Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

∂u(x* ) / ∂x j

∂u(x* ) / ∂x

; j, k = 1, n, j ≠ k .

p j

4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны

множителю λ*

- предельной полезности денежной единицы, которую потребитель

расходует для приобретения благ:

∂u(x* ) / ∂x

= λ* ,

j = 1,..., n .

p j

5.Норма замещения:

∆x

p j

n =

= −

; j, k = 1,..., n, k ≠ j .

∆x j

6.В оптимальной точке имеет равенство:

∂u(x* )

= λ* .

(3.15)

∂M

Действительно, из соотношения ∑ p j x j = M следует равенство

j=1

∂x j

∑ p j

= 1. Используя правило дифференцирования сложной функции и следствие

∂M

j=1

1, получим

∂u(x* )

n ∂u(x* ) dx

∑

= ∑λ* p j

= λ* ∑ p j

= λ* .

∂M

∂x j dM

j=1

Таким образом, величина λ* множителя Лагранжа означает дополнительную полезность, приходящуюся на дополнительную единицу дохода, т.е. предельную полезность денежной единицы дохода потребителя.

3.5. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем

Мы нашли решение задачи об оптимальном выборе благ в виде

x* = x* ( p, M ), j = 1,..., n .
j	j

Если подставить эти значения в функцию полезности, то получим

u* = u* ( p, M ) ,

т.е. максимальная полезность зависит вконечном счете от цен на благаи дохода потребителя. Рассмотрим теперь так называемую взаимную задачу. Зафиксируем значение функции

полезности на уровне u0 и рассмотрим те блага x , для которых u(x) = u0 , т.е. те блага,

которые дают потребителю один и тот же уровень удовлетворения u0 . Очевидно, что при

заданном векторе цен на блага p = ( p1 ,..., pn ) стоимости M = ∑p j x j таких благ

j=1

различны. Поставим взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции

n
M = ∑p j x j		(3.16)
j=1
при условии

u(x1,..., xn ) = u0 ; x j ≥ 0,	j = 1, n	(3.17)
Геометрически для n = 2 задачу (3.16) – (3.17) можно сформулировать следующим
образом: для данной кривой безразличия	с уравнением u(x1 , x2 ) = u0	среди

параллельных бюджетных линий найти ту, которая ее касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Геометрическая интерпретация модели (3.16) – (3.17)

Задачу (3.16) – (3.17) решим методом множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа

L(x1 ,..., xn ) = ∑p j x j + µ (u0 − u(x1 ,..., xn )).

j=1

Необходимые условия экстремума имеют вид


∂L		= p j			− µ	∂u		= 0, j = 1,..., n;

∂x j						∂x j
∂L	= u			− u(x			,..., x		) = 0,
			0
∂λ					1			n

которые перепишем в форме

∂u

j = 1,..., n;

u(x ,..., x ) = u

(3.18)

∂x j

Решение системы (3.18) определяет оптимальный набор благ x* = (x* ,..., x* ) , где

x* = x*

( p,u

) ,

(3.19)

и множитель µ* .

Минимальные затраты M * = ∑ p j x*j

будут зависеть от величины

j=1

и вектора цен

p . Меняя уровень потребления u

, получим M * = C(u

) , которая

называется функцией затрат потребителя.

Выясним смысл множителя Лагранжа µ* . Рассмотрим полный дифференциал

функции затрат

dM = ∑ p j dx j .

j=1

Так как в точке минимума x* = (x* ,..., x* )

справедливы равенства

* ∂u

p j

= µ

, j = 1,..., n , то получаем

∂x j

∂u

dM = ∑µ*

dx j = µ* ∑

dx j

= µ*du .

(3.20)

j=1

∂x j

j=1

∂x j

Из (3.20) следует, что в оптимальной точке µ* =

, т.е. множитель Лагранжа µ*

показывает, какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень

удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.

Выше

было

показано

(см.

(3.15))),

что λ* =

∂u(x* )

, т.е.

