Математические основы теории систем.-2

числом N членов ряда, если относительный вклад (N+1)-го слагаемого в уже вычисленную сумму для каждого элемента матрицы Φ(t) становит-

ся меньше наперед заданного числа.

Метод преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к уравнению (6.4.1), полагая t0 = 0 :

sX (s) − x(0) = AX(s) .

Полученное уравнение разрешим относительно X(s) :

Применяя к обеим частям уравнения (6.4.4) обратное преобразование Лапласа, получим

Из уравнений (6.4.5) и (6.4.2) делаем вывод, что переходная матрица может быть представлена формулой

Таким образом, в этом методе для вычисления переходной матрицы необходимо найти обратную матрицу [sE− A]−1 и применить к ней об-

ратное преобразование Лапласа.

Пример 6.1. Найти переходную матрицу для матрицы A из примера 5.9

285

Для произвольной матрицы A на основании преобразования подобия Λ = M−1AM можно записать

Переходную матрицу на основе (6.4.8) можно представить, воспользовавшись формулой (5.6.16):

Выражение (6.4.9) представляет собой еще один метод вычисления переходной матрицы (с использованием модальной матрицы).

Пример 6.2. Найти переходную матрицу с помощью модальной матрицы для матрицы A из примера 6.1

Присоединенная матрица Adj[λE − A] равна

Подставив в неё последовательно λ1 = −1 и λ2 = −2 , получим две мат-

рицы, каждая из которых даст свой собственный вектор как ненулевой столбец. Составим из этих векторов модальную матрицу M и найдем

обратную к ней M−1

На основе (6.4.9) получаем

287

где подлежит определению неизвестный вектор z(t) = (E + U(t))x(t0 ) . Подставляя выражение (6.4.10) в уравнение (6.2.6), получим

Так как переходная матрица удовлетворяет однородному уравнению (6.4.1), первое слагаемое в последнем выражении равно нулю и получаем

Учитывая, что z(t0 ) = x(t0 ) , из уравнений (6.4.10) и (6.4.12) находим x(t)

t

x(t) = Φ(t − t0 ) x(t0 )+ Φ(t − t0 )∫Φ−1 (τ − t0 )Br(τ)dτ.

t0

Поскольку

Φ(t − t0 ) Φ-1 (τ − t0 ) = eA(t−t0 ) e−A(τ−t0 ) = eA(t−τ) = Φ(t − τ),

окончательно получаем

Решение для y(t) следует из подстановки уравнения (6.4.13) в уравнение выхода (6.2.6)

Выражения (6.4.13) и (6.4.14) являются решениями уравнений состояния (6.2.6). Первое слагаемое в уравнении (6.4.14) представляет собой переходную составляющую решения, обусловленную начальными условиями, тогда как второе слагаемое (по сути, это интеграл свертки) является вынужденной составляющей, зависящей от входного воздействия.

6.5Обыкновенные уравнения нестационарных систем

6.5.1.Переходная нестационарная матрица

Если параметры системы изменяются во времени, то элементы матрицы A не являются постоянными, а являются функциями времени. В этом случае однородное векторно-матричное дифференциальное уравнение имеет вид

При решении этого уравнения естественно обратиться к скалярной аналогии, то есть к скалярному уравнению

Решение уравнения (6.5.2) равно

где t0 – некоторый начальный момент времени.

290

По аналогии с формулой (6.5.3) решение матричного уравнения (6.5.1) предполагается в виде

Но при подстановке выражения (6.5.4) в уравнение (6.5.1) видно, что формула (6.5.4) действительно представляет собой решение в том и только в том случае, если

t

где I(t) = ∫A(t)dt.

t0

К сожалению, условие (6.5.5) выполняется не всегда; более того, оно чаще не выполняется, чем выполняется. В двух частных, но тривиальных случаях уравнение (6.5.5) выполняется всегда, а именно, когда матрица A – постоянная или когда A – диагональная матрица. Решение для первого случая уже разбиралось, а во втором случае уравнения состояния оказываются не связанными друг с другом, так что для каждого xi го-

дится решение (6.5.3).

Можно показать, что условие (6.5.5) трансформируется в условие коммутативности для матрицы A

Таким образом, если выполняется условие (6.5.6), то выражение (6.5.4) является решением уравнения (6.5.1) и переходная матрица состояния (зависящая уже от двух аргументов t и t0 ) равна

291

Если условие коммутативности (6.5.6) не выполняется, переходная матрица уже не может выражаться уравнением (6.5.7). Тогда решение уравнения (6.5.1) можно получить методом, известным как метод интегрирования Пеано – Бэкера. Этот метод заключается в следующем.

При заданных начальных условиях x(t0 ) проинтегрируем уравнение (6.5.1)

Это уравнение можно встретить под названием векторного интегрального уравнения Вольтерра. Решается это уравнение путем последовательных подстановок правой части уравнения (6.5.8) в подынтегральное выражение вместо x(t) . Например, первая итерация даст

Упростить запись подобных выражений можно введением оператора

t

интегрирования Q(...) = ∫(...)dτ . Тогда уравнение (6.5.8) можно записать

t0

в виде

x(t) = x(t0 ) +Q (Ax) ,

Продолжая процедуру, описываемую уравнением (6.5.10), получим x(t) в виде ряда Неймана

x(t) = E + Q (A)+ Q (AQ (A)) + Q (AQ (AQ (A)))+ ... x(t0 ). (6.5.11)

292

Первое слагаемое в скобках – это единичная матрица. Второе слагаемое равно интегралу от A(t) в пределах от t0 до t. Третье слагаемое по-

лучается умножением Q(A) на A слева и последующим интегрированием произведения в пределах от t0 до t и т.д. Если элементы матрицы A

ограничены на отрезке интегрирования, то бесконечный ряд сходится равномерно и абсолютно к некоторой квадратной матрице G(A) , назы-

ваемой матрицантом:

Это свойство нетрудно доказать, если взять производную по t от обеих частей выражения (6.5.12).

Выражение (6.5.11) совместно со свойством (6.5.13) дают основание утверждать, что G(A) представляет собой искомую переходную матрицу

состояния нестационарной системы:

Понятно, что при постоянной матрице A из выражения (6.5.12) следует, что

Φ(t,t0 ) = Φ(t − t0 ) = E + (t − t0 )A + (t −2!t0 )2 A2 + (t −3!t0 )3 A3 +... = eA(t−t0 ).

Недостаток этого метода очевиден: при медленной сходимости ряда (6.5.12) процесс вычисления достаточно трудоемок.

Во многих случаях переходная матрица легко получается при надлежащем выборе переменных состояния. Может оказаться полезным определить, существуют ли такие переменные состояния, чтобы было правомерным применение соотношения (6.5.7).

Сведем воедино свойства переходных матриц, часть из которых уже отмечалась.

293

Свойство 1:

Это свойство следует из определения переходной матрицы.

Свойство 2:

Воспользуемся соотношениями

x(t2 ) = Φ(t2 ,t3 )x(t3 ),

x(t1 ) = Φ(t1,t2 )x(t2 ) = Φ(t1,t3 )x(t3 ).

Подставив первое из них во второе, получим

x(t1 ) = Φ(t1,t2 )Φ(t2 ,t3 )x(t3 ) = Φ(t1,t3 )x(t3 ) ,

откуда с неизбежностью следует соотношение (6.5.16).

Свойство 3:

Умножая последнее соотношение справа на Φ−1 (t2 ,t1 ) , получаем

формулу (6.5.17).

Свойство 4 (для стационарных систем):

294