Математические основы теории систем.-2

Перейдем в линейном преобразовании (5.4.2) y = Ax к нормальным координатам. Для этого достаточно в соотношениях (5.4.3), (5.4.4) заме-

255

Учитывая, что M−1y = y′, из последнего соотношения имеем

или расписав уравнение (5.4.11) по компонентам векторов у′ и х′:

y1′ = λ1x1′,

y2′ = λ2 x2′,

...

yn′ = λn xn′.

Таким образом, одноименные координаты векторов в нормальной системе координат оказываются связанными независимыми уравнениями. Попутно отметим, что координаты xi′ (как и yi′) лежат на собственных векторах или их продолжениях.

Столбцы матрицы М образуют базис, а строки M−1 – двойственный базис в исходном пространстве Vn. Если столбцы модальной матрицы обозначить через u1,u2 ,...,un , а двойственный базис – через r1, r2, …rn, то

произвольный вектор у можно представить на основе (5.2.9) в виде

С другой стороны, эквивалентное представление этого вектора у с использованием нормальных координат выглядит так:

Из сравнения выражений (5.4.12) и (5.4.13) следует, что yi′ = ri ,y , и,

следовательно, строки матрицы M−1 образуют двойственный базис. Конечно, к этому же выводу можно было бы прийти из определения

двойственного базиса: двойственным по отношению к исходному базису

256

Они называются клетками Жордана. Количество клеток Жордана, связанных с собственным числом λi , равно количеству линейно незави-

симых собственных векторов, соответствующих λi , то есть дефекту характеристической матрицы [λiE− A] . Но определить порядки клеток

Жордана – задача чрезвычайно трудная, несмотря на то, что число единиц, связанных с конкретным собственным числом λi , вполне определе-

но и равно кратности λi минус дефект [λiE − A] . Поэтому совершенно

непонятно, получится ли в результате преобразования J = M−1AM матрица вида (5.4.14) или, например, матрица

И в той и в другой матрице по две клетки Жордана, связанные с собственным числом λ1 и в обеих матрицах по две единицы в этих клетках,

но в матрице (5.4.14) порядки клеток 3 и 1, а в матрице (5.4.15) обе клетки порядка 2.

В случае полной вырожденности (дефект [λiE − A] равен кратности корня λi ) в клетке Жордана не будет ни одной единицы. В случае простой вырожденности (дефект [λiE − A] равен единице) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали с λi , будут рав-

ны единице. В промежуточных случаях для определения J и М можно довольствоваться методом проб и ошибок исходя из равенства

MJ = AM .

Обозначим модальные столбцы через x1,x2 ,...,xn . Тогда клетка Жордана порядка m, связанная с λi , существует лишь в том случае, если m векторов x1,x2 ,...,xm удовлетворяют уравнениям:

258

Axm = λixm + xm−1.

Уравнения (5.4.16) применимы для любой клетки Жордана. Модальные столбцы можно определить из этих уравнений, последовательно их решая, начиная с первого уравнения.

Пример 5.8. Привести к канонической форме матрицу A

Характеристическая матрица и присоединенная к ней равны

Характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет два корня λ = 1. Подстановка этого числа в характеристическую матрицу дает единственный собственный вектор, соответствующий λ = 1

x = 2 . 1 1

Поскольку ранг характеристической матрицы при λ = 1 равен единице, то её дефект также равен единице и каноническое преобразование приведет к клетке Жордана

J = 1 1 .0 1

Второй собственный вектор найдем, согласно выражению (5.4.16), из уравнения

Ax2 = λ1x2 + x1 .

259

Расписав уравнение по компонентам, получим

−x12 + 4x22 = x12 + 2,

−x12 + 3x22 = x22 +1.

Поскольку полученные уравнения линейно зависимые, одну из компонент вектора x2 можно выбрать произвольно, например, положить

x12 = 1 . Тогда получим x22 = 1, и модальная матрица равна

= 2 1 M 1 1 .

Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что преобразование подобия M−1AM приведет к канонической матрице Жордана

где все составляющие – действительные числа.

