Математические основы теории систем.-2
.pdf
Преобразование, определяемое формулой (3.3.9) называется преобразованием Лапласа1.
Вообще говоря, интеграл (3.3.9) можно представить как предел
∞ |
M |
F(s) = ∫ |
f (t)e−st dt = alim→0 ∫ f (t)e−st dt. |
0 |
M →∞ a |
При этом а может стремиться к нулю, оставаясь все время положительной величиной (a → +0) , либо, оставаясь все время отрицательной
величиной (a → −0) . В связи с этим можно определять преобразование Лапласа как левостороннее (a → −0) , или как правостороннее (a → +0) .
Обычно удобнее рассматривать правостороннее преобразование Лапласа, когда a → +0 . Именно в таком смысле и будем в дальнейшем говорить о преобразовании Лапласа без дополнительного об этом упоминания. При этом начальные условия для самих функций и ее производных будут, естественно, рассматриваться в точке +0.
Нетрудно получить формулу обращения для преобразования Лапласа, которая по изображению восстанавливала бы оригинал. Так как при фик-
сированном с функцию F (s) = F (c + jω) можно рассматривать как результат преобразования Фурье функции f1 (t) = f (t)e−ct , то, применяя к функции F (c + jω) обратное преобразование Фурье, получим
|
1 ∞ |
|
f1 (t) = f (t)e−ct = |
|
∫ F(c + jω)ejωt dω . |
2 π |
||
|
|
−∞ |
Умножив правую и левую часть последнего выражения на ect 
j , и сделав обратную замену c + jω = s , имеем
1 Строго говоря, формула (3.3.9) задает так называемое одностороннее преобразование Лапласа в отличие от двухстороннего преобразования, у которого нижний предел в интеграле (3.3.9) равен минус бесконечности. Для функций, тождественно равных нулю при отрицательном времени, одностороннее и двухстороннее преобразования совпадают.
165
|
1 |
c+ j∞ |
|
|
f (t) = |
∫ F (s)est ds. |
(3.3.10) |
||
2πj |
||||
|
c− j∞ |
|
Интегрирование в (3.3.10) ведется снизу вверх вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину с. Величина с выби-
рается правее всех полюсов функции F (s) . Минимальная величина c,
удовлетворяющая этому условию, называется абсциссой абсолютной сходимости. Формула (3.3.10) задает обратное преобразование Лапласа.
Символическая запись преобразования Лапласа часто имеет вид
F (s) = L{f (t)},
а обратного преобразования
f (t) = L−1 {F (s)}.
Интеграл (3.3.10) можно вычислить, воспользовавшись, например, теоремой о вычетах [11], которая гласит: интеграл по замкнутому контуру, не имеющему особенностей подынтегральной функции, равен сумме вычетов подынтегральной функции в полюсах, охватываемых этим контуром, помноженной на коэффициент 2πj, то есть
|
n |
∫ F(s)ds = 2πj∑Res F(ξi ) , |
|
Γ |
i=1 |
где ξi – полюсы F(ξ), попадающие в контур Г, n – число этих полюсов, а интегрирование ведется против часовой стрелки.
Чтобы воспользоваться сформулированной теоремой для вычисления интеграла (3.3.10), нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого размера через левую полуплоскость.
Если абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, то s = jω и фор-
мулы (3.3.9) и (3.3.10) определяют так называемое одностороннее преобразование Фурье (в отличие от двухстороннего преобразования, определяемого формулами (3.3.6) и (3.3.7)).
166
Пример 3.10. Найти преобразование Лапласа от единичной ступенчатой функции 1(t)1. Пользуясь формулой (3.3.9) получаем
L(1(t)) = ∞ e−st dt = − e−st |
|
t=∞ |
= −lime−st + |
1. |
|
|
|||||
0 |
s |
|
t=0 |
t→∞ |
s |
∫ |
|
|
|
|
|
Первое слагаемое стремиться к нулю, если вещественная часть s
больше нуля Res > 0 , и, таким образом, L(1(t)) = 1s .
Пример 3.11. Найти преобразование Лапласа от экспоненты e−at . Подставляя заданную функцию в формулу (3.3.9) получаем
L(e−at ) = ∞∫e−ate−st dt = ∞∫e−(s+a)t dt = − e−(s+a)t |
|
t=∞ |
= −lime−(s+a)t + |
|
1 |
. |
|||
|
|
||||||||
0 |
0 |
s + a |
|
t=0 |
|
t→∞ |
s + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое слагаемое |
стремиться |
к нулю, |
|
если |
выполняется |
условие |
|||
|
|||||||||
Res > −a , и, таким образом, L(e−at ) = s +1 a .
