Математические основы теории систем.-2

Составим характеристическое уравнение

z2 + 0,3z + 0,02 = 0

и найдем его корни z1 = −0,2; z2 = −0,1 . Осталось записать решение в форме (4.2.12)

yо (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k .

Для любого комплексного корня уравнения (4.2.11) с действительными коэффициентами должен существовать и комплексно сопряженный корень. Решение разностного уравнения, соответствующее паре комплексно сопряжённых корней

записывается в форме

где A, B, C и φ – действительные постоянные, связанные друг с другом известными формулами приведения тригонометрических функций

C = A2 + B2 , ϕ = −arctan B A .

Пример 4.3. Решить уравнение y (k + 2)+ y (k +1)+ y (k ) = 0 . Корни характеристического уравнения z2 + z +1 = 0 равны

Таким образом, в выражении (4.2.13) ρ = 1,ϕ = π3 и решение согласно (4.2.14) равно y (k) = Acos π3 k + Bsin π3 k .

Особое внимание нужно уделять нулевым корням характеристического уравнения (4.2.11). Если an = 0,an−1 ≠ 0 и a0 ≠ 0 в уравнении (4.2.11), то характеристическое уравнение содержит один нулевой корень. Так как

195

в этом случае порядок разностного уравнения равен n −1, а характеристический полином имеет порядок n, то нулевой корень оказывается лишним и не должен учитываться. Также не должны учитываться и нулевые кратные корни.

4.2.3.Решение неоднородных уравнений

Общее решение неоднородного уравнения (4.2.5), как и в случае дифференциальных уравнений, состоит из суммы общего решения yо(k) однородного уравнения (4.2.6) и частного решения yн(k), удовлетворяющего уравнению (4.2.6)

Так как в составляющей yн(k) нет произвольных постоянных, то в решении (4.2.15) содержится n произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям y(0), y(1),..., y(n −1) .

Вынужденное движение системы, то есть составляющую решения, соответствующую частному решению yн(k) неоднородного уравнения (4.2.5), можно найти на основе тех же самых двух методов, как и в случае дифференциальных уравнений: метода неопределенных коэффициентов и

метода вариации параметров.

Метод неопределенных коэффициентов применим только в случае, если в результате последовательного действия оператора сдвига Е на вынуждающую функцию F(k) получится конечное число линейно независимых членов. Это будет в том случае, если F(k) является функцией полиномиальной, экспоненциальной, синусоидальной или гиперболической, либо содержит линейную комбинацию этих функций. Решение ищется в виде линейной комбинации независимых составляющих F(k), F(k+1), F(k+2),…, где каждая составляющая входит с неопределенными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты подбираются таким образом, чтобы предполагаемое решение удовлетворяло уравнению (4.2.5) для всех значений k.

Пример 4.4. Решить уравнение

196

Соответствующее однородное уравнение совпадает с уравнением из примера 4.2, поэтому общее решение однородного уравнения можно записать сразу, воспользовавшись результатом из примера 4.2

Вынуждающая функция (правая часть уравнения) при воздействии на неё оператора сдвига E имеет две линейно независимые составляющие –

это k (−1)k и (−1)k ( E (k (−1)k ) = (k +1)(−1)k +1 = −k (−1)k − (−1)k ), поэтому предполагаемое частное решение имеет вид

где A и B – неизвестные пока постоянные коэффициенты.

Подставив выражение (4.2.18) в левую часть уравнения (4.2.16), получим

A(k + 2)(−1)k +2 + B (−1)k +2 + 0,3A(k +1)(−1)k +1 + 0,3B (−1)k +1 +

+0,02Ak (−1)k + 0,02B(−1)k = (A − 0,3A+ 0,02A)k (−1)k + (2A+ B − 0,3A− −0,3B + 0,02B)(−1)k = 0,72Ak (−1)k + (1,7A+ 0,72B)(−1)k .

Приравняв в полученном выражении коэффициенты при независимых составляющих решения с соответствующими коэффициентами при таких же составляющих в правой части уравнения (4.2.18), получим систему из двух уравнений относительно коэффициентов A и B

0,72A = 1,

1,7A+ 0,72B = 0.

Решая эту систему уравнений, найдём коэффициенты A и B: A =1,39 ; B = −1,39 . Окончательно получаем общее решение уравнения (4.2.16)

как сумму решения (4.2.17) и решения (4.2.18) с определёнными коэффициентами

y (k) = yо (k)+ yн (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k +1,39k (−1)k −1,39(−1)k .

197

Если составляющие F(k), F(k+1),… имеют такой же вид, как и составляющие решения yо(k), то предполагаемое частное решение видоизменяется. Все составляющие частного решения yн(k), совпадающие по виду с составляющими общего решения однородного уравнения yо(k), умножаются на k в той наименьшей степени, чтобы их тождественность нарушилась.

Пример 4.5. Пусть требуется найти частное решение уравнения

y (k + 2)+ 0,3y (k +1)+ 0,02y (k ) = (−0,1)k .

Вынуждающая функция равна (−0,1)k и это единственная независимая составляющая при воздействии оператора сдвига, поэтому в обычном случае следовало бы частное решение взять в форме A(−0,1)k . Но,

вспомнив общее решение (4.2.17) однородного уравнения, замечаем совпадение вынуждающей функции с одним из слагаемых общего решения. Поэтому частное решение нужно брать в виде

yн (k) = Ak (−0,1)k .

Подставив предполагаемое решение в исходное уравнение, получим

A(k + 2)(−0,1)k +2 + 0,3A(k +1)(−0,1)k +1 + 0,02Ak (−0,1)k =

= (0,01− 0,03+ 0,02) Ak (−0,1)k + (0,02 − 0,03) A(−0,1)k = (−0,1)k , откуда с очевидностью следует A = −100 , и частное решение равно

yн (k) = −100k (−0,1)k .

