Математические основы теории систем.-2

Знаменатель выражений (3.2.20), являющийся вронскианом уравнения (3.2.16), отличен от нуля, так как решения y1 и y2 линейно независимы, и,

следовательно, решения uɺ1 и uɺ2 всегда существуют. Интегрируя (3.2.20)

получаем u1, u2 и частное решение в форме (3.2.17). Пример 3.8. Найти частное решение уравнения

из примера 3.6 методом вариации параметров.

Общее решение соответствующего однородного уравнения равно

yо (t) = c1e−t + c2te−t ,

так что y1 (t) = e−t , а y2 (t) = te−t . Подсчитаем вронскиан

V (t) = y1 yɺ2 − yɺ1 y2 = e−t (e−t − te−t )+ e−t (te−t ) = e−2t .

Затем по формулам (3.2.20) вычислим uɺ1 и uɺ2

uɺ2 = y1 f = e−t−e2t−t = 1. a0V e

Проинтегрировав последние соотношения, получим

u1 = − t22 , u2 = t.

155

По формуле (3.2.17) получаем окончательно частное решение, совпадающее с результатом примера 3.6

yн (t) = u1 y1 + u2 y2 = − t22 e−t + t2e−t = t22 e−t .

Теперь возьмем уравнение произвольного n-го порядка типа (3.2.8). Решение соответствующего однородного уравнения (3.1.13) имеет вид

n

yо = ∑ci yi , а частное решение ищем в виде

i=1

Аналогично условиям (3.2.18) и (3.2.19) производные от ui находим из уравнений

алгебраическое дополнение этого определителя.

Знаменатель выражения (3.2.22) отличен от нуля, если y1, y2 ,..., yn –

независимые решения однородного дифференциального уравнения. Интегрируя выражения (3.2.22), подставляем результат в формулу

(3.2.21) и определяем частное решение yн .

156

Из примеров (3.2.4) – (3.2.7) видно, что метод неопределенных коэффициентов зачастую проще метода вариации параметров, однако последний метод более общий, поскольку не имеет ограничений на правую часть уравнения.

3.2.3.Вычисление постоянных интегрирования

Произвольные постоянные в решении однородного уравнения вычисляются на основе начальных или граничных условий. В большинстве случаев для решения дифференциального уравнения n-го порядка при определении постоянных интегрирования используют значения y(t) и ее n −1про-

изводных при t = t0+ . Обозначение t0+ означает, что значения выхода y(t) и

его производных заданы непосредственно после момента t0. Очень часто полагают t0=0. Начальные условия обычно определяются, исходя из запасенной системой энергии к моменту t = t0+ . Очень важно, что постоянные

интегрирования зависят также от вынуждающей функции и не могут быть определены, пока не найдена составляющая решения yн (t) .

В ряде важных случаев начальные условия нулевые. Для уравнения n- го порядка (3.2.8) это означает, что

Рассмотренный метод вариации параметров может быть использован и для получения общего решения, удовлетворяющего нулевым начальным условиям (3.2.23).

Действительно, возьмем, например, уравнение первого порядка. Объединяя уравнения (3.2.13) и (3.2.14) можно записать

Верхний предел в (3.2.24) соответствует частному решению, а нижний предел дает постоянную интегрирования в решении однородного уравнения. Причем из (3.2.24) следует, что y(t0)=0.

При n = 2 объединяются уравнения (3.2.17) и (3.2.20):

157

y(t) = y1(t)(u1(t) − u1(t0 )) + y2 (t)(u2 (t) − u2 (t0 )) =

Из последней формулы видно, что y(t0)=0. Возьмем производную по времени от правой и левой частей выражения (3.2.25):

yɺ(t) = yɺ1(t)(u1(t) − u1 (t0 ))+ yɺ2 (t)(u2 (t) − u2 (t0 ))+[y1(t)uɺ1(t) + y2 (t)uɺ2 (t)].

Слагаемое в квадратных скобках согласно (3.2.18) равно нулю, следовательно, выполняется нулевое начальное условие и для производной yɺ(t0 ) = 0.

В общем случае уравнения n-го порядка при нулевых начальных условиях из выражений (3.2.21) и (3.2.22) следует

y(t) = y1 (t)(u1 (t) − u1 (t0 ))+ ...+ yn (t)(un (t) − un (t0 )) =

3.3Методы преобразований

3.3.1.Ряды Фурье и интегральное преобразование Фурье

Пусть f (t) – произвольная кусочно-непрерывная функция, имеющая кусочно-непрерывную первую производную. Функция f (t) определена на отрезке [−T2,T2], а на всю остальную ось продолжается периодически, то есть f (t) – периодическая с периодом T функция.

