Математические основы теории систем.-2

точная функция», «дискретная передаточная функция»). Более строго импульсная передаточная функция будет определена чуть дальше с использованием z-преобразования.

4.3Методы преобразований

4.3.1.Дискретное преобразование Лапласа

Для исследования непрерывных систем широко применяется преобразование Лапласа. Но непосредственное применение преобразования Лапласа к разностному уравнению и, в частности, к любой решетчатой функции f (kT) тождественно дает нуль, так как площадь этой функции

(или в физической интерпретации – энергия такого сигнала) равна нулю. Чтобы выйти из этого затруднительного положения, придадим функции f (kT ) площадь, равную значению этой функции. Проще всего это сде-

лать, умножив значение функции в точке t = kT на дельта-функцию, принимающую бесконечное значение в этой же точке. Проделав такую операцию для всех k, при которых определена функция f, получим импульсную функцию

k=−∞

представляющую собой последовательность «идеальных» импульсов с бесконечной амплитудой и бесконечно малой длительностью, причем каждый импульс имеет площадь, равную значению функции f (kT ) .

Точно такую же импульсную функцию можно получить и из непрерывной функции f (t) , применив к ней формулу (4.3.1)

где через δT (t) обозначена соответствующая сумма δ-функций.

Воспользовавшись выражением (4.3.2) можно дать одно из понятий дискретного преобразования Лапласа, наиболее удобное с инженерных позиций. Определим дискретное преобразование Лапласа функции f (t)

205

как преобразование Лапласа от импульсной функции f*(t), соответствующей непрерывной функции f (t) :

Преимущество такого определения состоит в том, что эта новая операция полностью выражается через уже знакомую и хорошо изученную операцию обычного преобразования Лапласа.

Согласно (4.3.3) и с учетом (4.3.2) имеем

Поменяв в правой части последнего выражения порядок интегрирования и суммирования, получим

В формуле (4.3.4) отсутствует δ-функция, и она может быть использована непосредственно для решетчатой функции.

Нетрудно получить альтернативную формулу для вычисления дискретного преобразования Лапласа функции f (t) по ее обычному преоб-

разованию Лапласа.

Опять воспользуемся выражениями (4.3.2) и (4.3.3). Имеем

F*(s) = L{ f * (t)}= L{ f (t)δT (t)}.

Для вычисления правой части последнего выражения используем теорему свертки в области изображений (см. формулу (3.3.22)), учитывая, что

206

При записи выражения (4.3.5) использована формула (3.3.22), причем в качестве функций F1(s), F2(s) взяты соответственно 11− e−sT и F(s), а

величина с удовлетворяет соотношениям (3.3.23) и (3.3.24), следовательно, все полюсы функции F(s) лежат левее линии интегрирования. Абсцисса абсолютной сходимости функции δT (t) , представляющей сумму δ-

функций, как известно, равна нулю, следовательно, для сходимости интеграла (4.3.5) требуется, чтобы Re s > c . Из выражения (4.3.5) следует, что дискретное преобразование Лапласа существует для всех функций, для которых существует и обычное преобразование Лапласа.

Вычислить интеграл (4.3.5) можно, воспользовавшись теоремой о вычетах (теорема Коши), как сумму вычетов подынтегрального выражения в его полюсах, расположенных внутри контура интегрирования, который не должен иметь на себе особенностей подынтегрального выражения. Для этого необходимо замкнуть путь интегрирования. Это можно сделать, добавив к пути интегрирования бесконечно большую полуокружность либо в левой полуплоскости (R → −∞) , либо в правой (R → +∞) , как показано

на рис. 4.1. При этом получим замкнутый контур Г1, либо Г2. c + j∞

c − j∞

Рис. 4.1. Контур интегрирования при вычислении интеграла (4.3.5)

207

где ωs = 2πT – круговая частота отсчетов времени t = kT .

Чтобы пользоваться формулами (4.3.6) и (4.3.9) необходимо убедиться в равенстве нулю интеграла по бесконечно большому радиусу в левой или правой полуплоскости от подынтегрального выражения (4.3.5).

Формулы (4.3.4) и (4.3.9) дают дискретное преобразование Лапласа в незамкнутой форме, а формула (4.3.6) – в замкнутой, что и определяет удобство пользования последней. Из свойств дискретного преобразования Лапласа полезно упомянуть свойство периодичности функции F*(s). Действительно, периодом такой функции будет jωs. Это нетрудно показать, например, используя формулу (4.3.9). Подставим вместо s величину s+jnωs в выражение (4.3.9), где n – целое число:

так как ωs = 2πT , а экспонента в степени −2πjm , где m = kn – целое число, равна единице.