Второй метод (метод вариации параметров) позволяет получить выражение для yн(k) для любой функции F(k), если известно решение yо(k).

Рассмотрение метода вариации параметров начнем с уравнения первого порядка

198

Общее решение состоит из одного члена

yо (k) = c1 y1 (k) . Частное решение ищем в виде

Подставляя выражение (4.2.20) в (4.2.19) имеем

a0µ1 (k +1) y1 (k +1) + a1µ1 (k) y1 (k ) = F (k) .

В левую часть последнего уравнения добавим и вычтем член a0µ1 (k) y1 (k +1) :

Выражение в первых квадратных скобках есть y1(k+1)∆µ1(k), а вторые квадратные скобки равны нулю, так как y1(k) есть решение однородного уравнения. Получим:

a0Δµ1 (k ) y1 (k +1) = F (k) ,

откуда с учетом уравнения (4.1.12) находим

Пример 4.6. Пусть требуется решить уравнение первого порядка

Решение однородного уравнения имеет вид yо (k) = c1 (−2)k , и y1 (k ) = (−2)k . Частное решение записываем в форме (4.2.20)

199

yн (k) = 1 (k)(−2)k ,

где µ1(k) определяется по формуле (4.2.21)

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Для нахождения двух неизвестных функций µ1, µ2 необходимы два уравнения. Первое уравнение получается из условия того, что соотношение (4.2.23) должно удовлетворять уравнению (4.2.22), а второе уравнение выбирается произвольно, но так, чтобы упростить вычисление yн (k +1) и yн (k + 2) , а именно

200

Учитывая, что µi (k +1) = µi (k) + Δµi (k) , из уравнения (4.2.23) имеем (с учетом уравнения (4.2.24)):

Eyн (k) = y1 (k +1)(µ1 (k) + Δµ1 (k ))+ y2 (k +1)(µ2 (k) + Δµ2 (k )) =

= y1 (k +1)µ1 (k )+ y2 (k +1)µ2 (k)

и

E2 yн (k) = y1 (k + 2)(µ1 (k) + Δµ1 (k )) + y2 (k + 2)(µ2 (k ) + Δµ2 (k)) .

Подставляя эти выражения в исходное уравнение (4.2.22) и проделывая очевидные преобразования получим

Поскольку y1(k) и y2(k) являются решениями соответствующего однородного уравнения, в последней формуле выражения в квадратных скобках равны нулю и окончательно имеем

Теперь осталось решить систему уравнений (4.2.25) и (4.2.24) относи-

Знаменатели в (4.2.26) отличны от нуля, так как y1(k) и y2(k) – независимые решения однородного уравнения, а, следовательно, выполняется условие (4.2.8).

Пример 4.7. Решим уравнение из примера 4.5 методом вариации параметров

y (k + 2)+ 0,3y (k +1)+ 0,02y (k) = (−0,1)k .

Общее решение соответствующего однородного уравнения найдено в примере 4.2

yо (k) = c1 (−0,2)k + c2 (−0,1)k ,

иy1(k) = (−0,2)k , y2 (k) = (−0,1)k . Частное решение ищем в форме

yн (k) = µ1 (k ) y1 (k)+ µ2 (k) y2 (k ) = µ1 (k)(−0,2)k + µ2 (k )(−0,1)k ,

Учитывая, что определитель Касорати равен

y1 (k) y2 (k +1)− y1 (k +1) y2 (k ) = 0,1(−0,2)k (−0,1)k ,

на основе уравнений (4.2.26) получим

202

() ∑k (−0,2)n (−0,1)n−1

µ2 k = n=1 0,1(−0,2)n (−0,1)n = −100k.

−100k (−0,1)k = C1 (−0,2)k + C2 (−0,1)k −100k (−0,1)k ,

где через С1, С2 обозначены новые постоянные, связанные со старыми соотношениями C1 = c1 +1;C2 = c2 −100 .

Обобщим результаты решений уравнений первого и второго порядка на уравнение произвольного порядка (4.2.2).

Общее решение однородного уравнения берем в виде (4.2.9). Тогда частное решение ищется в форме

Одно из условий, накладываемых на функции Δµi (k) , – это удовле-

творение исходного уравнения (4.2.2), а остальные n −1 условий определяются уравнениями, аналогичными уравнению (4.2.24):

y1 (k + n −1)Δµ1 (k )+ ... + yn (k + n −1)Δµn (k) = 0.

Подставляя решение (4.2.27) в уравнение (4.2.2) и учитывая уравнения (4.2.28), после соответствующих преобразований будем иметь

203

где С(k) – определитель Касорати, а Сni(k) – алгебраические дополнения ni-х элементов.

Из условия (4.2.8) следует, что С(k) отличен от нуля, если y1(k) ÷ yn(k)

– линейно независимые решения однородного уравнения.

Выражения (4.2.30) позволяют получить в явном виде решение yн(k) по известному yо(k) для произвольной вынуждающей функции F(k), хотя в некоторых случаях трудно представить в замкнутом виде входящую в формулу (4.2.30) сумму. Метод вариации параметров позволяет находить решение и разностных уравнений с переменными коэффициентами, то есть уравнений, описывающих нестационарные во времени системы.

Завершая этот подраздел, введем понятие передаточной функции дискретной во времени системы.

Решим формально уравнение (4.2.3) относительно выхода y(k):

Идентифицируем оператор Е с некоторой независимой переменной z. Тогда характеристикой системы, описываемой уравнением (4.2.3), будет отношение полиномов B(z) к A(z):

Последнее соотношение и определяет формально передаточную функцию дискретной системы (другие названия – «импульсная переда-

204