Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

81
sɵn,i = (1 + i)	(1 + i)n − 1	= (1 + i) sn,i .	(5.23б)

	i

В случае простых процентов наращенная коэффициент наращения годовой ренты равен

	n (n − 1)
sn,i = n + i		.	(5.24а)

	2

Для ренты пренумерандо с простой процентной ставкой для коэффициента наращения можно получить

sɵ		n (n + 1)
	(n,i) = n + i		.	(5.24б)

		2

5.3.2.Наращенная сумма годовой ренты сначислением процентовm разв год

Пусть платежи поступают один раз в год в конце года (то есть интервал ренты равен одному году), а начисление процентов происходит m раз в год. Процесс формирования платежей вместе с начисленными на них процентами изображен на диаграмме

(рис.2.2).

Рис 5.3

При начислении процентов здесь используется формула начисления сложных процентов по ставке j / m .

На основе формулы (5.22) для коэффициента наращения получим

(1 +

)

m n

− 1

. sn, j / m =

(5.25а)

(1 +

)

−1

Для ренты пренумерандо коэффициент наращения равен

(1 +

)

m n

− 1

sɵn, j / m = (1 +

= (1 +

)m s

n, j / m

(5.25б)

)

−1

5.3.3.Наращенная сумма p – срочной ренты

Пусть платежи поступают p раз в год равными суммами, проценты начисляются один раз в год в конце года (m = 1) .

Если R – годовая сумма, то отдельный платеж равен R / p . Поскольку в год поступает p

платежей, то интервал между платежами будет равен 1/ p лет. Первый платеж поступит в момент времени 1/ p . Процесс формирования платежей с процентами изображен на диаграмме (рис.2.3).

Используя формулу (5.22) для наращенной суммы получим

S =

((1 + i)1/ p )np − 1

= R s( p) ,

(1 + i)1/ p − 1

n,i

где s( p)

– коэффициент наращения

p -срочной ренты с начислением процентов один раз в год,

n,i

равный

s( p)

(1 + i)n

− 1

(5.26а)

1/ p

n,i

(1 + i)

− 1

Для p – срочной ренты пренумерандо имеем

( p)

(1 + i)n − 1

sɵn,i = (1 + i)1/ p

= (1 + i)1/ p sn(

,pi ) .

(5.26б)

1/ p

(1 + i)

− 1

5.3.4.

Наращенная сумма p – срочной ренты приначислениипроцентовm раз в год

Параметры такой ренты: p платежей в год и m раз в год начисление процентов по

номинальной ставке j . Рента с такими условиями называется общей.

Принцип получения формулы для наращенной суммы аналогичен вышеприведенным случаям. В результате получим для коэффициента наращения

(1 +

)

− 1

( p)

sn, j / m

(5.27а)

(1 +

)

− 1

Тогда формула для наращенной суммы примет вид

S = Rs( p)

n, j / m

Для p – срочной ренты пренумерандо с начислением процентов m раз в год

коэффициент наращения равен

(1 +

)

− 1

sɵ(np, j)/ m = (1 +

) p

= (1 +

) p s( p)

(5.27б)

n, j / m

p(1 +

5.4.Современная величина потока платежейj ) p − 1

5.4.1. Современная величина годовой ренты

Современная величина ренты является важнейшей характеристикой потока платежей, которая определяет стоимость будущего денежного потока на настоящий

момент времени. Эта характеристика служит основой для многих методов финансового анализа. По определению, современная величина - это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на начальный или предшествующий ему момент времени. Иногда вместо термина современная величина используют термины приведенная или капитализированная сумма платежей. При определении современной величины потока платежей важно правильно установить период времени от начала потока (момента времени, на который производится оценка) до момента поступления платежа (в годах). После этого можно применять формулы дисконтирования. Обозначим v – множитель

дисконтирования, v =	1	i – годовая ставка.
	, где

1 + i

Рис 5.4 Диаграмма на рис.5.4 иллюстрирует процесс формирования потока дисконтированных

платежей на начало срока ренты. Показатели степеней – периоды времени в годах от начала ренты до момента поступления платежа.

Чтобы получить современную величину потока, просуммируем все члены получившегося ряда. Используя формулу (5.22) для суммы ряда геометрической прогрессии, получим, что современная величина ренты (обозначим ее символом A ) равна

	Rv(vn − 1)			1 − vn		1 − (1 + i)−n
A =		= R			= R		.	(5.28)
A =	v − 1	= R			= R		.	(5.28)
	v − 1			i		i
Величина
	a	=	1 − (1 + i)−n					(5.29а)
	a	=						(5.29а)
	n,i			i
				i

называется коэффициентом приведения годовой ренты.

