Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Рис 1.1а.

Рис. 1.1б

Из рисунка 1.1а следует:

1) С ростом затрат рабочего времени L объем выпуска продукции растет.

2) Предельная производительность труда M с увеличением затрат рабочего времени L убывает. Это является отражением закона убывающей эффективности:

каждая дополнительнаяединицаресурсадаетвсеменьшийприростобъема выпускаемой продукции.

3) Средняя производительность труда A также убывает с ростом L, оставаясь выше предельной производительности труда.

Рис. 1.1б показывает, что с ростом трудовых затрат трудоемкость продукции возрастает.

Пример 1.2.

Выпуск автомобилей в зависимости от количества работающего оборудования дан в таблице

Период	Количество	Объем
	работающего	выпуска
	оборудования,	автомобилей
	у.е.	Шт.
1 - ый год	1	150
2 – ой год	2	198
3 –ий год	3	233
4 – ый год	4	261

Построить производственную функцию и рассчитать основные ее характеристики. Решение.

В качестве модели ПФ возьмем функцию

y = a Kb				(1.10)
Параметры модели найдем с помощью метода наименьших квадратов.
Предварительно преобразуем эту функцию с помощью операции
логарифмирования. Получим
z = c + b v ,				(1.11)
где z = ln y, v = lnK.
Запишем невязку для модели (1.11)
4		− c − b v	)2
F = ∑(z	i	− c − b v	)2	(1.12)
i=1	i	i
i=1

Параметры c и b будем искать из условия минимума невязки (9). Необходимое условие минимума (1.12) – это равенство нулю частных производных по c и b. В результате получим систему линейных уравнений относительно c и b:

4	= 4 c + b				4
∑zi	= 4 c + b				∑ vi,
i=1				i=1
4			4		+ b	4	2
∑z	v	i	= c ∑ v	i	+ b	∑ v	2
i=1 i		i	i=1	i		i=1	i
или в матричном виде
A x = g ,							(1.13)

		4			4
4		∑ vi			∑zi
где A =		i=1		, g =	i=1	.
	4	4	2		4
	∑ vi	∑	2		∑zivi
	∑ vi	∑	vi		∑zivi
i=1		i=1		i=1

Решаем систему (1.13), находим c и b, затем параметр a = ec . Вычисления проводим с помощью математического пакета Mathcad.

	1			150

K :=	2		y :=		198	→
K :=	3		y :=		233	→
	3				233	v := ln(K)
						v := ln(K)
	4				261
A1, 1 := 4			A1, 2 := ∑v			A2, 1 := A1, 2
g2 := z v
A =		4	3.178		g =	21.314
A =	3.178		3.609		g =	17.368
	3.178		3.609			17.368
a = 150.039			b = 0.4

		0
→
→	v =	0.693	z =
z := ln(y)	v =	1.099	z =
		1.099

		1.386

A2, 2	:= ∑v1
	g1 := ∑z

x:= lsolve(A,g)	a := exp(x1)

5.011

5.288
5.451		v1 := v2

	5.565

		0

	v1 =	0.48
	v1 =	1.207
		1.207

		1.922

b := x2

Таким образом, получили ПФ y =150 K0.4 . Исследования полученной ПФ

проводим, также как в примере 1.1.

Параметры ПФ функции можно получить также с помощью встроенных в Mathcad опций. Одной из таких опций является поиск параметров линейной регрессии

y = a + b x . Для этого предусмотрены две функции

intercept(x,y) - возвращает значение параметра a (свободный член прямой регрессии;

slope(x,y) - возвращает значение параметра b (угловой коэффициент линии регрессии)

																14
		1				150


K:=		2		y:=		198	→						0			5.011
													0			5.011
	3					233			→
	3					233	v:=ln(K)		→				0.693			5.288
							v:=ln(K)	z:=ln(y)			v =			z=
		4				261		z:=ln(y)			v =	1.099		z=	5.451


													1.386			5.565
c:=intercept(v,z)						b:=slopev(,z)		a:=expc()			a =150.039			b =0.4
						b:=slopev(,z)		a:=expc()			a =150.039			b =0.4
f(x) :=a xb
	i:=1..4
				400
				400
			yi	300
				300

				200
			f(x)	200
			f(x)
				100
				100
				0
				0	0	2	4	6		8		10
					0	2	4	6		8		10

Ki,x

Другой опцией является поиск параметров нелинейной регрессии общего вида F(x,p1,p2,...,pn) , где p1,p2,...,pn - параметры модели. В нашем случае имеем

модель Y(x,a,b) = a xb . Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется следующая функция: genfit(x,y,vs,Y) - возвращает вектор p

параметров функции Y , дающий минимальную среднеквадратичную погрешность описания исходных данных функцией Y , заданных векторами x и

Y должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор vs должен содержать начальные значения элементов вектора p , необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии

итерационным способом.

