111

Если дан блок , то можно найти эквивалентный ему приведенный блок повторно применяю Т1 и Т2. Поскольку каждое применение Т1 и Т2 сокращает длину блока, в конце концов мы должны прийти к при-

веденному блоку. Для приведенных блоков 1 º 2, тогда и только

тогда, когда D( 1) = D( 2). Таким образом если дан блок , то можно найти единственный граф, соответствующий всем приведенным бло-

кам, получаемым из , независимо от конкретной последовательности преобразований Т1 и Т2, в результате которой был получен приведенный блок.

Определение. Пусть Р=S1…Sn – список операторов блока. Обозначим через E(Р) множество выражений вычисляемых вР. Формально Е(Р) = {vt(A) | St – осуществляет присвоение переменной А, 1≤ t ≤n}.

Выражение h вычисляется в Р к раз, если существует к таких различных значений t, что vt(A) = n и St присваивает значение А.

Лемма. Если = (P, I, V) – приведенный блок, то Р не вычисляет никакого выражения более одного раза.

Лемма. Если 1 = (P1, I1, U1) и 2 = (Р2, I2 ,U2)- эквивалентные приведенные блоки, то Е(Р1) = Е(Р2).

Теорема. Если 1 и 2 – два приведенных блока, то 1 º 2, тогда

и только тогда, когда D( 1) = D( 2).

Следствие. Все приведенные блоки эквивалентные данному имеют один и тот же граф.

Собирая все приведенные выше определения, можно доказать, что для того, чтобы превратить блок в любой ему эквивалентный достаточно четырех введенных преобразований.

Теорема. 1= 2, тогда и только тогда, когда 1 Û1,2,3,4 2.

6.1.5.Оптимизация блоков

Основная задача оптимизации преобразовать блок , в блок ¢, оп-

Рис. 11.3. Схема оптимизации.

Т.е. по данному блоку мы хотим получить программу на объектном языке, оптимальную относительно некоторой оценки объектных программ, такой, например, как размер программы или время ее вы-

112

полнения. Оптимизатор применяет к блоку последовательность пре-

образований, чтобы построить ¢, эквивалентный , из которого можно получить оптимальную программу. Таким образом, одна из задач заключается в оценки блоков.

Определение. Оценка блоков - это функция отображающая блоки в

вещественные числа. Блок называется оптимальным относительно

оценки С, если С( ) ≤ C( ¢), для всех ¢ эквивалентных . Оценка

называется приемлемой, если 1Þ1, 2 2 влечет С( 2) ≤ С( 1) и любой блок имеет эквивалентный блок, оптимальный относительно С. Иными словами, оценка приемлема, если преобразования Т1 и Т2 применяемые в прямом направление, не увеличивают оценки блока.

Лемма. Если С - приемлемая оценка, то любой блок имеет эквивалентный приведенный блок, оптимальный относительно С.

Теорема. Пусть - любой блок. Существует блок ¢ эквивалент-

ный и такой, что, если С - приемлемая оценка, то найдутся такие блоки, что

1)¢ Û4 1,

2)1 Û3 2,

3)2 оптимальный относительно С.

Таким образом, если мы хотим оптимизировать данный блок :

1) сначала можно исключить из лишние и бесполезные вычисления и переименовать переменные с тем, чтобы получить приведен-

ный открытый блок ¢,

2)затем в ¢ можно переупорядочить операторы с помощью пе-

рестановки и делать это до тех пор, пока не сформируется блок 1, в котором операторы расположены в наилучшем порядке,

3)наконец, в 1 можно переименовать переменные до тех пор,

пока не будет найден оптимальный блок 2.

Пример. Рассмотрим машинный код, генерируемый для блоков. Вычислительная машина имеет один сумматор и следующий набор команд ассемблера:

1)LOAD M – содержимое ячейки памяти М помещается на сум-

матор.

2)STORE M – содержимое сумматора, запомнить в ячейке памя-

ти М.

113

3) q M2M3…Mr. В этой команде q - имя r-местной операции. Ее первый аргумент - сумматор, второйячейка памяти М2 и т.д. Результат применения операции q к своим аргументам размещается на сумматоре.

Генератор кода должен переводить оператор видаА¬qB1B2…Br в последовательность машинных команд

LOAD B1

q B2, B3… Br

STORE A.

Однако если значениеB1 уже находится на сумматоре(т.е. перед этим было присвоение значенияВ1), то первую команду LOAD генерировать не надо. Аналогично, если значение А не требуется негде, кроме первого аргумента следующего оператора, то команда STORE не нужна.

Оценить оператор А¬qB1…Br можно числами 1,2,3. Оценка равна 3, если B1 нет на сумматоре и в дальнейшим есть ссылка на новое значение А, отличная от первого аргумента следующего оператора(т.е. А надо запомнить). Оценка равна 1, если В1 уже на сумматоре и нет ссылок на А, отличной от первого аргумента следующего оператора. В остальных случаях оценка равна 2.

Рассмотрим блок 1=(P, {A, B, C}, {F, G})

F=(A+B)*(A-B) G=(A-B)*(A-C)*(B-C)

Список операторов Р1 таков:

T¬A+B

S¬A-B

F¬T*S

T¬A-B

S¬A-C

R¬B-C

T¬T*S

G¬T*R.

Бесполезных операторов нет, но есть повторения - второй и четвертый операторы. Эту избыточность можно удалить. В результате полу-

чим приведенный операторный блок 2=(P2, {A, B, C}, {X3 ,X7})

X1¬A+B

X2¬A-B

X3¬X1-X2

X4¬A-C

114

X5¬B-C

X6¬X2*X4

X7¬X6*X5

Рис. 11.4. Граф для 2.

Граф для 2 изображен на рис. 11.4. Существует много программ, в

которые можно преобразовать 2 с помощью Т4.

Следующий алгоритм дает линейное упорядочивание вершин графов. В требуемом блоке операторы, соответствующие этим вершинам расположены в обратном порядке.

1)Строим список L. В начале он пуст.

2)Выбираем вершину n графа так, что nÏL и, если существует входящие в n дуги, они должны выходить из вершин уже принадлежащих к L. Если такой вершины нет, то остановится.

3)Если n1- последняя вершина, добавляемая к L, самая левая дуга, выходящая из n1, указывает на внутреннюю вершину n, не принадлежащую L, и все прямые предки n уже принадлежат L, то добавляем n

кL и повторяем шаг 3), в противном случае переходим на шаг 2).

На приведенном графе можно начать с L = n3. Согласно шагу 3), к L добавляем n1. Затем выбираем и добавляем к L вершину n7, а потом n4

и n5, так что L имеет вид n3, n1, n7, n6, n2, n4, n5. Оператор, присваивающий значение Xi, порождает вершину ni, и что список L соответствует

операторам в обратном порядке, получаем блок 3=(P3, {A, B, C}, {X3, X7}), где Р3

X5¬B-C

X4¬A-C

X2¬A-B