Как известно, эта функция может быть всюду, кроме разве лишь точек разрыва, разложена в ряд Фурье

158

F ( jω) определена только в дискретных точках. Такие функции называются решетчатыми. Функция F ( jω) называется комплексным частотным спектром периодической функции f (t) . Этот спектр дискретный (физики называют такие спектры линейчатыми). Модуль комплексной функции F ( jω) определяет амплитуду соответствующей составляющей

спектра, а фаза – смещение по фазе этой составляющей.

Одной из основных теорем теории рядов Фурье является теорема Римана – Лебега.

Теорема 3.3.1 (Римана – Лебега). Если функция f (t) интегрируема на интервале (а,b), то при λ→∞

bb

∫ f (t)cosλtdt → 0, ∫ f (t)sin λtdt → 0 .

aa

Теорема Римана – Лебега имеет следующие важные следствия. Следствие 1. Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции

стремятся к нулю с ростом n.

Следствие 2. Поведение ряда Фурье в некоторой точке t зависит только от поведения функции в непосредственной окрестности этой точки (принцип локализации).

Формула (3.3.4) может быть обобщена и для непериодических функций, которые можно представить как периодические с периодом T → ∞ .

тельно, с увеличением периода T часто́ты составляющих спектра приближаются друг к другу, образуя в пределе сплошной спектр.

При T → ∞ из (3.3.4) получаем, умножив и разделив правую часть на

Δω = 2πT :

160

−∞

Преобразования (3.3.7) и (3.3.6) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.

Учитывая предельный переход, интеграл в правой части формулы (3.3.7) понимается в смысле главного значения.

Условия, необходимые для существования ряда Фурье, переносятся и на интеграл Фурье. Функция времени должна быть однозначной, содержать конечное число максимумов, минимумов и разрывов.

Кроме того, для существования интеграла (3.3.7) требуется абсолютная интегрируемость функции f (t) , то есть выполнение условия:

−∞

Аналогично для существования интеграла (3.3.6) достаточно абсолютной интегрируемости функции-изображения F ( jω) .

Представим экспоненту в интегралах (3.3.6) и (3.3.7) по формуле Эйлера и выделим только вещественную часть. Получим

1 ∞

f (t) = π ∫0 Fc (ω)cosωtdω, Fc (ω) = 2∞∫ f (t)cosωtdt.

0

161

Эти выражения определяют косинус-преобразование Фурье.

Выделяя аналогично чисто мнимую часть в интегралах (3.3.6) и (3.3.7), получаем синус-преобразование Фурье.

f(t) = 1 ∞∫Fs (ω)sin ωtdω,

π0

Fs (ω) = 2∞∫ f (t)sin ωtdt.

0

Если f (t) – четная функция, то F ( jω) = Fc (ω) ; если f (t) – нечетная функция, то F ( jω) = jFs (ω).

Пример 3.9. Определить частотный спектр прямоугольного импульса (см. рис. 3.1, а)

Рис. 3.1. Импульсный сигнал и его частотный спектр

162

Поскольку исходная функция четная, для определения спектра можно воспользоваться косинус-преобразованием Фурье

График полученного спектра изображен на рис. 3.1, б. При стремлении P к бесконечности f (t) превращается в единичный мгновенный импульс,

а частотный спектр в пределе – в константу, равную единице. Приведенный пример иллюстрирует обратно пропорциональную взаи-

мосвязь между длительностью импульса и шириной его частотного спектра. Пусть функции f (t) и g(t) имеют соответственно преобразование

Фурье F ( jω) и G( jω) . Тогда обратное преобразование Фурье от произ-

Полагая в последнем выражении t = 0 , получим формулу, известную как равенство Парсеваля:

Если положить f = g, то равенство Парсеваля будет иметь вид:

163

Преобразование Фурье играет важную роль при частотном исследовании систем и сигналов, но находит значительно меньшее распространение непосредственно для решения дифференциальных уравнений при произвольных входных сигналах, поэтому остальные свойства преобразования Фурье целесообразно изучить по аналогичным свойствам преобразования Лапласа, которые изложены в соответствующем разделе.

3.3.2.Интегральные преобразования Лапласа, Карсона,

Хевисайда

Определение преобразований. Условие (3.3.8) часто не выполняется даже для очень простых функций. Один из путей, позволяющих расширить преобразование (3.3.6), (3.3.7) для значительно большего класса функций, заключается в следующем. Если условие (3.3.8) не выполняется

для функции f (t) , то оно может выполняться для функции f1 (t) = f (t)e−ct , где с больше радиуса сходимости функции f (t) 1. Прак-

тический интерес в теории систем представляют обычно функции, определенные при t ≥ 0 . Поэтому ограничимся классом функций, тождественно

равных нулю при t < 0 . Найдем преобразование Фурье функции f1 (t) :

∞∞

∫f1 (t)e− jωt dt = ∫ f (t)e−(c+ jω)t dt.

Обозначив s = c + jω , получим функцию комплексной переменной s

1 Подобные функции называются функциями экспоненциального типа.

164