С учетом этого выражение для современной величины примет вид

A = Ran,i .

Если платежи поступают в начале периода, то коэффициент приведения ренты равен

aɵn,i = (1 + i)	1 − (1 + i)−n	= (1 + i) an,i .	(5.29б)
	i

В случае простых процентов для ренты постнумерандо мы должны просуммировать поток

R		R			R	n	1
	+		+ ... +			= R ∑

1 + i 1 + 2 i				1 + n i		k =11	+ i k

или

A = R an,i ,

где

n		1
an,i = ∑		1

	1	+ i	k
k =1	1	+ i	k

— коэффициентом приведения годовой ренты по ставке простых процентов. Для ренты пренумерандо коэффициент приведения равен

n−1	1
aɵn,i = ∑	1		.


k =0	1 + i	k

5.4.2. Современная величина годовой ренты сначислениемпроцентовm раз вгод

В полученную формулу для	современной			величины		годовой ренты
множителя дисконтирования (1 + i)	−1	подставим множитель (1				+	j	)	−m	. Получим
множителя дисконтирования (1 + i)		подставим множитель (1				+	m	)		. Получим
							m
		1 − (1 + j / m)−mn
A = R					.
A = R					.
			(1 + j / m)m −1

(5.30а)

(5.30б)

вместо

Обозначим

a		=	1 − (1 + j / m)−mn
	n, j / m					,	(5.31а)

			(1	+ j / m)m −1

тогда
		A = Ran, j / m .
Выражение коэффициента приведения ренты пренумерандо имеет вид
aɵn, j / m = (1 + j / m)m	1 − (1 + j / m)−mn				= (1 + j / m)m an, j / m .		(5.31б)

	(1 + j / m)m − 1

5.4.3. Современная величина p – срочнойренты( m = 1)

Интервал между платежами у такой ренты равен 1/ p , размер платежа R / p . Порядок формирования дисконтированных платежей показан на рис. 5.5.

Имеем геометрическую прогрессию с количеством членов, равным np , первый член

прогрессии равен R v1/ p , знаменатель прогрессии – v1/ p . Используя формулу (5.22) для

суммы членов геометрической прогрессии, получим

11 np

A =

R v p (v p − 1)

R (vn − 1)

= R

1 − (1 + i)−n

1/ p

(1 −

)

p (1 + i)

− 1

v p − 1

v1/ p

Рис 5.5

Величина

an( ,pi ) =		1 − (1 + i)−n				(5.32а)
an( ,pi ) =	p		1/	p		(5.32а)
	p		(1 + i)		− 1

называется коэффициентом приведения p – срочной ренты.

Тогда формула для расчета современной величины p – срочной ренты будет иметь вид

A = Ran( ,pi) .

Для ренты пренумерандо процесс дисконтирования платежей показан на рис. 2.7. Коэффициент приведения определяется формулой:

( p)

1 − (1 + i)−n

aɵn,i

= (1 + i)1/ p

= (1 + i)1/ p an( ,pi )

(5.32б)

1/ p

(1 + i)

− 1

5.4.4. Современная величина p – срочной рентыприначислениипроцентовm раз в год

данном случае

коэффициент

дисконтирования v =

первый

1 + j / m

m / p

дисконтированный платеж равен

, второй

дисконтированный

платеж

равен

(np−1

2m / p

предпоследний дисконтированный

платёж равен

и, наконец,

последний

платёж равен

Напомним,

что

показатель

степени

у множителя

дисконтирования – это интервал времени (измеряемый в годах) от начала ренты до момента поступления платежа с учетом m – разового в год начисления процентов. Имеем геометрическую прогрессию с количеством членов np , первым членом

m / p

и знаменателем прогрессии v

. Сумма членов этой прогрессии равна

A =

R vm / p (vmn − 1)

1 − (1 + j / m)−mn

p vm / p − 1

p (1 + j / m)m / p − 1

Здесь

a( p)	=		1 − (1 + j / m)−mn					(5.33а)
						m / p
mn, j / m		p		(1	+ j / m)
							− 1

– коэффициент приведения общей ренты.

