Методы оптимизации.-7

k=1

Требуется найти переменные u(1),u(2),u(3),u(4) , удовлетворяющие системен ограничений (3.17) и обращающие в максимум функцию (3.16).

Схема решения задачи методом ДП имеет следующий вид: процесс

решения распределения средств x(0) = 5 можно рассматривать как 4-шаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных

u(1),u(2),u(3),u(4) — управление соответственно на I, II, III, IV шагах. Конечное

состояние процесса распределения x(4) = 0, так как все средства должны быть вложены в производство. Схема распределения показана на рис. 3.

Уравнения состояний (2) в данной задаче имеют вид:

x(k) = x(k−1) − u(k), k = 1,2,3,4 , (3.18)

где x(k) — параметр состояния — количество средств, оставшихся после k -го шага, т.е. средства, которые остается распределить между оставшимися 4 − k предприятиями.

Рис. 3.4.

Введем в рассмотрение функцию Bk (x(k−1)) , (k = 4,3,2,1) — условную оптимальную прибыль, полученную от 4-го предприятия (k = 4 ), 4-го и 3-го предприятий (k = 3), 4-го, 3-го и 2-го предприятий (k = 2 ) и всех четырех предприятий (k = 1). При этом предполагается, что средства

x(k−1) (0 ≤ x(k−1) ≤ 5) распределяются между ними оптимальным образом. Допустимые управления на k -м шаге удовлетворяют условию: 0 ≤ u(k) ≤ x(k−1)

(либо k -му предприятию ничего не выделяем, u(k) = 0, либо не больше того, что имеем к k -му шагу, u(k) ≤ x(k−1) ).

42

Последовательно решаем записанные уравнения, проводя условную оптимизацию (см. рис. 3.4) каждого шага.

IV шаг. В табл. 3.1 прибыли J4(u) монотонно возрастают, поэтому все средства, оставшиеся к IV шагу следует вложить в 4-е предприятие. При этом для возможных значений x(3) = 0,1,...,5 получим:

B4(x(3)) = J4(x(3)) и u(4)(x(3)) = x(3) .

IIIшаг. Делаем все предположения относительно остатка средств x(2) к

III шагу (т.е. после выбора u(1) и u(2) ). Величина x(2) может принимать значения 0,1,2,3,4,5 (например, x(2) =0, если все средства отданы 1-му и 2-му предприятиям, x(2) =5, если 1-е и 2-е предприятия ничего не получили, и т.д.). В

43

при условии, что x(1) =4 у.е. средств между оставшимися тремя предприятиями будут распределены оптимально, равна J1(1) + B2(4) =8+16=24 ( J1(1) взято из

u(1) = u(1)(5)=1.

44

Рассмотрим этап безусловной оптимизации. Используя уравнения (3.18),

k=1

условие (3.17)).

Таким образом имеем: максимум суммарной прибыли равен 24 у.е. средств при условии, что 1-му предприятию выделено 1 у.е., 2-му предприятию

— 2 у.е., 3-му предприятию — 1 у.е., 4-му предприятию — 1.у.е.

Замечание 1. Метод ДП безразличен к виду и способу задания функции прибыли Jk (u). Здесь они были заданы таблично, поэтому оптимальные Bk (x)

и u(k)(x) принимали дискретные значения, представленные в табл. 2. Если бы

Jk (u) были заданы аналитически, то Bk (x) и u(k)(x) также были бы получены

ваналитическом виде.

Замечание 3. В рассмотренных задачах состояния системы x и управления u были скалярными величинами, поэтому на каждом шаге у нас рассматривались одномерные задачи оптимизации. В общем случае, как мы отмечали ранее

состояния системы x Rn описываются n -мерным вектором, а управления —

m -мерным вектором (u Rm ). Поэтому с увеличением размерности векторов состояний и управлений объем вычислений резко возрастает, так как на каждом шаге возникает n m-мерная задача оптимизации.

3.4. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на N лет

Планируется деятельность двух отраслей производства на N лет.

