Методы оптимизации.-7

53

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Кафедра автоматизированных систем управления

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Учебное пособие

ТОМСК – 2016

2

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Учебное пособие

Составитель А.А. Мицель Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. – 2016. – 68 с.

В пособии представлены избранные разделы математического программирования: квадратичное программирование, теория двойственности, модели динамического программирования, основы вариационного исчисления.

Пособие подготовлено для студентов, обучающихся по направлению 09.04.01 – «информатика и вычислительная техника (магистратура)».

3

СОДЕРЖАНИЕ

4

Тема 1. Квадратичное программирование

1.1. Задача квадратичного программирования

Задача квадратичного программирования (ЗКП) представляет собой задачу с линейными ограничениями и квадратичной ЦФ. Общая ЗКП имеет вид:

где µ ≥ 0 , λ– параметры (ограничения по знаку параметры λ не имеют). Условия Куна-Таккера для ЗКП записываются следующим образом:

5

где λ − неограниченная по знаку переменная.

Пример 1.1.

f (x) = −6x1 + 2x12 − 2x1x2 + 2x22 → min , x1 + x2 = 2 ; x1, x2 ≥ 0 .

Для этой задачи условия Куна-Таккера задаются следующим образом:

−6 + 4x1 − 2x2 − µ1 − λ = 0 ;

−2x1 + 4x2 − µ2 − λ = 0 ;

условием оптимальности решения ЗКП.

В случае положительной определенности или полуопределенности матрицы Q целевая функция является выпуклой и условия Куна-Таккера являются также и достаточными условиями оптимальности решения ЗКП. Таким образом, в случае H f ≥ 0 достаточно найти точку x ,

удовлетворяющую условиям Куна-Таккера.

Одним из методов решения ЗКП может быть метод решения системы (1.4) как задачи ЛП с использованием искусственного базиса и первой операции симплекс-метода. При этом условие µ j xj = 0 неявно учитывается в

процедуре симплекс-метода при помощи правила ограниченного ввода в базис. Это правило запрещает вводить в базис небазисную переменную j , если

значение соответствующей базисной переменной x j положительное.

1.3 Метод решения ЗКП с помощью искусственного базиса

Одним из методов решения ЗКП может быть метод решения системы (1.4) как задачи ЛП с использованием искусственного базиса и первой операции симплекс-метода. При этом условие µ j xj = 0 неявно учитывается в

процедуре симплекс-метода при помощи правила ограниченного ввода в базис. Это правило запрещает вводить в базис небазисную переменную µ j , если

значение соответствующей базисной переменной x j положительное.

7

быть одновременно базисными, поэтому мы делаем базисными только xi и λ j .

При этом необходимо учесть, что λ j могут быть любого знака, в то время как x j ≥ 0 .

Для нашего примера имеем следующие таблицы.

Таблица 1.5

Таблица 1.6

Таблица 1.7

Здесь мы получили базисные переменные x1, x2 . Теперь введем в базис переменную λ , не обращая внимания на ее знак.

Таблица 1.8

Итак, получили базисные переменные:

x1 = 3 / 2 ; x2 = 1 / 2 ; λ = −1; 1 = 0 ; 2 = 0 .

К сожалению, в случае положительно полуопределенной матрицы Q (то есть матрица Гессе H f (x) ≥ 0 ) этот метод может расходиться.

Лемке разработал более эффективный и простой метод решения системы (1.4), называемый методом решения задач о дополнительности.

8

1.5. Задача о дополнительности

Рассмотрим общую задачу отыскания неотрицательного решения системы уравнений следующего вида: найти такие векторы ω и z , что

где M − n × n матрица; ω, z,q − n - мерные векторы. Сформулированная задача называется задачей о дополнительности.

Заметим, что в ее формулировке не участвует оптимизируемая целевая функция.

Рассмотрим выпуклую ЗКП следующего вида: f (x) = cT x + xT Qx → min,

Ax ≥ b, x ≥ 0,

где Q − положительно определенная или полуопределенная матрица.

Условия оптимальности Куна-Таккера для этой задачи записываются в следующем виде:

u = 2Qx − AT λ + c, s = Ax − b,

µT x + sT λ = 0, ; x, s ≥ 0, µ,λ ≥ 0.

Здесь s − дополнительный вектор переменных для преобразования ограничения-неравенства в ограничение-равенство ( Ax − b − s = 0 ).

Пусть имеем

f (x)=cx + xT Q x→ min ,

Ax ≥b→ g(x)= A x−b≥0 ,

Функция Лагранжа имеет вид:

L(µ,λ) = f (x) − µT x − λT ( Ax − b) .

Условие Куна-Таккера записываются следующим образом:

Введем обозначения s = Ax − b .

Тогда условия Куна-Таккера примут вид:

9

Сравнивая эту систему с задачей о дополнительности, можно заметить,

что

Таким образом, можно получить решение выпуклой задачи КП путем решения эквивалентной задачи о дополнительности.

Задачу ЛП можно также свести к задаче о дополнительности, положив Q = 0 . Таким образом, метод решения задач о дополнительности можно применить также для решения ЗЛП.

Пример 1.2. Найти min ЦФ при заданных ограничениях: f (x) = −6x1 + 2x12 − 2x1x2 + 2x22 ,

−x1 − x2 ≥ −2, x1, x2 ≥ 0.

Эквивалентная задача о дополнительности имеет вид:

λ − скалярная величина;

s − скалярная величина; s = x3 (дополнительная переменная). Найденное решение z даст нам оптимальное решение задачи:

(x1* , x2* ) = x* .

10

1.6. Метод решения задач о дополнительности

Рассмотрим следующую задачу о дополнительности:

ω = Mz + q; ωT z = 0; ω, z ≥ 0 .

Определение. Неотрицательное решение (ω, z) системы уравнений ω = M z + q называется допустимым решением задачи о дополнительности

имеется условие ωi zi = 0 ). Следовательно, ЗД нетривиальна только в том

производится следующее преобразование задачи: во все уравнения системы ω − Mz = q вводится искусственная переменная z0 .

ω − Mz − e z0 = q ; ω, z ≥ 0; ωT z = 0; z0 ≥ 0 . Здесь e = (1,1,...,1) − вектор, состоящий из единиц.

Таким образом, начальная СТ имеет вид (см. табл.1.9):

Таблица 1.9

Шаг 1. В базис вводится z0 , заменяющая базисную переменную с наибольшим

Выполнение итераций метода исключений приводит к следующей таблице (см. табл.1.10), где