Тогда окончательно формула для современной величины данной ренты примет вид

A = Ra( p)

n, j / m

Если платежи поступают в начале периода (рента пренумерандо), то коэффициент

приведения вычисляется по формуле

ɵ( p)

m / p

1 − (1 + j / m)−mn

m /

( p)

amn, j / m = (1

+ j / m)

(1 + j / m)

amn, j / m

(5.33б)

(1 + j / m)

m / p

− 1

Соотношение между наращенной и современной величинами ренты

Пусть A – современная

величина годовой ренты на начало

срока с

начислением

процентов один раз в год, S

– наращенная сумма этой ренты. Тогда можно показать, что

A(1 + i)n = S ,

то есть начисление процентов на сумму A за n периодов даёт наращенную

сумму ренты. Действительно

A(1 + i)n = R

1 − (1 + i)−n

+ i)n = R

(1 + i)n − 1

= Rs

= S .

n,i

Кроме этого, очевидно, имеем еще ряд соотношений:

Svn

A , где v =

, a

(1 + i)n = s

vn = a

1 + i

n,i

5.5 Доходность финансовой операции

Финансовой называется операция, начало и конец которой имеют денежную оценку – P(0) и S (T ) соответственно, а цель проведения которой заключается в максимизации разности S(T ) − P(0) или другого подобного показателя. Важнейшей характеристикой операции является ее доходность.

В определении под P(0) понимают реально вложенные средства в момент t = 0, под

S (T ) – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой T единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.

5.5.1. Различные виды доходности операций

Под денежной оценкой начала операции обычно понимают размер вложенных инвестиций, затраты или просто наличный капитал, под денежной оценкой конца операции – наращенный капитал, полученный доход и т.п.

Абсолютная доходность d (доходность за весь срок) операции определяется из уравнения P(0)(1 + d ) = S (T ) или d = (S(T ) − P(0) / P(0) = S(T ) / P(0) − 1.

P(0)

Величина S(T ) / P(0) называется коэффициентом или множителем наращения. Ясно,

что S(T ) / P(0) = 1 + d .

Определенную выше доходность будем называть еще и номинальной или расчетной, чтобы отличить от других видов доходности.

Средняя доходность r финансовой операции (доходность за единицу времени) – это ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции.

Согласно определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное число r , удовлетворяющее равенству:

P(0)(1 + r T ) = S(T )	(6.1)
или
P(0)(1 + r)T = S (T ) .	(6.2)
Из (6.1) и (6.2) найдем связь между d и r : 1 + r T = 1 + d (для простой ставки) и
(1 + r)T =1 + d (для сложной ставки).

Если время измеряется в годах, то r - среднегодовая доходность операции.

Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы по ставке r в течение времени T . Такой подход позволяет сравнить полученное значение доходности с доходностями по альтернативным вложениям средств.

5.5.2. Учет налогов иинфляции

Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму P0 в течение времени n

начислялись проценты по ставке i , g - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов

I (n) = Sn − P0 ,

а сумма налога Gn = g I (n) . Наращенная сумма после выплаты налога составляет

S(n) = Sn − Gn .

Так как S(n) < Sn , то учет налогов фактически сокращает ставку наращения. Итак,

S(n) = Sn − Gn = Sn − g I (n) = Sn − g (Sn − P0 ) = Sn (1 − g) + gP0

Если i - простая процентная ставка, то Sn = P0 (1 + i n) . Тогда

S(n) = P0 (1 + i (1 − g )n) .

Видим, что фактически наращение производится по ставке i(1 − g) < i .

Если i – сложная процентная ставка, то Sn = P0 (1 + i)n . Тогда

S(n) = P0 ((1 + i)n (1 − g) + g ) .

Пример 6.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?

Если P0 - сумма кредита, а Sn - сумма погашаемого долга, то Sn = P0 (1 + i)n ,

где i = 0,08 , n = 2. Сумма комиссионных cP0 , где c = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит P(0) = P0 (1 − c) . После выплаты налога у кредитора останется

S(n) = P0 ((1 + i)n (1 − g) + g ) , где g = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид S(n) = P(0)(1 + r)n . Разрешая это уравнение относительно r , получим


		1					1
						+ i)n (1 − g) + g
	S (n)				(1			n
			n
r =				− 1 =			− 1 = 0, 07496 .

	P(0)					1 − c

Заметим, что без учета налога ( g = 0) доходность операции составила бы 0,08271.

►

Инфляция – обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.

Инфляцию характеризуют два количественных показателя – индекс цен и темп инфляции. Предположим, выбрана единица времени. Рассмотрим отрезок времени [0, t] , длина которого t единиц времени от начального момента t = 0.

Индекс цен за время [0, t] - число

J (t) = K (t) ,

K (0)

показывающее во сколько раз выросла стоимость потребительской корзины за период времени [0, t] .

Темп инфляции за время [0, t] - число

H (t) = K (t) − K (0) ,

K (0)

показывающее на сколько процентов выросла стоимость потребительской корзины за период времени [0, t] . Так как H (t) = K (t) − 1 , то соотношения между темпом

	K (0)
инфляции и индексом цен имеют вид:
H (t) = J (t) − 1	(6.3)
и
J (t) = 1 + H (t)	(6.4)

для любого периода времени [0, t] .