Другими вариантами преобразования Лапласа являются преобразование Карсона и преобразование Хэвисайда. Преобразование Карсона отличается от преобразования Лапласа множителем s в формуле прямого преобразования и соответственно множителем 1/s в формуле обратного преобразования. А преобразование Хэвисайда является частным случаем преобразования Карсона, если функция-оригинал и ее производные имеют нулевые начальные условия.
Преобразование Карсона удобно тем, что, как нетрудно вычислить, изображение единичной функции есть единица:
|
∞∫1(t) e−st dt = −s e−st |
|
∞ |
Fk (s) = s |
|
= 1. |
|
|
s |
|
0 |
|
0 |
|
1 Единичная функция 1(t) равна единице при t ≥ 0 и нулю при t < 0 и часто применяется в теории управления.
167
Свойства преобразования Лапласа. Одно из основных свойств преобразования Лапласа заключается в том, что изображение производной
от функции f (t) очень просто связано с изображением самой функции. Действительно, найдем изображение по Лапласу от производной df 
dt , интегрируя по частям:
df |
∞ |
−st df |
|
−st |
|
∞ |
∞ |
−st |
|
|
|
L |
|
= ∫e |
dt |
dt = e |
|
f (t) |
0 |
+ s∫e |
|
f (t)dt = sF(s) − f (0), |
(3.3.11) |
dt |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
где f (0) = lim f (t).
t→0
Пользуясь формулой (3.3.11) можно найти изображение и для n-й производной:
L{f (n) (t)}= sn L{ f (t)}− sn−1 f (0) − sn−2 f 1(0) −...− f (n−1) (0). (3.3.12)
Если начальные условия для функции и всех ее производных до (n −1) -й включительно нулевые, то выражение (3.3.12) упрощается
L{f (n) (t)} = sn L{ f (t)}.
Двойственным к свойству, описываемому уравнением (3.3.12), является свойство дифференцирования преобразования Лапласа (теорема об умножении на t). Для целого положительного n имеем
d n F(s) |
= (−1) |
n |
∞ |
n |
f (t)e |
−st |
dt = (−1) |
n |
L{t |
n |
f (t)}. |
(3.3.13) |
|
ds |
n |
|
∫t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.12. Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = t . Поскольку речь идет об одностороннем преобразовании Лапласа, ис-
ходную функцию можно представить как f (t) = t 1(t), и тогда по формуле (3.3.13) для n=1 и согласно результату примера 3.10 получим
L{t} = (−1) d (ds1 s) = s12
168
Пример 3.13. Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = te−at .
Применяя формулу (3.3.13) для n=1, и пользуясь результатом примера 3.11, получим
L{te−at }= (−1) |
d (s + a)−1 |
= |
1 |
. |
ds |
(s + a)2 |
Следующие два очевидных свойства позволяют считать оператор Лапласа линейным оператором: изображение суммы равно сумме изображений
L{ f1 (t) + f2 (t)} = L{ f1 (t)}+ L{ f2 (t)},
и возможность выносить постоянный множитель за оператор Лапласа
L{af (t)} = aL{ f (t)}.
Для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа полезны еще ряд свойств, которые можно сформулировать в виде теорем.
Теорема запаздывания. Найдем L{f (t − a)}:
L{ f (t − a)} = ∞∫ f (t − a)e−st dt = ∞∫ f (τ)e−s(τ+a) dτ =
0−a
(3.3.14)
∞
= e−sa ∫ f (τ)e−sτdτ = e−sa L{ f (t)}.
0
Теорема о конечном значении. Если существует lim f (t) , то |
|
||
|
|
t →∞ |
|
lim f (t) = lim sL{ f |
(t)}. |
(3.3.15) |
|
t →∞ |
s→0 |
|
|
Для доказательства устремим s к нулю в обеих частях выражения (3.3.11)
169
∞ |
|
∞ |
∞ |
= lim s L{ f (t)}− f (0), |
lim ∫ df e−st dt = ∫ df dt = ∫df |
||||
s→0 0 |
dt |
0 dt |
0 |
s→0 |
откуда |
lim f (t) − f (0) = lim s L{ f (t)}− f (0), |
|||
|
||||
|
t→∞ |
|
s→0 |
|
и окончательно приходим к (3.3.15).
