Математические основы теории систем.-2

Дифференцирование по времени. Если матрица A и переменные x1, x2,

…xn являются функциями времени, то производная по t от квадратичной формы Q (t) определяется выражением

dQ (t) = d x(t),A(t)x(t) = xɺ(t),A(t)x(t) + x(t),Aɺ (t)x(t) +

dt dt

+x(t),A(t)xɺ(t).

Для симметрической матрицы A , с учетом соотношения (5.5.12), последнее выражение будет выглядеть

= gradx Q,xɺ(t) + x(t),Aɺ (t)x(t).

Если матрица A не зависит от времени, последнее слагаемое в (5.5.13) обращается в нуль и получаем

5.6Матричные функции

5.6.1.Матричные ряды

Краткая запись произведения матриц AA...A может быть сделана в

форме Ak , где k – число множителей, входящих в произведение. Как и возведение в степень скаляров, умножение степеней матриц подчиняется обычным правилам:

Ak Am = Ak+m ,

(Ak )m = Akm ,

A0 = En .

266

где En – единичная матрица порядка n.

Эти же правила справедливы и при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, т.е. существует обратная матрица.

Можно возводить матрицы и в дробную степень. Так, если Am = B , где A – квадратная матрица, то A является корнем m-й степени из B :

A= mB = B1m .

Вотличие от скаляров, у которых имеется ровно m корней m-й степени, не существует общего правила определения, каким количеством корней m-й степени обладает матрица B . Это число корней зависит от конкретного вида матрицы.

Возьмем произвольный многочлен m-го порядка от скалярной пере-

менной х

Многочлен (5.6.1) можно, как известно, представить в виде произведения

N (x) = pm (x − λ1 )(x − λ2 )...(x − λm ) ,

где λi (i = 1,2,...,m) – корни многочлена, которые предполагаются раз-

личными.

Подобным же образом можно представить и матричный многочлен

Обобщением ряда (5.6.1) будет бесконечный степенной ряд

267

∞

S (x) = a0 + a1x +...+ ak xk +... = ∑ak xk .

k=0

Заменив переменную х в последнем выражении на квадратную матрицу A , получим бесконечный ряд по A

k=0

Вопросы сходимости матричных рядов затрагивать не будем, достаточно знать только, что ряд (5.6.4) сходится, если сходятся соответствующие скалярные ряды S(λi )(i = 1,2,...,n) , где λi – собственные значения

матрицы A .

5.6.2.Функции от матриц

Разложение известных скалярных функций в степенные ряды дает основание для определения этих функций от матриц.

Матричная экспонента:

Ряды (5.6.5) сходятся равномерно и абсолютно. Поскольку произведение матриц в общем случае некоммутативно, равенство eAeB = eBeA =

= eA+B выполняется, только если матрицы A и B коммутативны AB = = BA . Последнее условие выполняется, если B = A или B = −A . В частности, при B = −A имеем

eAe−A = eA−A = e[0] = E ,

откуда ясно, что матрица e−A является обратной к матрице eA .

Если A не зависит от времени, то матричная экспонента eAt определяется подобно уравнению (5.6.5) в форме бесконечного ряда

268

Этот ряд сходится равномерно и абсолютно для всех значений времени t. Производная по t от матричной экспоненты eAt находится почленным дифференцированием ряда (5.6.6)

Обобщая соотношение (5.6.7) для k-й производной с учетом обозна-

ет произведение AB(t) и не существует B(t)A , можно записать

p(eAtB(t)) = eAt pB(t)+ eAtAB(t) = eAt ( pE + A)B(t),

p2 (eAtB(t)) = eAt p2B(t)+ 2eAtApB(t)+ eAtA2B(t) = eAt ( pE + A)2 B(t),

...

pk (eAtB(t)) = eAt ( pE+ A)k B(t).

Матричный гиперболический косинус:

Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помощью вышеприведенных матричных соотношений.

Полезной при выводе ряда тригонометрических тождеств является действительная матрица (2×2), аналог скалярной мнимой единицы

j = −1 . Она определяется как

5.6.3.Теорема Кэли – Гамильтона

Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характеристического полинома D(λ) и используется при нахождении различных

функций от матрицы A .

Теорема 5.6.1 (Кэли – Гамильтона). Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Доказательство. Воспользуемся соотношением (5.4.9) и представим его в виде

A = MΛM−1 .

Для произвольной положительной степени m последнее соотношение представим в форме

271

где λi – собственные значения A , то есть не нули многочлена N(λ) . Если выбранный многочлен является характеристическим многочле-

ном, то есть N(λ) = D(λ) , то N(λ1) = N(λ2 ) = ... = N(λn ) = 0. Отсюда следует, что

D(A) = [0] ,

где D(λ) = λE− A – характеристический многочлен.

Таким образом, теорема доказана для случая, когда все собственные значения λi различны. Однако можно показать, что теорема справедлива

идля произвольной квадратной матрицы.

Спомощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произвольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.

Действительно, решив матричное характеристическое уравнение

D(A) = [0] относительно старшей степени матрицы A , получим форму-

лу для вычисления An через полином (n −1) -го порядка. Последователь-

но умножая правую и левую часть этой формулы на А, имеем итерационную процедуру для возведения A в произвольную степень.

Решив то же уравнение D(A) = [0] относительно низшей степени матрицы A (то есть относительно единичной матрицы) и умножив правую и левую часть на обратную матрицу A−1 , получим выражение для

272

обратной матрицы через полином (n −1) -й степени от матрицы A . В

некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы.

Пусть имеется матричный многочлен N(A) степени большей, чем порядок A . Разделив N(λ) на характеристический полином A , получим

Вышеизложенное можно распространить не только на любую полиномиальную функцию от A , но и на произвольную функцию F(A) , где

F(λ) предполагается аналитической функцией λ в некоторой области. При таком условии F(λ) может быть в области аналитичности представлена рядом Тейлора. Поэтому функция F(A) может быть записана в ви-

Коэффициенты αi в уравнении (5.6.20) можно найти путем последовательной подстановки λ1,λ2 ,...,λn в уравнение (5.6.19). Учитывая, что D(λi ) = 0, получим систему уравнений

273

F(λn ) = R (λn ).

Вэтой системе n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все αi определяются однозначно. Нетрудно показать, что Q(λ) является аналитической функцией в той же области, что и F(λ) , поэтому уравнение

(5.6.19) справедливо для всех λ в области аналитичности F(λ) . Из этого следует, что если область аналитичности F(λ) включает все собствен-

ные значения A , то вместо переменной λ можно подставить A . В результате из уравнения (5.6.19) получим

F(A) = Q (A) D(A) + R (A) ,

атак как согласно теореме Кэли – Гамильтона D(A) = [0] , то из последнего соотношения имеем

Пример 5.9. Воспользовавшись теоремой Кэли – Гамильтона, вычислить матричную экспоненту eAt для матрицы A из примера 5.3

Поскольку матрица A является матрицей второго порядка, то по теореме Кэли – Гамильтона матричная экспонента может быть представлена полиномом первого порядка

Φ (t) = eAt = α0E + α1A ,

где коэффициенты α0,α1 определяются из системы уравнений (5.6.21), куда подставлена искомая функция и собственные числа матрицы A

274