Математические основы теории систем.-2

ных программ, асимптотически равна 2n , причем существуют методы n

То есть сложность бинарных программ по числу команд асимптотически равна сложности операторных программ, но в отличие от операторных программ бинарные имеют два преимущества – это отсутствие промежуточной памяти и более высокое быстродействие, которое можно охарактеризовать соотношением

(log2n+1)≤tmax(f)≤n.

Если в программе использовать и операторы и условные переходы, то число команд, асимптотически равное для операторных и бинарных про-

грамм 2n , можно понизить вдвое. n

2.6 Общие методы синтеза автоматов

Для проведения синтеза автоматов нужно уметь представлять любой автомат в виде некоторой совокупности более простых автоматов. В разделе 4.5 было рассмотрено представление автоматов в виде сетей, то есть в виде соединения элементарных автоматов. Как это сделать практически и не обязательно в виде элементарных автоматов, а в общем случае в виде произвольных либо стандартных автоматов? Эти задачи решаются различными методами декомпозиции автоматов.

2.6.1.Декомпозиция абстрактных автоматов

Под декомпозицией в общем случае понимается представление сложного автомата работой нескольких более простых (в частном случае элементарных) автоматов, которые на структурном уровне с помощью отождествления входных и выходных полюсов образуют функциональную или структурную схему сложного автомата. Обычно ставится задача оптимальной декомпозиции с точки зрения минимального числа элементарных автоматов. В результате оптимальной декомпозиции осуществля-

135

ется минимизация числа логических элементов, входящих в комбинационную часть.

На абстрактном уровне декомпозиция сложного автомата соответствует параллельной, последовательной или смешанной работе более простых автоматов, т.е. сводится к задаче разложения автомата по операции умножения, суммирования, суперпозиции или по нескольким операциям сразу. Поэтому можно рассматривать декомпозицию параллельную, последовательную или смешанную.

Параллельная декомпозиция соответствует разложению автомата в произведение или сумму двух или большего числа абстрактных автоматов, каждый из которых проще, чем исходный автомат. Здесь можно говорить о параллельной одновременной (умножении) или параллельной поочередной (сумме) декомпозиции автоматов. Последовательная декомпозиция соответствует разложению автомата по операции суперпозиции, а смешанная – одновременно по двум операциям (например умножения и суперпозиции).

Все описанные случаи декомпозиции – это “чистые” случаи декомпозиции автоматов. Таких автоматов, которые бы раскладывались только в параллельную или в последовательную или даже в смешанную работу автоматов, довольно мало по сравнению с теми, которые не раскладываются таким образом. Поэтому вводится понятие общей декомпозиции автомата, которая понимается как совместная работа элементарных автоматов со связями между ними. Общая декомпозиция соответствует разложению абстрактного автомата в композицию двух или более элементарных автоматов, то есть соответствует представлению сложного автомата в виде сети из более простых автоматов. Таким образом, последовательная, параллельная или смешанная декомпозиция могут рассматриваться как частные случаи общей декомпозиции автоматов.

Необходимо заметить, что при разложении автомата по операции композиции ставится, как правило, задача оптимальной декомпозиции, то есть представление произвольного автомата совместной работой элементарных автоматов с минимальным числом связей между ними. Решение задачи оптимальной декомпозиции приводит к минимальной комбинационной части автомата.

Следующий уровень этой же задачи связан с реализацией автомата в однородных вычислительных средах и заключается в декомпозиции автомата на заданные автоматы, например, на элементарные автоматы из некоторого элементного базиса.

Свойство автомата быть представленным параллельной или последовательной работой более простых автоматов вытекает из анализа вида

136

матриц, получаемых в результате произведения, суммирования или суперпозиции автоматов.

Нет необходимости здесь рассматривать все теоремы, касающиеся данного раздела. Из основных результатов можно назвать следующий: любое параллельное соединение автоматов (параллельное одновременное, с общим входом, не одновременное) можно представить в виде последовательного соединения (возможно, других автоматов), то есть в виде суперпозиции автоматов.

