Математические основы теории систем.-2

с вещественными коэффициентами, при этом степень числителя меньше степени знаменателя. В этом случае можно воспользоваться приёмом, иногда называемым теоремой разложения. Разберем этот метод.

Пусть полином знаменателя в изображении Лапласа имеет в общем

Обратное преобразование Лапласа от каждого слагаемого при таком разложении определяется как экспонента в соответствующей степени либо как подобная же экспонента, помноженная на t в целой положительной степени по теореме об умножении на t.

Пример 3.17. Найти обратное преобразование Лапласа от функции

F (s) = ( s + 3 ) . s2 s2 + 3s + 2

Представим знаменатель в виде сомножителей и разложим выражение на простые дроби

Вычислим коэффициенты разложения А1, А2, А3, А4

175

(a0 pn + a1 pn-1 +…+ an )y(t) = (b0 pm + b1 pm-1 +…+ bm )r(t)

и применим к правой и левой частям этого уравнения преобразование Лапласа. В результате получим

При нулевых начальных условиях второе слагаемое в правой части формулы (3.3.32), как легко видно из (3.3.29) и (3.3.31), равно нулю. Поэтому строгое определение передаточной функции линейной системы, учитывая формулу (3.3.32), можно сформулировать так: передаточная функция системы W (s) есть отношение изображений по Лапласу выхо-

да системы Y (s) к её входу R(s) при нулевых начальных условиях:

Переходя в формуле (3.3.32) во временну́ю область и применяя теорему свёртки, получим

где w(t) = L−1{W (s)} – весовая функция системы, равная обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции, а wн (t) = L−1{Wн (s)} .

Таким образом, мы получим общее решение уравнения (3.1.10), содержащее n произвольных постоянных, роль которых выполняют значения искомой функции y(0) и её n −1 производных в начальный момент времени. Конкретная форма решения будет зависеть от того, каковы будут корни характеристического уравнения (3.2.1)

A(s) = 0 .

Получение решения y(t) упрощается во многих частных, но широко распространённых в теории систем случаях, именно тогда, когда изображение по Лапласу входного сигнала R(s) представляет дробно-рацио- нальную функцию:

где N(s) и P(s) – некоторые многочлены s.

В этих случаях нет необходимости использовать интеграл свёртки и записывать решение в форме уравнения (3.3.34). Подставив соотношение (3.3.35) в уравнение (3.3.32), получим

Для перехода в область переменной t можно воспользоваться любым методом определения обратного преобразования Лапласа, например, теоремой разложения.

Пример 3.18. Решить уравнение

178

Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, учитывая, что L{t}= 1s2

(s2 + 3s + 2)Y (s) = (s + 3) s12 .

Решим полученное алгебраическое уравнение относительно Y(s)

Y (s) = ( s + 3 ) . s2 s2 + 3s + 2

Перейдём к оригиналу, используя результат примера 3.3.9

3.3.4.Разложение произвольных функций по элементарным

функциям

Формулы (3.3.6) и (3.3.10) являются частными случаями более общей формулы

где интегрирование в случае действительной λ ведётся от -∞ до +∞, а в случае комплексной λ – по контуру в комплексной плоскости так, чтобы интеграл (3.3.36) сходился; k(t,λ) представляет собой семейство элемен-

тарных функций, по которым раскладывается y(t), а спектральная функция Y(λ) служит мерой относительного влияния элементарных функций, составляющих y(t) [10].

179

Для преобразования Фурье

k(t,λ) = ejλt 2π

при −∞ < t < +∞ , где λ – действительная переменная, то есть формула (3.3.6) представляет собой разложение функции y(t) по гармоническим составляющим.

Для одностороннего преобразования Лапласа

k(t,λ) = ejλt 2πj

при 0<t<∞ (переменная λ здесь является комплексной).

Чтобы уравнение (3.3.36) было полезным, нужно уметь находить Y(λ) для произвольной функции y(t). Поскольку уравнение (3.3.36) линейно, можно полагать, что Y(λ) найдётся в следующем виде:

−∞

где функция k−1(λ,t) известна как обратное преобразование от k(t,λ) . Соотношение между функциями k−1(λ,t) и k(t,λ) можно получить,

воспользовавшись свойствами дельта-функции. Действительно, положив в формуле (3.3.37) y(t) = δ(t − τ) , получим

180

Например, для одностороннего преобразование Лапласа функция k−1(λ,t) равна e−λt при t>0 и нулю при t ≤ 0 (сравни формулу преобразо-

вания Лапласа (3.3.9) и формулу (3.3.37)).

Выражение (3.3.37) носит название интегрального преобразования функции y(t) в общем виде. Задавая конкретные функции k−1(λ,t) , получаем различные интегральные преобразования.

3.3.5.Преобразование Меллина

Наиболее близким по форме к преобразованию Лапласа является преобразование Меллина [12]

где s = c + jw .

Это преобразование тесно связано с преобразованиями Фурье и Лапласа, и теоремы, относящиеся к преобразованию Меллина, могут быть получены из соответствующих теорем, например, для преобразования Лапласа, путём замены переменной.

Например, аналогом теоремы свёртки в теории преобразования Меллина является следующая формула

Из последней формулы легко получить аналоги равенства Парсеваля:

181

Преобразование Меллина можно успешно применять к решению определённого класса плоских гармонических задач в секториальной области, задач теории упругости, при изучении специальных функций, суммировании рядов и вычислений интегралов.

3.3.6.Преобразования Бесселя

Преобразования Бесселя [12] объединяют целый класс преобразований общего вида

∞

f (λ) = ∫ f (t) K (λt)dt,

0

где K(z) – функция Бесселя.

Функции Бесселя относятся к цилиндрическим функциям и задаются формулами:

– функция Бесселя первого рода ν-го порядка

∞

где Γ(ν) = ∫e−ttν−tdt – гамма функция Эйлера;

0

– функция Бесселя второго рода ν-го порядка

Yν (x) = cosπνJν (x) − J−ν (x) . sin πν

К преобразованиям Бесселя относятся преобразование Ханкеля, Вебера, Мейера, Конторовича – Лебедева и ряд других преобразований.

3.3.7.Преобразование Гильберта

Возьмём разложение функции f (t) по гармоническим функциям

182

Интеграл в правой части выражения (3.3.42) называется сопряженным к интегралу Фурье и получается формальной заменой в (3.3.41) a на b и b на −a . Из (3.3.42) имеем

где символ V.P. означает главное значение интеграла в смысле Коши. Две последние формулы и представляют собой пару преобразований

Гильберта.

3.3.8.Преобразование Лагерра

Примером преобразования, переводящего функцию непрерывного времени в функцию дискретного переменного, является преобразование Лагерра

n=0

Преобразование Лагерра применяется для решения дифференциально-

го уравнения Лагерра

L x + nx = 0 ,

где L x (t) = t x′′(t)+ (1− t) x′(t) .

Преобразование Лагерра сводит дифференциальную операцию L x к алгебраической по формуле

T {L x(t)}= −nx (n), (n = 0,1,2,...) .

184