Пусть

[0, t]= [tk −1, tk ], где

[0, t1], … , [tn−1, tn ] - отрезки времени в сроке

k =1

[0, t] ( t0 = 0,

tn = t ), длины которых t1, (t2 − t1),..., (tn − tn−1) единиц времени;

j(0,t1),..., j(tn−1, tn ) и h(0, t1),..., h(tn−1, tn )

– индексы цен и темпы инфляции за

периоды j(0,t1),..., j(tn−1, tn ) соответственно.

Пусть

jk и hk - индекс цен и темп инфляции за 1 единицу времени на временном

отрезке [tk −1, tk ]. Тогда

jk = 1 + hk ,

k = 1, 2,..., n ,

а индекс цен за [tk −1, tk ] равен

j(t

) = j(tk −tk −1 ) ,

k = 1, 2,..., n .

k −1,

В соответствии с определением индекса цен получим

J (t) = jt1

j(t2 −t1 )

j(tn −tn −1 ) .

Тогда

J (t) = (1 + h )t1

(1 + h )(t2 −t1 )

(1 + h )(tn −tn −1 ) ,

(6.5)

1 + H (t) = (1 + h )t1 (1 + h )(t2 −t1 ) (1 + h )(tn −tn−1 ) .

(6.6)

Если

h1 = h2 = ... = hn = h , то

J (t) = (1 + h)t

(6.7)

1 + H (t) = (1 + h)t .

(6.8)

Здесь

h - темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [0, t] ,

J (t) и

H (t)

- индекс цен и темп инфляции за период времени [0, t] .

Предположим, за n единиц времени получена наращенная сумма вклада Sn .

Индекс цен за период [0, n]

вырос до значения J (n) .

Тогда реальная сумма вклада

вследствие снижения покупательной способности денег составит

S(n) =

J (n)

Индекс цен J (n) рассчитывается по одной из приведенных выше формул в зависимости от исходных данных. Так как J (n) > 1, то S(n) < Sn , что означает фактическое снижение ставки наращения.

Пример 6.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов

должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?

Здесь t = 0 - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада n = 5 лет. h1 = 0,03 и h2 = 0,04 – среднегодовые темпы инфляции на временных

отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу

должно быть выполнено условие:

r ≥ 0.08 . Пусть i

- годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма

P . Тогда наращенная сумма вклада через

n лет

= P (1 + i)n

. С учетом инфляции

реальная

сумма

вклада составит S(n) =

где

индекс цен

согласно (6.8)

равен

J (n)

J (t) = (1 + h )2

(1 + h )3 . Уравнение

доходности

имеет

вид:

S(n) = P(0)(1 + r)n .

Разрешая это уравнение относительно r

и учитывая требуемое условие для доходности,

получим:

r =

1 + i

− 1 ≥ 0,08 .

(1 + h )5

(1 + h

Отсюда

i ≥0,11887.

Значит, минимальная процентная

ставка

размещения

вклада

составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции. ►

5.5.3. Потокплатежей иего доходность

Пусть {Rk ,tk } – поток платежей, в нем tk

– моменты времени, Rk – платежи.

Будем говорить, что рассматриваемый поток имеет современную величину A при

уровне доходности

j , если ∑Rk /(1 + j)tk

= A . Если поток есть годовая рента с

годовым платежом R и длительностью n ,

то рента имеет современную величину A

при уровне доходности

j , если R an, j = A . Фиксируем A , тогда при увеличении R

доходность ренты увеличивается. Можно сказать и по-другому: для увеличения доходности ренты надо увеличить годовой платеж.

Все эти соображения особенно хорошо видны на примере вечной ренты, поскольку для нее A = R / j , или, по-другому: доходность вечной ренты есть j = R / A . Важно отметить, что определенная таким образом доходность потока платежей не зависит от ставки процента, а зависит только от величины и моментов самих платежей, в силу чего ее называют часто внутренней доходностью потока платежей.

Более точно внутренняя доходность потока платежей есть такая его доходность в только что определенном смысле, при которой современная величина этого потока равна нулю (такая характеристика имеется не у всякого потока платежей). Равенство A = 0 возможно только тогда, когда в потоке платежей имеются отрицательные величины.

Пример 6.3. Вексель учтен по ставке i =10% за 160 дней до его оплаты (временная годовая база равна 360 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5% от номинала векселя. Найти доходность операции.

Решение. При расчете доходности векселя его номинал часто не играет роли. Абсолютная доходность операции без учета комиссионных:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]