4.3.2. z-преобразование

Определение z-преобразования. Дискретное преобразование Лапласа обладает одним недостатком, который существенно ограничивает его применение для исследования дискретных во времени систем, именно: наличие экспоненты в степени переменной s (это явно заложено в формулах (4.3.4) и (4.3.6) и неявно – в формуле (4.3.9)). То есть дискретное преобразование Лапласа не является дробно-рациональной функцией s, а

появление множителя e−Ts может привести к большим трудностям в вы-

209

числении обратного преобразования Лапласа. Желательно было бы преобразовать F*(s) к такой форме, чтобы это стало дробно-рациональным выражением относительно некоторой новой переменной. Выбор такой переменной очевиден: это

Из формул (4.3.10) видно, что z – это комплексная переменная, действительная и мнимая часть которой определяется как

Re z = eTσ cosωT,

Im z = eTσ sin ωT,

где s = σ + jω .

Таким образом, z-преобразование некоторой непрерывной функции f(t) можно определить как ее дискретное преобразование Лапласа после замены (4.3.10):

Из определения (4.3.11) следует, что z-преобразование существует для любой функции, имеющей преобразование Лапласа.

Для вычисления z-преобразования можно применить формулы (4.3.4), (4.3.6) и (4.3.9), из которых после замены переменной (4.3.10) получаются соответственно

210

Все три формулы равноценны, но имеют разные области применения. Если задана функция f (t) или f (kT ) , используется выражение (4.3.12).

Строго говоря, на временные ряды или функции никаких ограничений не накладывается, поэтому эта формула является наиболее общей (хотя для того, чтобы записать z-преобразование в замкнутой форме, ряд (4.3.12) должен сходиться)1.

В случае, если задано преобразование Лапласа некоторой функции F(s) = L{ f (t)} , ее z-преобразование удобно определять по формуле

(4.3.13).

И, наконец, формула (4.3.14) обычно используется при частотном исследовании дискретных сигналов и при доказательстве некоторых теорем.

Пример 4.8. Найдем преобразование от единичной ступенчатой функции 1(t).

Воспользуемся формулой (4.3.12)

Данный ряд является геометрической прогрессией и при z−1 < 1 (или,

Пример 4.9. Найти преобразование от экспоненты e−at .

Известно (см. результат примера 3.11), что преобразование Лапласа от экспоненты равно 1s + a , поэтому можно воспользоваться формулой

(4.3.13). Вычет этой функции в единственном полюсе s = −a равен единице, следовательно, имеем

1 Поскольку вывод формулы (4.3.12) основан на одностороннем преобразовании Лапласа, данная формула определяет т.н. одностороннее z-преобразование. В двухстороннем преобразовании нижний предел суммы равен минус бесконечности.

211

Свойства z-преобразования. Свойства z-преобразования аналогичны соответствующим свойствам преобразования Лапласа и сформулированы в виде теорем. Доказательство наиболее простых теорем предоставлено читателям. Применение этих теорем часто облегчает вычисление прямого и обратного z-преобразования.

Теорема существования. Для существования F(z) необходимо, чтобы f (t) была определена при всех t = kT (k = 0,1,2,...) .

Теорема единственности. Две функции времени имеют одно и то же

При доказательстве учтено, что f (t) ≡ 0 при t < 0 , и везде z-преобра-

зование и преобразование Лапласа одностороннее без особого о том напоминания.

Докажем формулу (4.3.18):

В сумме правой части последнего выражения не хватает n слагаемых для того, чтобы эта сумма равнялась z-изображению, поэтому добавим и вычтем их. В результате получим формулу (4.3.18)

Пример 4.10. Найти преобразование от t.

Функцию t можно представить как t 1(t) , и тогда согласно (4.3.19) и

при условии, что предел существует. Действительно, по определению

∞

F(z) = ∑ f (kT )z−k = f (0) + f (T)z−1 + f (2T )z−2 +... .

k =0

Возьмем предел от левой части и почленно от правой при z → ∞ :

lim F(z) = f (0) = lim f (t).

при условии, что (1− z−1 )F(z) является аналитической на окружности единичного радиуса z = 1 и вне круга, описываемого этой окружностью.

Для доказательства рассмотрим два ряда с конечным числом членов

В последнем выражении перейдем к пределу при n → ∞

214