чивающая работу за конечное время) машина Тьюринга, позволяющая для любого слова в алфавитеV через конечное число шагов установить, принадлежит ли это слово множествуM или нет. Перечислимость множества M означает, что существует машина Тьюринга, которая останавливается в том и только том случае, если предъявленное слово принадлежит множеству M .

Приведем без доказательства несколько важных теорем.

Теорема (Пост). Множество M Í V * разрешимо тогда и только то-

гда, когда M и его дополнение M ¢ = V * \ M перечислимы.

Машина Тьюринга, начав работу, или останавливается, или работает бесконечно. Проблема остановки формулируется следующим образом. Пусть M – множество всех пар слов в алфавите V , в каждой паре первое слово– словарное представление некоторой машины Тьюринга, второе – такое слово, что эта машина останавливается, начав работу над ним. Является ли множество M неразрешимым?

Теорема (Тьюринг). Проблема остановки машины Тьюринга неразрешима.

Последняя теорема демонстрирует существование невычислимых функций. Из тезиса Тьюринга следует, что для неразрешимых проблем нельзя построить алгоритм, который решал бы их, например, с помощью ЭВМ.

Проблема зацикливания состоит в следующем: существует ли алгоритм, хотя бы частный, который выясняет заранее для произвольной машины Тьюринга, будет ли она работать бесконечно.

Теорема. Проблема зацикливания машины Тьюринга не является частично разрешимой.

1.1.3 Программы и схемы программ

Схемы программ - это математические модели программ, описывающие строение программы, или точнее строение множества программ, где конкретные операции и функции заменены абстрактными функциональными и предикатными символами. Следующий пример программ вычисления факториала n! и переворачивания слов поясняет различие между программами и их схемой S1 .