множитель λ*

∂M

показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную единицу расходуемого дохода. Значит, по смыслу множители µ* и λ* взаимообратны. Установим,

как связаны оптимальные решения взаимной задачи и задачи оптимального выбора благ потребителем. Пусть u0 равно максимальному значению функции полезности u* ,

полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. Тогда вза- имная задача (3.16) – (3.17) примет следующий вид:

найти

	n
min M = ∑ p j		x j	(3.21)
	j=1

при ограничениях

u(x ,..., x ) = u* ; x
u(x ,..., x ) = u* ; x		j	≥ 0, j = 1, n .	(3.22)
1	n	j

Её решение задает минимальный уровень затрат M = M * , обеспечивающий максимальную полезность. Из геометрических соображений следует, что в этом случае оптимальные решения взаимной и исходной задач совпадут. Для n = 2 имеем одну и ту же точку касания бюджетной прямой и кривой безразличия, при этом во взаимной задаче задается кривая безразличия с максимальным уровнем удовлетворения потребностей и нужно найти к ней бюджетную прямую среди всевозможных параллельных между собой бюджетных прямых, а в задаче оптимального выбора благ потребителем задается

бюджетная прямая уравнением p1 x1 + p2 x2 = M и нужно среди всевозможных кривых безразличия найти ту, которая касается данной бюджетной прямой.

В этом случае, как легко видеть, что µ* =	1	, а также M * = M , где M –
	λ*

заданный доход потребителя в задаче оптимального выбора благ потребителем (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Геометрическая интерпретация модели (3.21) – (3.22)

Пример 3.7. Для мультипликативной функции полезности потребителя

u(x1 x2 ) = ax1α1 x2α2 ; 0 < αi < 1, i = 1, 2; a > 0

найти решение:

а) задачи оптимального выбора благ потребителя; б) взаимной задачи.

Решение.

а) Задача оптимального выбора благ потребителя имеет вид

u(x1 x2 ) = ax1α1 x2α2 → max

при ограничениях

p1 x1 + p2 x2 = M ; xi ≥ 0, i = 1, 2 .

Система уравнений (3.13) – (3.14) примет вид

aα1 x1α1 −1x2α2 = λp1 , aα2 x1α1 x2α2 −1 = λp2 ,

(3.23)

p1 x1 + p2 x2 = M .

Решая систему (3.23), получим

α1M

α2 M

(α1 + α2 ) p1

(α1 + α2 ) p2

1−α −α

α1

α2

λ* = a (α1

+ α2 ) 1 2

M −(1−α1 −α2 ) .

(3.24)

Тогда полезность равна

		α	α1		α	2	α2
u* = a		1						M α1+α2 ,

	(α1	+ α2 ) p1		(α1	+ α2 ) p2

а множитель Лагранжа равен

λ* = α1 + α2 u* .

б) Взаимная задача: найти

min (M = p1 x1 + p2 x2 )

при условиях

ax1α1 x2α2 = u0 , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .

Функция Лагранжа этой задачи

L = p1 x1 + p2 x2 + µ (ax1α1 x2α2 − u0 ).

Запишем условия экстремума

∂L = p1 − µaα1 x1α1−1x2α2 = 0, ∂x1

∂L

= p

− µaα

xα1 xα2 −1

= 0,

(3.25)

∂x2

axα1 xα2

= u

Теперь решаем систему (3.25). В результате получим

α2

−

α1

α p

α1 +α2

α p

α1 +α2

α1+α2

α1 +α2

1 2

(3.26)

α2 p1

Минимальные затраты и множитель Лагранжа равны

α2

−

α1

u0 α1+α2

α1 p2

α1+α2

α1 p2

α1+α2

= p1x1 + p2 x2

+ p2

. (3.27)

α2 p1

1−α −α

α1

α2

α1+α2

α1 +α2

α1

α2

При

α1

α2

M α1+α2

= u* = a

(α1

+ α2 ) p1

(α1 + α2 ) p2

получим

α2

α p

α1 +α2

α M

α1

+α2

1 2

α2 p1

(α1 + α2 ) p1

−

α1

α p

α1+α2

α1

+α2

1 2

α2 p1

(α1 + α2 ) p2

Отсюда, при u

= u* имеем

α1M

α2 M

= p1 x1

+ p2 x2 = p1

+ p2

= M .

(α + α

) p

(α + α

) p

Подставим (3.29) в (3.28), получим

1−α1 −α2

α1

α2

µ* =

M 1−α1−α2 .

α1 + α2

α1

α2

Сравнивая (3.30) и (3.24), видим, что µ* =

, т.е. значения множителей

λ*

Лагранжа для рассматриваемых задач при u

= u* взаимообратны. ►

Вопросы для самопроверки

(3.28)

(3.29)

(3.30)

1.Дайте понятие множества благ, ограниченного множества благ и доступных благ

2.Какие возможны множества доступных благ?