Теорема о начальном значении. Начальное значение функции равно пределу при s → ∞ от ее изображения, умноженного на s
f (0) = lim s L{ f (t)}. |
(3.3.16) |
s→∞ |
|
Действительно, рассмотрим опять формулу (3.3.11) и представим интеграл в левой части в виде суммы двух интегралов:
∞ |
|
M |
|
∞ |
|
|
|
∫ df e−st dt = |
∫ df |
e−st dt + ∫ |
df |
e−st dt, |
(3.3.17) |
||
0 |
dt |
0 |
dt |
M |
dt |
|
|
где M > 0 . Заменим в первом интеграле df/dt на максимальное на интервале 0 < t < M значение (пусть оно равно А). Тогда
M∫ |
df |
e−st dt ≤ AM∫ e−st dt = A |
1− e−sM . |
0 |
dt |
0 |
s |
Устремляя s к бесконечности, имеем
lim M∫ df |
e−st dt = 0. |
s→∞ 0 dt |
|
Второй интеграл также в пределе равен нулю, так как
∞ |
df |
|
|
∞ |
df |
|
|
∫ |
e−st dt |
< e−sM |
∫ |
dt |
= e−sM ( f (∞) − f (0)). |
||
M |
dt |
|
|
0 |
dt |
|
|
170
Таким образом, левая часть выражения (3.3.17) при s → ∞ стремиться к нулю и из (3.3.11) сразу следует равенство (3.3.16).
Теорема дифференцирования. Изображение производной от функции по параметру равно производной от изображения по этому же параметру
|
∂f (t,a) |
= |
∂L{ f (t,a)} |
|
|
||
L |
|
|
|
. |
(3.3.18) |
||
∂a |
∂a |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Формула (3.3.18) легко получается переменной местами операции интегрирования и дифференцирования в преобразовании Лапласа от производной по параметру. А это возможно вследствие линейности операции интегрирования и дифференцирования.
Пример 3.14. Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = te−at .
Замечаем, что исходная функция – это производная от экспоненты −e−at по параметру a
f (t) = te−at = ∂(−e−at ) . ∂a
Применив формулу (3.3.18) и воспользовавшись результатом примера 3.11, получим
|
−at |
∂ (−e−at ) |
|
∂ (s + a)−1 |
|
1 |
|
|
||
L{te |
|
}= L |
|
|
= − |
|
= |
|
|
, |
|
∂a |
∂a |
(s + a) |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что совпадает с результатом примера 3.13.
Теорема свертки во временной области. Произведение изображений равно изображению свертки оригиналов
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
F1 (s) F2 |
|
f1(t − τ) f2 |
|
∫ |
f2 |
(t − τ) f1 |
|
. (3.3.19) |
|
(s) = L |
|
(τ)dτ |
= L |
(τ)dτ |
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Действительно, применив оператор Лапласа к правой части выражения (3.3.19), получим цепочку формул
171
|
t |
|
∞ |
t |
|
|
|
|
||
|
L |
∫ f1 (t − τ) f |
2 (τ) |
= ∫e−st ∫ f1 (t − τ) |
f |
2 (τ) d |
τ = |
|||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
2 (τ)dτ = |
|
= ∫e−st ∫ f1 (t − τ) f2 |
(τ)dτ dt = ∫ |
∫e−st f1 |
(t − τ)dt f |
|||||||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
= ∫e−sτ f2 |
(τ) ∫ f1 (t − τ)e−s(t−τ)dt dτ = ∫e−sτ f2 |
(τ)dτ ∫ e−sξ f1 (ξ)dξ = |
||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
−τ |
|
|
|
|
= F1 (s) F2 (s) . |
|
|
|
|
|||
При доказательстве формулы (3.3.19) учтено, что |
|
f1 (t) = f2 (t) =0 при t<0. |
||||||||
Теорема об умножении на экспоненту |
|
|
|
|
||||||
|
|
L{e−λt |
f (t)} = F(s + λ). |
|
|
(3.3.20) |
||||
Имеем по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L{e−λt f (t)} |
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
= ∫e−λt f (t)e−st dt = ∫ f (t)e−(s+λ)t dt. |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Правая часть последнего выражения есть не что иное, как изображе-
ние по Лапласу от функции f (t) с аргументом s+λ. |
|
|||||||||
Пример 3.15. Найти преобразование Лапласа от функции |
f (t) = te−at . |
|||||||||
Применим формулу (3.3.20), учитывая, что f (t) = t . Тогда |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
L{te−at }= |
|
|
s=s+a |
= |
|
|
, |
|
||
s2 |
(s + a)2 |
|
||||||||
|
|
|
||||||||
что совпадает с результатами примеров 3.13 и 3.14. |
