Математические основы теории систем.-2

ние (5.2.3). Умножим уравнение (5.2.3) скалярно на xi , i {1,2,…,m} и получим, таким образом, систему уравнений:

k1 x1,x1 + k2 x1,x2 +...+ km x1,xm = 0, k1 x2 ,x1 + k2 x2 ,x2 +...+ km x2 ,xm ,

...

k1 xm ,x1 + k2 xm ,x2 +... + km xm ,xm .

Эта система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для ki (то есть выполняется условие (5.2.3) и векторы xi являются линейно зависимыми) только в том случае, если определитель матрицы с элементами xi ,x j равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен

Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Грама (5.2.5) для такой системы отличен от нуля.

5.2.2.Векторное пространство и подпространство

Под векторным пространством понимают множество векторов, замкнутое относительно определенных в нем операций сложения и умножения на скаляр.

Сложение векторов ассоциативно и коммутативно.

Умножение на скаляр векторов ассоциативно, коммутативно и дистрибутивно относительно сложения.

Векторное пространство, включающее все n-мерные векторы, называют n-мерным векторным пространством Vn. Векторное пространство с

235

умножением на вещественный скаляр называется эвклидовым. Комплексный аналог носит название унитарного пространства. В случае бесконечномерных векторов (но с конечными значениями их норм) получаем гильбертово пространство.

Размерность векторного пространства определяется максимальным числом содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Подпространство Sn n-мерного векторного пространства Vn – это некоторое подмножество Vn, которое само является векторным пространством. Размерность подпространства Sn определяется, как обычно, максимальным числом линейно независимых векторов из Sn.

Вектор у из векторного пространства Vn

где А – квадратная (n × n) невырожденная матрица, принадлежит тому

же пространству Vn.

Уравнение (5.2.6) описывает линейное преобразование и в этом случае говорят, что векторное пространство Vn инвариантно относительно линейного преобразования, заданного квадратной невырожденной матрицей А.

Если матрица А имеет размерность (m× n) , то каждая точка про-

странства Vn (каждый вектор х) отображается преобразованием (5.2.6) в некоторую точку пространства Vm.

Любую матрицу А размерностью (m× n) можно представить как строку m-мерных вектор-столбцов

A = [a1 a2 ... an ] ,

поэтому уравнение (5.2.6) перепишем в виде

y = Ax = x1a1 + x2a2 +... + xnan ,

где xi – компоненты вектора х могут принимать любые значения.

Совокупность линейных комбинаций, определяемая как подпространство, порождаемое векторами у, можно рассматривать как подпространство Vm, порождаемое столбцами матрицы А. Размерность этого подпространства равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы А.

236

5.2.3.Базис векторного пространства

Пространство Vn содержит согласно определению и все линейные комбинации векторов, принадлежащих этому пространству. Возьмем произвольное число m таких векторов. Множество векторов у, являющихся линейной комбинацией этих векторов

образуют векторное подпространство. Если только r векторов в выражении (5.2.7) являются линейно независимыми, то и размерность подпространства будет равна r – рангу системы векторов xi , i {1,2,…,m}. Это

означает, что только r компонент вектора у можно выбирать произвольно, остальные линейно зависят от этих r компонент.

Если же ранг матрицы системы векторов xi равен n, то мы с помо-

щью (5.2.7) получим вектор у из того же пространства Vn. Тогда систему из n линейно независимых векторов называют линейной оболочкой пространства Vn. Эти n линейно независимых векторов можно использовать и как базис пространства. Базисом пространства называют такую систему векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих базисных векторов. Векторное пространство Vn может иметь несколько базисов, более того множество базисов любого векторного пространства континуально ввиду континуальности множеств значений компонент векторов и скаляров, образующих линейную комбинацию. Если базисные векторы попарно ортогональны, то получаем ортогональный базис, а если они к тому же и нормированы, то базис будет называться ортонормированным.

Существует стандартная процедура построения ортонормированного базиса из n линейно независимых векторов, называемая ортогонализаци-

ей Грама – Шмидта.

Пусть задано множество {x1,x2 ,...,xn } линейно независимых векторов

итребуется построить ортонормированный базис {yˆ1,yˆ 2 ,...,yˆ n}.

Вкачестве первого вектора выбираем произвольный вектор xi , например, полагаем y1 = x1 .

Из исходной системы выбираем второй вектор x2 . Второй вектор искомого базиса выберем по формуле

237

y2 = x2 − ky1 ,

где k вычисляется из условия ортогональности y2 и y1 , то есть таким

образом, чтобы y1,y2 = y1,x2 − k y1,y1 = 0 . Из последнего условия

y3, y2 = 0 .

Из этих условий получаем уравнения для k1 и k2

y1,x3 = k2 y1,y2 + k1 y1,y1 = k1 y1,y1 ,y2 ,x3 = k2 y2 ,y2 + k1 y1,y1 = k2 y2 ,y2 ,

или окончательно

y3 = x3 − y2 ,x3 y2 − y1,x3 y1. y2 ,y2 y1,y1

Обобщая последнюю формулу, для j-го вектора имеем

238

Нормируя векторы yi , получаем ортонормированный базис

yˆi = yi . yi

Пример 5.2. Построить ортонормированный базис из системы векторов

Введем еще понятие двойственного базиса, которое в дальнейшем будет полезно. Возьмем систему базисных векторов xi , i {1,2,…,n}. За-

дадим систему векторов rj , удовлетворяющих соотношению

где δik – символ Кронекера.

239

Можно показать, что для любого базиса xi всегда найдется система таких векторов, что удовлетворяются соотношения (5.2.8). Векторы rj явля-

ются линейно независимыми и образуют линейную оболочку, натянутую на базис xi . Следовательно, их можно в свою очередь выбрать как базис-

ные векторы. Базис, состоящий из векторов rj , удовлетворяющих соотношению (5.2.8), называется двойственным по отношению к базису xi .

Двойственный базис можно применять для определения постоянных kj в уравнении (5.2.7) по заданному вектору у, то есть для разложения

заданного вектора у по составляющим базиса x j .

Составляя скалярные произведения правой и левой частей уравнения (5.2.7) с вектором rj , придем к уравнениям для kj:

kj = rj ,y .

Тогда разложение вектора у по базисным векторам xi будет выглядеть следующим образом:

i=1

то есть скалярное произведение ri ,y равно составляющей вектора у в направлении вектора xi .

5.3Собственные значения и собственные векторы

5.3.1.Характеристическое уравнение

Вернемся к уравнению (5.2.6)

y = Ax ,

где матрица А – квадратная размерностью (n × n) .

Интерес представляет вопрос о том, существует ли в пространстве Vn такой вектор х, который в результате преобразования (5.2.6) переходит в

240

вектор у, имеющий такое же направление, как и вектор х. При положительном ответе на этот вопрос должно выполняться уравнение

где λ – некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности.

Задача определения значений λi и соответствующих им векторов xi , удовлетворяющих уравнению (5.3.1), известна как задача о собственных значениях (характеристических числах). Векторы xi , являющиеся реше-

нием уравнения (5.3.1), называются собственными или характеристическими векторами, соответствующими собственным значениям λi.

Векторно-матричное уравнение (5.3.1) можно переписать в таком виде:

где Е – соответствующая единичная матрица. Система однородных уравнений (5.3.2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

Развернув определитель в левой части уравнения (5.3.3), получим многочлен n-й степени относительно λ

Уравнение (5.3.3) является характеристическим уравнением матрицы А, а его корни суть собственные значения (характеристические числа) матрицы А.

Пример 5.3. Составить характеристическое уравнение и найти собственные значения матрицы A

Составим характеристическую матрицу

241

Приравняв нулю определитель характеристической матрицы, получим характеристическое уравнение

Собственные числа равны λ1 = −1, λ2 = −2 .

По теореме Виета коэффициент аn в уравнении (5.3.4) равен произведению собственных чисел, то есть

(5.3.5) следует, что произведение собственных чисел равно определителю матрицы А:

Коэффициент а1 полинома D(λ) по формуле Виета равен a1 = − (λ1 + λ2 + ... + λn ) ,

а раскрывая определитель λE − A , увидим, что коэффициент при λn−1 имеет вид −(a11 + a22 +...+ ann ) , следовательно, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений:

242

Сумма диагональных элементов матрицы носит название следа матрицы и обозначается TrA (первые буквы англ. trace – след).

Введя обозначение Tk = Tr(Ak ) , можно записать полезную формулу,

связывающую коэффициенты ai характеристического уравнения с Tk рекуррентным соотношением, известным как формула Бохера:

...

an = − n1 (an−1T1 +...+ Tn ).

Пример 5.4. Составить характеристическое уравнение и найти собственные числа матрицы A

2

дим AAA

243

откуда T3 = 14 + 3+ 3 = 20 и a3 = − 13 (a2T1 + a1T2 + T3 ) = 6 . Характеристическое уравнение, таким образом, имеет вид

λ3 − 2λ2 − 5λ + 6 = 0 ,

асобственные числа λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3 .

5.3.2.Модальная матрица

Вначале предположим, что все корни характеристического уравнения (5.3.3) различны. Для каждого из n собственных чисел λi матрицы А можно получить вектор решения xi , удовлетворяющий системе уравнений

векторы kxi , где k – произвольный скаляр. То есть уравнение (5.3.9) однозначно задает лишь направление каждого из xi . Из вектор-столбцов xi

или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют модальной матрицей [10]. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными

любому ненулевому столбцу матрицы Adj[λiE − A]. Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения λi , то выбор конкретного λi определяет только один столбец модальной

матрицы.

Таким образом, при различных собственных числах n столбцов модальной матрицы линейно независимы и, следовательно, образуют базис в соответствующем пространстве Vn.

Пример 5.5. Найти собственные векторы и составить модальную матрицу для матрицы A

244