3.Дайте понятие функции полезности.

4.Какие типы функции полезности вам известны?

5.Перечислите свойства функции полезности.

6.Что такое поверхность безразличия и кривые безразличия?

7.Перечислите свойства поверхности безразличия.

8.Что такое предельная полезность блага и коэффициент предельной эквивалентной замены благ?

9.В чем состоит задача оптимального выбора благ? Записать математическую модель.

10.Записать решение задачи выбора оптимальных благ.

11.Дайте интерпретацию множителя Лагранжа задачи оптимального выбора благ.

12.Перечислите следствия, вытекающие из оптимального выбора благ?

13.В чем состоит взаимная задача к задаче оптимального выбора благ? Записать математическую модель.

14.Как решить взаимную задачу?

15.Дайте интерпретацию множителя Лагранжа взаимной задачи.

16.Как связаны множители Лагранжа задачи оптимального выбора благ и взаимной задачи.

Тема 4. Балансовые модели

4.1 Балансовый метод. Принципиальная схема межпродуктового баланса

Балансовые модели, как статические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта.(см. рис. 4.1). Если вместо понятия п р о д у к т ввести более общее понятие

р е с у р с , то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования. Кроме приведенного выше требования соответствия производства каждого продукта и потребности в нем, можно указать такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т. д. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко — как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

xij


	Xi				Xj
Yi	Xi	i-ая	xii	x jj	Xj	j-ая


	отрасль				отрасль
	отрасль				отрасль

x ji

Рис. 4.1. Связь отраслей производства

Важнейшие виды балансовых моделей:

•частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

•межотраслевые балансы;

•матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют сложившиеся про- порции, в них ресурсная часть всегда равна расходной.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую роль играет так

называемая технологическая матрица — таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, при построении модели межотраслевого баланса используется специфическое понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродуктовый баланс» и «межотраслевой баланс практически идентичны, отличие заключается лишь в единицах измерения элементов баланса.

Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в табл. 4.1.

								Таблица 4.1
Производящие	Потребляющие отрасли					Конечный	Валовый
отрасли	1	2	3		n	продукт	продукт
1	x11	x12	x13	...	x1n	Y1		X1
2	x 21	x22	x 23		x 2n	Y2		X2
				...
3	x31	x32	x33		x3n	Y3		X3
				...
...	...	...	...		...	...		...
				I
...	...	...	...		...	II		...
				...
...	...	...	...		...	...		...
				...
n	x n1	xn2	x n3		x nn	Yn		Xn


Итого	∑xi1	∑xi	∑xi3	…	∑xin	∑Yi		∑X i


Амортизация	c1	c2	c3	III	cn
Оплата ттруд	v1	v2	v3		vn	IV
				...
Чистый доход	m1	m2	m3		mn

Валовой	X1	X2	X3		Xn		n	n
Продукт							∑Xi = ∑ X j
							i=1	j=1

В основу этой схемы положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукт; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей (имеются в виду чистые отрасли), при этом каждая

отрасль фигурирует в балансе как производящая и как потребляющая.

Рассмотрим схему МОБ в разрезе его крупных составных частей. Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое содержание, они называются квадрантами баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

П е р в ы й к в а д р а н т МОБ — это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общем виде обозначаются x ij , где i и j — соответственно номера отраслей производящих и

потребляющих. Так, величина x32 понимается как стоимость средств производства,

произведенных в отрасли с номером 3 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 2. Таким образом, первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n , сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во в т о р о м к в а д р а н т е представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). В табл. 1 этот раздел дан укрупненно в виде одного столбца величин Yi ; в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой

отрасли показан дифференцированно по направлениям использования: на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде — также распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям.

Т р е т и й к в а д р а н т МОБ также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумму амортизации ( сj ) и чистой продукции ( v j + m j ) некоторой j-й

отрасли будем называть условно чистой продукцией этой отрасли и обозначать в дальнейшем Z j . Таким образом, Z j = c j + v j + m j .

Ч е т в е р т ы й к в а д р а н т баланса находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется содержание квадранта: он отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Более детально составляющие элементы этого квадранта в данном пособии не рассматриваются, однако очень важным является тот факт, что общий итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Запишем два важных соотношения. 1) Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

n
X j = ∑ xij + Z j; j =1,..., n .	(4.1)
i=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]