	1					150

K:=	2			y :=		198			Y(x,a,b) :=a xb
	3					233

			4			261
							p2
					p1x
						p					10
Y1x(,p) :=											10
							2			vs :=
						x	2			vs :=
											0
						p2
						p2				a :=z1
				p1	x		ln(x)			a :=z1
a = 150.082								b = 0.4
i:=1..4
		yi		400
				400

				200
		G(x)		200
		G(x)
				0

					0			5		10
					0			5		10

Ki,x

d Y(x,a,b) → xb	d Y(x,a,b) → a xb ln(x)
da	d Y(x,a,b) → a xb ln(x)
	db

	z:=genfitK(,y,vs,Y1)		150.082
	z:=genfitK(,y,vs,Y1)
		z =
			0.4
b :=z2	G(x) :=Y1x(,z)
	1

Пример 1.3

Объем выпускаемой продукции в стоимостном выражении определяется через объем трудовых ресурсов и объем основных фондов формулой Кобба – Дугласа

Y =1000 K0.5 L0.4 (тыс. руб.)

•Построить график ПФ как функции K при фиксированных значениях

L = 30,40,50 тыс. руб.

•Построить график ПФ как функции L при фиксированных значениях

K =100,150,200 тыс. руб.

•Рассчитать характеристики ПФ: предельные и средние производительности Mi,Ai ресурсов, эластичности выпуска по труду EL и по капиталу EK ,

капиталоемкость f =1/ AK и трудоемкость выпуска t =1/ AL

•Построить изокванты Y = 38980руб. и Y = 50000

•Рассчитать капиталовооруженность труда k = K /L

•Вычислить предельную норму замещения ресурсов RLK , RKL и

эластичность замещения ресурсов ELK , EKL.

Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. Построим трехмерный график ПФ

Сечения ПФ по K

Сечения ПФ по L

Расчет характеристик ПФ

Дадим краткий комментарий полученным результатам:

Двухмерная ПФ определена в первом квадранте и является выпуклой вверх по обеим переменным функцией;

С увеличением объема ресурсов объем производства растет

При фиксированных значениях объема одного из ресурсов зависимость ПФ от второго ресурса является возрастающей по второму ресурсу, при этом чем больше значение фиксированного ресурса, тем выше кривая на графике

Предельная и средняя производительности ресурсов являются убывающими функциями своих ресурсов, что отражает экономический закон убывающей эффективности производства. Средняя производительность выше предельной.

Капиталоемкость и трудоемкость выпуска продукции возрастают с ростом затрат ресурсов

Построим изокванты и рассчитаем капиталовооруженность труда, предельную норму и эластичность замещения труда капиталом Экономический анализ полученных результатов.

Изокванта (или линия уровня) является убывающей функцией своего аргумента, т. е. при уменьшении затрат одного ресурса для сохранения объема производства необходимо увеличить затраты второго ресурса. Чем выше объем производства, тем выше график изокванты

Капиталовооруженность труда уменьшается с увеличением затрат труда

Предельная норма замещения труда капиталом уменьшается с ростом объема труда. Чем выше объем производства, тем выше график кривой предельной нормы замены труда капиталом

Эластичность замещения труда капиталом не зависит от затрат труда

Пример 1.4

В таблице приведены значения объема выпуска для различных значений затрат ресурсов

L	50	60	70	80
K
10	31.518	35.162	38.569	41.786
20	41.589	46.396	50.892	55.138
30	48.912	54.566	59.854	64.846
40	54.877	61.220	67.153	72.754

Найти параметры ПФКД: Y = a Kα Lβ

Решение

Поиск параметров a,α,β с помощью пакета Mathcad можно выполнить двумя способами:

1)Путем проведения многомерной регрессии между объемом производства

изатратами ресурсов.