Начальные ресурсы x(0) . Средства u , вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль J1(u) и возвращаются в размере q1(u) < u ;

перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладываются. (Последние условия определяют вид уравнений состояний; если поступают новые средства или часть прибыли вкладывается в производство, то это можно легко учесть, так как алгоритм метода ДП не изменится).

Требуется распределить имеющиеся средства x(0) между двумя отраслями производства на N лет так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за N лет оказалась максимальной.

II шаг. Из уравнения состояния находим x(2) : x(2) = 0.8x(1) − 0.1u(2) . Уравнение (3.27) при k =2 примет вид:

Имеем убывающую по u(2) функцию на отрезке [0, x(1)], поэтому максимум

→ x(2) = 0.8x(1) − 0.1u(2) = 0.8 8000 − 0.1 0 = 6400

48

u1(3) = 6400, u(3)2 = x(2) − u1(3) = 0 (все средства выделяются I отрасли);

→ x(3) = 0.8x(2) − 0.1u(3) = 0.8 6400 − 0.1 6400 = 4480

u1(4) = 4480, u(4)2 = x(3) − u1(4) = 0 (все средства выделяются I отрасли).

Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 10000 у.е., равна 15528 у.е. при условии, что I отрасль получает по годам (0, 0, 6400, 4480), а II отрасль — соответственно (10000, 8000, 0, 0).

3.5. Задача о замене оборудования

Замена оборудования — важная экономическая проблема. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т. п.). Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

При построении модели задачи принято считать, что решение о замене выносится в начале каждого промежутка эксплуатации (например, в начале года) и что в принципе оборудование можно использовать неограниченно долго.

Основная характеристика оборудования — параметр состояния — его возраст t .

При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как N -шаговый, разбивая весь период эксплуатации на N шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется

качественными признаками, например, Uс (сохранить оборудование), U з

(заменить) и U р (сделать ремонт). Рассмотрим конкретный пример.

• Пример. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования p0 = 4000 ден. ед. После t лет эксплуатации (1≤ t ≤ 5) оборудование можно

продать за g(t) = p02−t ден. ед. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(t) = 600(t +1) . Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

49

Решение. Способ деления управления на шаги естественный, по

Управление на каждом шаге зависит от двух переменных Uс и U з . Уравнения состояний зависят от управления:

(u(k) = Uc ) через год возраст машины увеличится на 1. Если машина заменяется новой ( u(k) = U з ), то это означает, что к началу k -го шага ее

возраст t = 0, а после года эксплуатации t = 1, т.е. x(k) = 1. Показатель эффективности k -го шага:

машина продается ( − 4000 2−t ), покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (− 4000 2−t − 4000+600).

Пусть Bk (t) — условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k-то шага до конца, при условии, что к началу k-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функций Bk (t) уравнения Беллмана (10) и (13), заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

Из определения функций Bk (t) следует

Jmin = B1(0) .

50

Дадим геометрическое решение этой задачи. На оси абсцисс будем откладывать номер шага k , на оси ординат — возраст t машины. Точка (k −1,t ) на плоскости соответствует началу k -гo года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k -м шаге показано на рис. 3.7.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке x(0)(0,0) , конец — точкам xɵ(6,t). Любая траектория, переводящая точку

x(k −1,t) из x(0) в x,ɵ состоит из отрезков — шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки ( k −1, t ) и ( k, t +1),

запишем соответствующие управлению Uс затраты, найденные из (3.29): 600(t +1), а

соответствующие переходам из любого состояния x(k−1) в состояние x(k) (см. рис. 3.8). Например, над отрезками, соединяющими точки ( k,2 ) и ( k +1, 3), стоит число 1800, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 лет, а над отрезками, соединяющими ( k, 2) и ( k +1, 1), стоит число 3600 — сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без

"затрат" (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0 ≤ t ≤ k .

Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 8) условную оптимизацию.

V шаг. Начальные состояния — точки (4; t ), конечные (5; t ). В состояниях (5; t ) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен