
(29) |
|||||||||||||||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
, |
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(k 1) |
(k) K (k)[ y(k 1) HG(k) Hg(k)] |
, (0) 0 |
||||||||||||||||||
K |
(k) P (k)G(k)T [G(k)P (k)G(k)T HQH T V ] 1 , |
|
(31) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (k 1) (E3 K (k)G(k))P (k) , |
P (0) P 0 , |
|
(32) |
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(k) G(xˆ(k),u(k)) , g(k) g(xˆ(k),u(k)) . |
|
|
|||||||||||||||
Начальные условия для уравнения (30) следующие:
13
0ˆ (0) 0 .
0
Матрица P (0) диагональная (см. таблицу 3).
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управления и оценок неизвестных параметров. Исследовать влияние на качество идентификации диагональных элементов матрицы P 0 (увели-
чивая их в 10 и 100 раз), диагональных элементов матрицы Q и V (уменьшая из в 10 и 100 раз). Сделать выводы.
14
Лабораторная работа № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
1. Для дискретной модели |
|
|
||||||
x(k 1) Ax(k) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(46) |
||||||
и модели: |
|
|
||||||
|
|
(k 1) (1 r) |
|
(k), |
|
(0) w0. |
(47) |
|
w |
w |
w |
||||||
Компоненты вектора состояния x(k) [z(k) |
v(k) w(k)] , |
где |
||||||
z(k) количество товаров на рынке; v(k) количество товаров у потребителя, w(k) прибыль. Функция продаж в этом случае примет вид:
|
|
s(k) n0 exp( c)z(k) . |
|
|
|
|
(48) |
|||||
В (46) матрицы A и B следующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
exp( c) k |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
, |
|
||
A |
n exp( c) |
|
1 k |
|
0 , B |
0 |
|
(49) |
||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn exp( c) k |
3 |
0 |
|
1 |
c |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
где c цена единицы продукции, |
c0 себестоимость, |
k1 |
коэффици- |
|||||||||
ент потерь, n0 коэффициент продаж, k2 |
коэффициент потребления, |
|||||||||||
k3 стоимость хранения единицы продукции в день. |
|
|
|
|
|
|||||||
Реализовать оптимальное управление фирмой: |
|
|
|
|
|
|||||||
u(k) (BT FT CFB D) 1 BT FT C(FAxˆ(k) |
|
(k 1)) . |
(50) |
|||||||||
w |
||||||||||||
Рассмотреть два варианта вычисления оценки xˆ(k) : - с использованием фильтра Калмана,
15
- с использованием экстраполятора Калмана (с задержками на 1 и 2 такта).
Предполагается, что модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) , |
(51) |
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j .
Исходные данные, необходимые для решения задачи адаптивного управления следующие:
F (0 0 |
1), |
C 1, |
D 0,01 , r |
0,0062 , c 3,5 , |
c0 1 , |
|||||||||
|
n0 0,8 , k1 0,0001, k2 0,02, k3 |
0,05 , |
|
|||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0,11 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
H 0 1 |
0 |
, |
Q |
0 |
0,08 |
0 |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
0,095 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
200 |
|
|
|
|
190 |
|
|
V |
0 |
3, 2 |
|
0 |
|
, x(0) |
110 |
, |
xˆ(0) |
|
100 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0,05 |
|
|
w |
|
|
|
|
w |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Дополнительные данные, необходимые для выполнения работы, приведены в таблице 4.
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики оптимального управления и оценок вектора. Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140 (один такт соответствует 1 дню). Сравнить качество систем управления.
Сделать выводы.