|
|||||||||
Теорема подобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
L{ f (at)} = |
1 |
|
s |
|
||||||
a |
F |
|
. |
(3.3.21) |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, в интеграле
∞
L{ f (at)} = ∫ f (at)e−st dt,
0
введем новую переменную τ = at . Тогда dt = dτ
a и имеем следующую цепочку формул:
|
1 |
∞ |
|
−sat |
1 |
∞ |
|
− |
sτ |
|
1 |
s |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L{f (at)}= |
|
∫ |
f (at)e |
a d (at) = |
|
∫ |
f (τ)e |
|
a dτ = |
|
F |
|
. |
|
|
a |
0 |
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
a |
a |
||
Теорема свертки в области изображений. Изображение произведения функций равно свертке их изображений
L{ f1(t) f2 (t)} = |
1 |
c+ j∞ |
|
|
∫ F1 (s − ξ) F2 (ξ)dξ, |
(3.3.22) |
|||
2πj |
||||
|
c− j∞ |
|
где вдоль пути интегрирования величина с удовлетворяет соотношению
τ2 < c < Re s − τ1, |
(3.3.23) |
и |
|
Re s > max{τ1,τ2 ,τ1 τ2}, |
(3.3.24) |
τ1, τ2 – абсциссы сходимости для функций f1(t) и f2(t) соответственно. Имеем:
∞
L{ f1(t) f2 (t)} = ∫ f1 (t) f2 (t)e−st dt,
0
где f2(t) в правой части заменим по формуле (3.3.10).
|
|
|
|
∞ |
1 |
c+ j∞ |
|
|
|
|
|
|
L{f1(t) f2 (t)}= ∫ |
|
∫ |
F2 (ξ) eξtdξ |
f1(t)e−stdt = |
||||||
|
2πj |
||||||||||
|
|
|
|
|
c− j∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
1 |
c+ j∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
c+ j∞ |
|
|
|
∫ |
F2 |
(ξ) |
∫ f1 (t)e−(s−ξ)tdt d |
ξ = |
|
∫ F2 |
(ξ) F1(s − ξ)dξ. |
|||
2πj |
2πj |
||||||||||
c− j∞ |
|
|
0 |
|
|
|
c− j∞ |
|
|||
173
Для сходимости интегралов Лапласа от функций f1(t), f2(t) и их произведения вещественная часть комплексной переменной s должна быть достаточно большой, по крайней мере, больше абсцисс абсолютной сходимости функции f1(t), f2(t), а также их произведения; отсюда следует условие (3.3.24). Для сходимости интеграла в первых квадратных скобках
величина c должна превышать τ2, т.е. должно быть |
c > τ2 . Сходимость |
||||||||
интеграла во |
вторых квадратных |
скобках |
будет |
|
обеспечена, если |
||||
Re(s − ξ) > τ1 |
или Reξ < Re s − τ1 . Объединение этих условий приводит к |
||||||||
соотношению (3.3.23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.16. Найти преобразование Лапласа от функции f (t) = te−at . |
|||||||||
В качестве функции f1 возьмем экспоненту |
f1 (t) = e−at , а в качестве |
||||||||
функции f2 – t. Тогда согласно выражению (3.3.22) получим |
|||||||||
L{ f1 (t) f2 (t)} = L{e−att}= |
1 c+ j∞ |
1 |
|
1 |
|
||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
dξ , |
||
|
|
|
ξ |
2 |
|||||
|
|
2πj c− j∞ s |
+ a − ξ |
|
|
||||
где линия интегрирования согласно условиям (3.3.23) и (3.3.24) лежит правее полюса функции в квадратных скобках подынтегрального выражения.
Стандартная процедура вычисления такого интеграла состоит в применении теоремы Коши о вычетах. Для этого замыкаем контур интегрирования дугой бесконечного радиуса через левую полуплоскость против часовой стрелки. Тогда в контур интегрирования попадает единственный полюс функции 1
s + a − ξ , равный ξ = s + a , а искомое преобразование
равно вычету подынтегральной функции в этом полюсе
|
−at |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
L{e |
t}= вычету |
|
|
|
|
= |
|
= |
, |
||||
|
|
|
|
|
в полюсе ξ=s+a |
|
|
|
|||||
|
(s + a − ξ)ξ2 |
ξ2 |
ξ=s+a |
(s + a)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что совпадает с результатами предыдущих примеров.
Обратное преобразование Лапласа может быть найдено по таблицам преобразований, которые содержатся в многочисленной справочной литературе.
Определение оригинала часто облегчается в тех случаях, когда изображение по Лапласу представляется в виде отношения двух многочленов
174