Математические основы теории систем.-2
.pdf
Возьмем частную производную по pi |
от выражения (6.6.22): |
|
|||||||
2 |
∂Tp |
= p ∂ x•1 + p |
∂ x•2 |
+... + x• |
+...+ p |
∂ x•n . |
(6.6.26) |
||
∂pi |
2 ∂pi |
||||||||
|
1 ∂pi |
i |
|
n ∂pi |
|
||||
Вычитая выражение (6.6.25) из равенства (6.6.26), получим |
|
||||||||
|
|
|
∂Tp |
• |
|
|
|
||
|
|
|
|
= xi . |
|
|
(6.6.27) |
||
|
|
|
∂pi |
|
|
||||
Используя формулы (6.6.27) и (6.6.16), уравнение Лагранжа (6.6.14) приведем к виду
• |
∂Tp |
|
|
pi + |
|
= ri . |
(6.6.28) |
∂xi |
Две системы уравнений (6.6.27) и (6.6.28)) называются уравнениями Гамильтона (для кинетической энергии).
В случае консервативной системы входное воздействие определяется выражением
|
|
ri = − |
∂V , |
(6.6.29) |
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
• |
|
где V =V (x) – потенциальная энергия, не зависящая от x . |
|
|||
Так как лагранжиан определяется формулой (6.6.8) |
|
|||
• |
|
• |
|
|
L xi , xi |
= T• xi , xi −V (xi ), |
|
||
|
|
x |
|
|
то его частные производные равны
∂L |
|
∂T• |
|
∂L |
|
∂T• |
∂V . |
|
= |
x |
и |
= |
x |
− |
|||
• |
• |
|
|
|||||
|
|
∂xi |
∂xi |
∂xi |
||||
∂ xi |
|
∂ xi |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
306
Поскольку при движении консервативной системы ее полная энергия остается неизменной, Н – функция Гамильтона не зависит от времени и
dHdt = 0 . Это действительно так, поскольку
dH |
n |
|
∂H dpi + |
∂H |
|
, |
|
= ∑ |
dxi |
||||||
dt |
i=1 |
|
∂pi |
dt |
∂xi |
dt |
|
а выражение в скобках, согласно уравнениям (6.6.34) и (6.6.35), равно нулю, если Н явно не зависит от времени.
6.6.3.Уравнение Гамильтона – Якоби
Во многих случаях решения уравнений (6.6.34), (6.6.35) найти не удается. Один из путей решения этих уравнений состоит в переходе от координат (p,x) к другой системе координат (α,β) , относительно которых
преобразованные уравнения имеют более простой вид. Такие преобразования, результатом которых являются новые уравнения все в той же канонической форме, называются каноническими преобразованиями. Отсюда, если
pi = pi (α,β) и xi = xi (α,β) |
(6.6.36) |
есть канонические преобразования, то уравнения движения в новой системе координат (α,β) будут иметь все тот же канонический вид
dαi = − ∂H , dt ∂βi
(6.6.37)
dβi = ∂H , dt ∂αi
где H – гамильтониан, выраженный в новой системе (α,β) .
Смысл преобразований (6.6.36) и перехода к каноническим уравнениям Гамильтона (6.6.37) состоит в том, чтобы гамильтониан H являлся бы только функцией переменных α и не зависел бы от β . Такую цель позволяет достичь преобразование
308
Используя равенства (6.6.37) и (6.6.42), из последнего уравнения имеем
∂H |
|
|
|
|
|
dαi |
|
dαi |
|
|
|
|
|
|
|
dαi |
|
|
|
|
|
= |
∂H |
|
|
− |
|
∂2S |
= |
∂H |
|
− |
d |
∂S |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(6.6.43) |
|||||||
∂t |
|
∂αi |
|
dt |
|
dt |
|
∂t∂αi |
|
∂αi |
|
dt |
|
dt |
∂t |
|
|||||
Чтобы гамильтониан H не зависел от βi , первое слагаемое в уравне-
нии (6.6.43), согласно соотношению (6.6.39), должно быть равно нулю. Это будет выполняться, если справедливо уравнение
∂H |
= − |
d |
∂S |
|
∂t |
|
|
. |
|
|
||||
|
dt |
∂t |
||
Из последнего соотношения получаем уравнение для S
H = − |
∂S |
, |
(6.6.44) |
|
∂t |
||||
|
|
|
которое называется уравнением Гамильтона – Якоби.
К каноническим уравнениям Гамильтона и Гамильтона – Якоби приходят при синтезе оптимальных систем методом максимума Понтрягина или методом динамического программирования Беллмана [14].
Контрольные вопросы
1.Какой вид имеет стандартная форма (каноническая форма фазовой переменной) записи уравнений состояния?
2.Что такое нормальные координаты системы?
3.Как можно перейти к нормальной (канонической) форме уравнений состояния?
4.Какой вид имеют матрицы в канонической форме уравнений состо-
яния?
5.Что такое переходная (фундаментальная) матрица?
6.Какие методы существуют для вычисления переходной матрицы?
7.Назовите основные свойства переходной матрицы.
8.Что такое сопряженная система и сопряженный оператор?
9.В каком случае переходная матрица нестационарной системы представляет матричную экспоненту?
10.Что такое матрицант и как он вычисляется?
310
11.Каков физический смысл лагранжиана системы?
12.Сформулируйте принцип Даламбера.
13.Запишите простейшее уравнение Эйлера – Лагранжа.
14.В каких случаях возможно аналитическое решение уравнения Эйлера – Лагранжа?
15.Каков физический смысл функции Гамильтона?
16.В чем смысл перехода к каноническим уравнениям Гамильтона – Якоби?
311
ЛИТЕРАТУРА
1.Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Часть 1: Учебное пособие. − Томск: Изд-во НТЛ, 2007. − 184 с. ISBN 978-5-89503-357-9.
2.Карпов А.Г. Математические основы теории систем. Часть 2: Учеб-
ное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. − 138 с.
3.Карпов А.Г. Теория автоматического управления. Часть 2: Учебное пособие. − Томск: Изд-во ТМЛ-Пресс, 2012. − 264 с. ISBN 978-5-9130- 2136-6.
4.Карпов А.Г. Цифровые системы автоматического управления (Ос-
новы теории): Учебное пособие. − Томск: Изд-во НТЛ, 2007. − 288 с. ISBN 978-5-89503-358-6.
5. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П., Основы системного анализа. – Томск: Изд-во НТЛ, 2003. – 396 с. ISBN 5-89503-004-1.
6. Вунш Г. Теория систем. – М.: Советское радио, 1978. – 288 с.
7. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 480 с. ISBN 5-283-01563-7.
8. Закревский А.Д. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. – М.: Наука, 1971. – 512 с.
9.Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. – М.: Наука, 1971. – 416 с.
10.Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. – М.: “Наука”, 1970. – 620с.
11.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Госиздат, 1951.
12.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: “Наука”, 1974.
13.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: “Наука”, 1966.
14.Ту Ю. Современная теория управления. – M.: “Машиностроение”, 1971. – 472c.
312
Учебное издание
Александр Георгиевич Карпов
Математические основы теории систем
Учебное пособие
Издание подготовлено
вавторской редакции
6.7Коорректор Г.И. Иванченко
Верстка макета и дизайн обложки
Редактор
Верстка
Изд. лиц. Подписано к печати.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Times».
Усл. п. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 100 экз.
ООО «Издательство ТМЛ-Пресс» 634050, г. Томск, ул. Советская, 33, оф. 10, тел. (382-2) 52-87-15
Отпечатано Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, г. Томск, пр. Ленина, 40
125