16
Лабораторная работа № 8
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Для дискретной модели |
|
|
|
||||||
x(k 1) A( )x(k) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(52) |
|||||||
и модели: |
|
|
|
||||||
|
|
(k 1) (1 r) |
|
(k), |
|
(0) w0. |
|
(53) |
|
w |
w |
w |
|
||||||
Компоненты вектора состояния x(k) [z(k) v(k) |
w(k)] , |
Функ- |
|||||||
ция s(k) в этом случае примет вид: |
|
|
|
||||||
|
|
s(k) n0 exp( c)z(k) . |
|
|
(54) |
||||
В (52) вектор неизвестных параметров определен следующим соотношением:
n0 ,k2
Предполагается, что вектор является неизвестной константой. В (52) матрицы A( ) и B следующие
1 1 exp( c) k1 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||
A( ) |
exp( c) |
|
1 |
|
0 |
, |
B |
0 |
|
, |
(55) |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c exp( c) k |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Предполагается, что модель системы контроля имеет вид:
y(k) Hx(k) (k) ,
где (k) гауссовская случайная последовательность, независимая от q(k) , с характеристиками:
M{ (k)} 0, M{ (k) T ( j)} V k , j ,
17
Определить матрицу G и вектор g , необходимые для реализа-
ции алгоритма двухэтапной идентификации (см. лабораторную работу № 6). Реализовать адаптивное управление фирмой:
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
1 |
|
T |
|
T |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
u(k) (B |
F |
CFB |
D) |
B |
F |
|
|
|
|
w(k 1)) . |
(56) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
C(FA( (k))xˆ(k) |
|||||||||||||||||||
Исходные данные, необходимые для решения задачи адаптивного |
||||||||||||||||||||||||
управления следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F (0 |
0 |
1), |
C 1, |
D 0,01 , r |
0,0062 , |
c 3,5 , c0 |
1 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k1 0,0001, |
k3 |
0,05 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0,11 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2,1 0 |
0 |
|
||||||
H 0 1 |
0 |
, Q |
0 |
0,08 |
|
|
|
0 |
, V |
0 |
3, 2 |
0 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0,095 |
0 |
0 |
0,05 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
200 |
|
|
190 |
|
|
|
||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
110 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
, |
x(0) |
|
xˆ(0) 100 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При моделировании истинные значения n0 |
и k2 принять следующие: |
|||||||||||||||||||||||
n0 0,8 , k2 0,02 .
Дополнительные данные, необходимые для выполнения работы, приведены в таблице 4.
18
ЗАДАНИЕ
Построить графики переходных процессов, графики адаптивного управления и оценок неизвестных параметров. Использовать двухэтапный алгоритм идентификации. Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140 (один такт соответствует 1 дню). Исследовать влияние диагональных элементов матрицы V на качество оценивания параметров модели, увеличивая их сначала в 5 и затем в 10, затем в 100 раз.
Сделать выводы.
19
Лабораторная работа № 9
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ (нелинейная модель)
1. Для дискретной модели |
|
|
||||||
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) q(k), |
x(0) x0 , |
(57) |
||||||
и модели: |
|
|
||||||
|
|
(k 1) (1 r) |
|
(k), |
|
(0) w0. |
(58) |
|
w |
w |
w |
||||||
Вектор (x(k)) определяется в лабораторной работе № 7.
Компоненты вектора состояния. Функция S(k) в этом случае примет вид:
s(k) n0 exp( c)(1 v(k) /Y )z(k) . |
(59) |
Вектор (x(k)) в (57) определяется в лабораторной работе № 7. В (57) матрицы A и B следующие
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
n |
exp( c) k |
0 |
0 |
|
A |
|
n0 exp( c) |
|
1 k2 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
exp( c) k |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n0 exp( c) / Y |
|
|
n exp( c) / Y |
|
, |
0 |
|
|
|
|
|
cn exp( c) / Y |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
B |
0 |
|
, (60) |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
0 |
|
|
Реализовать оптимальное управление фирмой:
u(k) (BT FT CFB D) 1 BT FT C(FA (xˆ(k)) w(k 1)) . (61)
где xˆ(k) вычисляется с помощью линеаризованного фильтра Калмана: xˆ(k 1) A (xˆ(k)) Bu(k) K f (k)[ y(k 1) H (A (xˆ(k)) Bu(k))],
|
|
|
xˆ(0) x(0) , |
|
|
|
(62) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P (k 1/ k) |
AP (k) AT |
Q , |
|
(63) |
|||||
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
||
K |
f |
(k) P (k 1/ k)H T [HP (k 1/ k)H T V ] 1 |
, |
(64) |
|||||||
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
|||
Pf (k 1) (E2 |
K f (k)H )Pf (k 1/ k), |
Pf (0) Pf 0 , |
(65) |
||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|