Для этого предварительно логарифмируем исходные данные, что эквивалентно переходу от нелинейной ПФ к линейной

Z(a,α,β) = ln(Y) = ln(a) + α ln(K) + β ln(L)

Для проведения многомерной регрессии используется функция regress(Mxy,Vz,n)- возвращает вектор искомых параметров регрессии. Mxy -

матрица m 2, содержащая координаты x и y. Vz - m -мерный вектор, содержащий значения функции, соответствующие переменным x и y.

2) Путем минимизации невязки

n m			− c − α x		− β y		)2	→ min ,
F = ∑ ∑	(Z	ij	− c − α x	i	− β y	j	)2	→ min ,
i=1j=1		ij		i		j
i=1j=1

где Z = ln(Y), c = ln(a), x = ln(K), y = ln(L); n = 4 - число значений аргумента x;

m = 4 - число значений аргумента y.

Минимизация невязки эквивалентна решению системы линейных уравнений относительно искомых параметров c, α, β :

A p = g,

Здесь вектор p = (c, α, β) - искомый вектор параметров ПФ;

n m

g = ( ∑ ∑ Zij,

∑ ∑ Zij xi,

∑ ∑ Zij yj)

- вектор правой части

i=1j=1

n m

∑ x

∑ y

i=1

j=1

A = m ∑ x

m ∑ x

∑ y

∑ x

- матрица системы

i=1

j=1

i=1

∑ y

∑ x

∑ y2

j=1

i=1

j=1

Рассчитаем параметры первым способом

10		50
	10	60

10		70
	10	80
	20	50

20		60
	20	70

:= 20		80
XY 30		50
	30	60

30		70

30 80

40 50

40 60

40 7040 80

→

Mxy:=ln(XY)

α :=Vs4

31.518

35.162

38.569

41.786

41.589

46.396

50.892

:=	55.138
Y	48.912

	54.566
	59.854

64.846

54.877

61.220

67.15372.754

→

Vz:=ln(Y) Vs:=regressMxyVz(, ,1)

5	(	6)
β :=Vs	a :=expVs

a = 1.2

α = 0.4

β = 0.6

	3
	3

=	1
Vs	0.4
	0.6
	0.6
	0.182

Ответ: a =1.2; α = 0.4; β = 0.6. Y =1.2 K0.4 L0.6

Проведем расчет параметров ПФ вторым способом.

31.518 35.162

38.569 41.786

Y :=

41.589 46.396

50.892 55.138

K :=

L :=

48.912 54.566

59.854 64.846

54.877 61.220

67.153 72.754

→

Z := ln(Y)

A1, 1 := 16

A1, 2

:= 4 ∑x A1, 3 := 4 ∑y

x:= ln(K)

y := ln(L)

A2, 1 := 4 ∑x

→

A2, 2 := 4 ∑x1

A2, 3 := ∑x ∑y

A3, 1 := 4 ∑y

x1:= x2

A3, 2 := ∑x ∑y

→

A3, 3 := 4 ∑y1

v1 := ∑Z 1

v2 := ∑Z 2

y1 := y2

v3 := ∑Z 3

v4 := ∑Z 4

g1 := ∑v

b1 := y1 ∑Z 1

b2 := y2 ∑Z 2

b3 := y3 ∑Z 3

b4 := y4 ∑Z

g3 := ∑b

ZT := ZT d1 := x1 ∑ZT 1

d2 := x2 ∑ZT

d3 := x3 ∑ZT

d4 := x4 ∑ZT

49.554

66.548

62.667

g2 := ∑d

g =

A =

49.554 157.809 206.104

195.821

260.941

66.548 206.104

277.278

p := lsolve(A, g)

a := exp(p1)

α := p2

β := p3

a = 1.2

α = 0.4

β = 0.6

Ответ: a =1.2, α = 0.4, β = 0.6

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023472.91 Кб13Математические основы теории систем.-1.pdf
#
05.02.20232.17 Mб19Математические основы теории систем.-2.pdf
#
05.02.20232.18 Mб15Математические основы теории систем..pdf
#
05.02.2023974.28 Кб11Математический Аппарат Теории Сигналов и Систем.-1.pdf
#
05.02.2023435.96 Кб5Математический аппарат цифровой микроэлектроники..pdf
#
05.02.20235.2 Mб38Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad.-1.pdf
#
05.02.20236.12 Mб42Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в MATHCAD..pdf
#
05.02.2023198.97 Кб7Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-1.pdf
#
05.02.2023582.34 Кб17Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-2.pdf
#
05.02.20232.32 Mб16Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-3.pdf
#
05.02.20235.16 Mб65Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf