Математические основы теории систем.-2

Меняя порядок перехода к пределам, и учитывая, что

получим искомую формулу (4.3.22)

lim f (t) = lim f (nT ) = lim(1− z−1 )F(z).

Требование отсутствия полюсов функции (1− z−1)F(z) на единичной

окружности и вне ее гарантирует сходимость пределов в формуле (4.3.22).

Теорема о дифференцировании по параметру:

F2 (zξ) .

Обратное z-преобразование. Как известно, по изображению Лапласа F(s) вполне однозначно может быть восстановлена функция-оригинал f (t) (см. формулу (3.3.10)). Для z-преобразования обратное z-

215

преобразование не является однозначным, то есть, если z-преобразование некоторой функции f (t) равно F(z), то обратное z-преобразование, при-

мененное к F(z), не обязательно дает f (t) . Корректный результат обратного z-преобразования есть f (kT) . Об этом необходимо помнить и это

является одним из ограничений метода z-преобразования.

В общем случае обратное z-преобразование может быть определено одним из трех методов.

Метод разложения на простые дроби. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа.

Как известно, преобразование Лапласа может быть получено в виде

где si – простые полюсы, а Ai – вычеты в этих полюсах.

Тогда функция-оригинал определится как сумма экспонент.

Для z-преобразования не нужно представлять функцию-изображение в форме (4.3.28). В таблицах обратное z-преобразование для функции Az − a отсутствует (хотя при положительном значении а член такого

вида соответствует последовательности импульсов с экспоненциально затухающей амплитудой, когда присутствует временная задержка).

Но известно (см. пример 4.3.2), что обратное z-преобразование функции Azz − e−aT равно Ae−akT , следовательно, удобнее разложить на простые дроби функцию F(z)z , а после этого обе части равенства умно-

жить на z. Далее находим оригиналы для каждого из слагаемых и записываем результат в виде суммы полученных оригиналов.

Согласно примерам 4.8÷4.10 при T =1получим

f (k) = 2(2k −1− k), при k ≥ 0 .

Если T не равно единице, то по теореме об интервале квантования будет

f (kT) = 2(2k −1− k), при k ≥ 0 .

Для функций-изображений, не содержащих нулей z = 0 , то есть не имеющих в качестве множителя в числителе z, временная последовательность оригинала будет иметь сдвиг по оси времени. В этом случае нахождение обратного z-преобразования будет таким.

Разложение F(z) представляется в обычном виде

F(z) = z −A1z1 + z −A2z 2 +... z −Anz n ,

после чего вводится вспомогательная функция

По последнему выражению определяется функция оригинал f1(kT) и, далее, функция f (kT ) :

Последний переход в формуле (4.3.29) непосредственно следует из определения z-преобразования, если f(kT)≡0 при k<0.

Метод разложения в степенной ряд. Из определения z-преобра- зования (формула (4.3.12)) следует, что обратное z-преобразование может быть получено разложением изображения F(z) в бесконечный ряд по степени z−1 :

217

Величины f (kT) определяются непосредственно по виду этого вы-

ражения. Формулу (4.3.30) можно рассматривать как разложение в ряд Тейлора около бесконечно удаленной точки z → ∞ . Если обозначить

через ϕ(z) функцию, получающуюся из F(z) заменой z на 1/z, то из выражения (4.3.30) следует, что

ϕ(z) = f (0) + f (T)z + f (2T )z2 + ...+ f (kT)zk. + ...

является разложением в ряд Тейлора функции ϕ(z) относительно начала координат и, следовательно,

Но обычно проще найти эти коэффициенты непосредственно делением числителя на знаменатель, так как z-преобразование, как правило, дробно-рациональная функция z. Если использовать ϕ(z), то многочлены при делении следует записывать в порядке возрастания степеней. Если же оперировать непосредственно с F(z), числитель и знаменатель нужно

записывать по возрастающим степеням z−1 .

Этот метод проще любого другого, если требуется определить ƒ(kT) только в нескольких точках t = kT . Недостатком же его является невозможность получения общего выражения для k-го члена в замкнутой форме.

Пример 4.12. Найдем первые пять значений функции f (kT ) по её пре-

образованию F(z) = 2z . z3 − 4z2 + 5z − 2

Осуществляя непосредственное деление числителя на знаменатель, получаем ряд Лорана

F(z) = 2z−2 + 8z−3 + 22z−4 + ....

Коэффициенты этого ряда являются значениями искомой функции в дискретные моменты времени

218

f (0) = 0, f (T) = 0, f (2T) = 2, f (3T) = 8, f (4T ) = 22,

...

Метод, основанный на использовании формулы обращения. Для обратного z-преобразования можно получить интеграл обращения, аналогичный интегралу обратного преобразования Лапласа (3.3.10).

Возьмем интеграл обратного преобразования Лапласа (3.3.10):

где с – абсцисса абсолютной сходимости, следовательно, все особые точки функции F(s) лежат слева от линии интегрирования.

Имея в виду, что требуется получить в результате вывода формулы функцию ƒ(kT), заменим t = kT и разобьем линию интегрирования на бесконечное число отрезков:

...− 23 ωs < ω < − 12 ωs ;− 12 ωs < ω < 12 ωs ; 12 ωs < ω < 23 ωs ...,

общая формула для которых (n −12)ωs < ω < (n +12)ωs , (n = 0,±1,±2,...) . В результате получим

В правой части последнего выражения поменяем местами операцию суммирования и интегрирования и вместо переменной интегрирования s введем переменную s+jnωs

219

Вспоминая формулу (4.3.9) и учитывая, что e2πjnk = 1, имеем

Теперь от дискретного преобразования Лапласа F*(s) перейдем к z- преобразованию заменой переменной (4.3.10).

Тогда ds = T1 dzz , линия интегрирования в соответствии с преобразо-

ность радиуса ecT , причем область, лежащая слева от линии интегрирования для переменной s, отобразится внутрь окружности для переменной z, и окончательно получим

где Г – окружность радиуса ecT .

Так как F(s) не имеет особых точек на линии интегрирования и справа от нее, то все особые точки подынтегрального выражения (4.3.31) должны лежать внутри окружности Г. Тогда по теореме Коши о вычетах интеграл (4.3.31) может быть представлен как

Пример 4.13. Найдем оригинал от то же преобразования, что и в примерах 4.11 и 4.12.

220

что соответствует результату примера 4.11.

4.3.3.Разностные уравнения и z-преобразование

Решение разностных уравнений легко получить, используя z- преобразование.

Возьмем разностное уравнение в общем виде (4.2.1):

a0 y (k + n)+ a1 y (k + n −1)+ ... + an y (k ) = b0r(k + m)+ ... + bmr (k ) .

Применим z-преобразование почленно к правой и левой частям этого уравнения. Учитывая теорему о сдвиге во временной области, получим

Разрешив это уравнение относительно Y(z), можно далее на основе методов обратного преобразования получить y(k) . Как видно, в уравне-

нии (4.3.33) присутствуют члены от y(0) до y(n −1) . Эти члены пред-

ставляют n граничных (начальных) условий, необходимых для определения произвольных постоянных в классическом решении.

Соотношение (4.3.33) значительно упрощается, если разностное уравнение (4.2.1) описывает предварительно невозбужденную физически реализуемую систему. Термин «предварительно невозбужденная система» означает, что запасенная системой к моменту времени t = 0 энергия равна нулю, или, что y(k) = r(k) ≡ 0 при k < 0 .

Для физически реализуемой системы реакция на выходе не может появиться ранее воздействия на ее входе, то есть в разложении по степеням

z−1 отсутствуют члены с положительными степенями z, откуда следует, что в уравнении (4.2.1) должно выполняться условие m ≤ n . Подставим в

a0 y (n −1)+ a1 y (n − 2)+ ...+ an−1 y (0) =

=b0r(m −1)+ b1r (m − 2)+ ... + bm−1r (0).

Вправой части равенств (4.3.34) все слагаемые с отрицательным аргументом равны нулю.

Сравнивая выражения (4.3.34) и (4.3.33) нетрудно видеть что

(a0 zn + a1zn−1 +... + an )Y (z) = (b0 zm + b1zm−1 +... + bm )R(z) ,

откуда

Из формулы (4.3.35) видно, что существует непосредственная связь между преобразованиями от входного и выходного сигналов предвари-

222

тельно невозбужденной системы. Эта связь устанавливается импульсной

передаточной функцией

которую можно определить как отношение z-преобразований выхода и входа предварительно невозбужденной системы. Сравнение выражений (4.3.36) и (4.2.31), (4.2.32) показывает, что импульсную передаточную функцию можно записать непосредственно по разностному уравнению.

Пример 4.14. Пусть предварительно невозбуждённая система описывается уравнением

y (k + 2)− 3y (k +1)+ 2y (k) = 2r(k +1)+ 2r(k) .

Найти выход системы, полагая, что воздействие на входе

Применим z-преобразование, воспользовавшись результатом примера 4.10

На основе примера 4.13 получим

y (k) = 2(2k − k −1) при k ≥ 0 .

Контрольные вопросы

1.Как связан оператор сдвига E и разностный оператор Δ?

2.Как определяется порядок разностного уравнения?

3.Что такое факториальный многочлен?

4.Какие методы существуют для вычисления конечных рядов?

223

5. Как записывается обратный разностный оператор −1 ?

6.В какой форме записывается общее решение однородного разностного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

7.Какая форма записи решения для комплексных корней характеристического уравнения?

8.Какие методы существуют для нахождения частного решения разностного уравнения?

9.К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных разностных уравнений?

10.Как составляется определитель Касорати?

11.В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного разностного уравнения n- го порядка?

12.Как учитывается запасенная энергия системы к начальному моменту времени в решении разностного уравнения?

13.Как связано дискретное преобразование Лапласа и z- преобразование?

14.По каким формулам можно вычислить z-преобразование?

15.Что такое импульсная передаточная функция системы?

16.Какие методы существуют для нахождения обратного z- преобразования?

17.Перечислите основные свойства z-преобразования.

18.Назовите основные этапы решения разностного уравнения с по-

мощью z-преобразования.

224