Билинейную форму удобно изображать в матричной записи

260

матрицу А привести к диагональному виду. Особенно полезным оказывается ортогональное преобразование, т.е. когда B является ортогональной

матрицей BT = B−1 . Как уже было выяснено в предыдущем подразделе, такое возможно для симметрических матриц А, если в качестве матрицы B взять модальную матрицу М. Таким образом, линейное преобразование x = My приводит к квадратичной форме

Если у симметрической матрицы А ранг r < n , и имеются кратные собственные значения, то по-прежнему модальная матрица может быть составлена из линейно независимых столбцов и в результате преобразование приведет к диагональной матрице. В этом случае модальная матрица М не единственная и, согласно свойствам симметрических матриц, существует бесконечное множество систем m ортогональных собственных векторов, соответствующих собственному числу кратности m. В результате преобразования в квадратичной форме (5.5.6) останется только r слагаемых.

В случае, если конгруэнтное преобразование не ортогональное, квадратичную форму можно привести к виду

где αi (i = 1,2,...,n) – положительные числа.

Число положительных членов p называется индексом квадратичной формы.

Если квадратичная форма имеет ранг r ≤ n , то в выражении (5.5.7) остается только r членов. Форму (5.5.7) можно еще упростить, если ввести невырожденное преобразование переменных

262

Формулу (5.5.8) можно рассматривать как прямое следствие приведения к канонической форме (5.4.7).

5.5.2.Определенные, полуопределенные и неопределенные

формы

Квадратичная форма Q (x) = x,Ax называется положительно опре-

деленной, если она положительна при всех х, исключая x = 0 . Конгруэнтные преобразования (впрочем, как и любые эквивалентные преобразования) не меняют положительной определенности формы, поэтому из соотношения (5.5.8) следует, что квадратичная форма будет положительно определенной, если и только если A является неособенной матрицей, и индекс формы (то есть число положительных членов) равен ее рангу, т.е. p = r = n . Из уравнения (5.5.6) ясно, что квадратичная форма поло-

жительно определена в том и только в том случае, когда все собственные числа матрицы A положительные λi > 0 (i = 1,2,...,n) . Любое из этих

условий может быть использовано при определении положительной определенности квадратичной формы.

Квадратичная форма называется положительно полуопределенной,

если она не отрицательна для всех х и существуют x ≠ 0 , для которых Примечание [ЛВС1]: Q(x) = 0 . Такое будет тогда и только тогда, когда все собственные значе-

ния A неотрицательны и, по крайней мере, одно из собственных значе-

ний равно нулю. При этом матрица A , согласно (5.3.6), будет особенной и ее ранг r < n .

Подобные утверждения могут быть сделаны и относительно отрицательно определенных и отрицательно полуопределенных квадратичных форм. Квадратичная форма Q(x) называется отрицательно определенной,

если она отрицательна для всех х, исключая x = 0 . Квадратичная форма Q(x) будет являться отрицательно полуопределенной, если она не поло-

жительна для всех х и существуют точки x ≠ 0 , для которых Q(x) = 0 .

Квадратичная форма является неопределенной тогда и только тогда, когда матрица A имеет как положительные, так и отрицательные собственные числа. При этом в векторном пространстве Vn можно найти такие точки, в которых квадратичная форма будет иметь противоположные знаки.

Устанавливать определенность квадратичной формы по собственным значениям матрицы A или путем приведения A к канонической форме достаточно сложно при больших размерностях A , поэтому разработан более простой критерий по установлению положительной определенно-

263

сти квадратичной формы. Можно показать, что для того, чтобы квадра-

тичная форма xT Ax или симметрическая матрица A были положительно определенными, необходимо и достаточно, чтобы расположенные в естественном порядке все ее главные миноры были положительны, т.е.

...

n = A > 0.

Эти главные миноры A называются также дискриминантами квадратичной формы.

Для эрмитовых форм существуют аналогичные формулировки. Условия отрицательной определенности могут быть получены, если

потребовать положительную определенность ( −A ).

5.5.3.Дифференцирование квадратичных форм

Необходимость дифференцирования квадратичных форм может возникнуть при исследовании устойчивости динамических систем, либо при проектировании оптимальных систем с использованием квадратичных критериев качества.

Дифференцирование по скалярной величине. Возьмем квадратичную форму

264