Если же мы хотим выделить стандартные автоматы из исходного автомата, то использование алгебраических операций позволяет на абстрактном уровне решить задачу декомпозиции сложного автомата на заданные стандартные автоматы путем сведения ее к решению суперпозиционных уравнений над автоматами.

Что касается общей декомпозиции автоматов, то здесь можно упомянуть следующее утверждение: любой автомат Мили с числом состояний n>2 можно представить совместной работой (композицией) двух или большего числа простых автоматов, один из которых – автомат Мили, а остальные – автоматы Мура.

2.6.2.Канонический метод синтеза

Вначале подведем некоторый итог по поводу функциональной полноты элементного базиса синтеза автоматов. Автоматно полный базис согласно теоремам о представлении автомата соответствующей сетью (теорема 2.5.1) и схемной реализации логических функций (теорема 2.5.2) может представлять собой элемент единичной задержки и какую-либо функциональную полную систему логических элементов. Вместо элемента задержки в автоматный базис можно включить любой другой элемент памяти (например, триггер). В качестве элемента памяти можно взять и любой автомат Мура с произвольным числом внутренних состояний (два, три, пять и т.д.), лишь бы этот автомат удовлетворял требованиям полноты системы переходов и полноты системы выходов.

Требование полноты системы переходов предусматривает для любой упорядоченной пары состояний элементарного автомата наличие некоторого входного сигнала, который переводит первый элемент этой пары во второй.

Требование полноты системы выходов означает, что для каждого состояния элементарного автомата имеется соответствующий ему выходной сигнал, который отличается от выходного сигнала, соответствующего другим состояниям элементарного автомата.

137

Для тех элементов памяти, которые были рассмотрены, эти требования выполняются.

Доказано утверждение о том, что всякая система элементарных автоматов, которая содержит автомат Мура с нетривиальной памятью и полной системой переходов и выходов и функционально полную систему логических элементов, является автоматно полным базисом.

Но, к сожалению, в общем случае для произвольного набора элементарных автоматов проблема автоматной полноты оказывается алгоритмически неразрешимой (в отличие от подобной проблемы для комбинационного автомата).

Весь процесс синтеза можно разбить условно на ряд этапов. Классической считается схема синтеза, называемая канонической схемой, или каноническим методом синтеза, на разных этапах которой производятся следующие действия:

1)по описанию автоматного отображения (например, по регулярному событию) строится абстрактный автомат;

2)минимизируется число состояний автомата;

3)производится двоичное кодирование входного, внутреннего и выходного алфавитов (с учетом соображений раздела 2.5.6);

4)осуществляется выбор типов элементарных автоматов и определение их функций возбуждения в соответствии с кодированными автоматными таблицами переходов элементарных автоматов;

5)находятся минимальные формы для функций возбуждения;

6)получают с дальнейшей минимизацией функции выхода элементарных автоматов;

7)составляются канонические уравнения, описывающие комбинационные блоки автомата;

8)производится реализация системы канонических уравнений системой логических элементов в функционально полном базисе с последующей минимизацией.

Эта схема сыграла большую роль в развитии методов синтеза, но в практическом применении не очень удобна. Дело в том, что, во-первых, схемы с k элементами памяти имеют 2k состояний, поэтому описание сколько-нибудь больших схем в терминах состояний и таблиц переходов получаются очень громоздкими. Во-вторых, на разных этапах решаются разные задачи минимизации, порой не только не связанные между собой, но и противоречащие друг другу. Например, известны примеры, когда уменьшение числа состояний приводит к усложнению комбинационной части. И в-третьих, различное кодирование (а для k элементов памяти

вариантов таких кодов будет ( 2k )!) приводит, вообще говоря, к разным

138

системам канонических уравнений, сложность которых до начала синтеза предвидеть невозможно. Поэтому получают распространения другие методы синтеза, например, декомпозиционный.

2.6.3.Декомпозиционный метод синтеза

Этот метод основан на общей декомпозиции автоматов (обычно проводят оптимальную декомпозицию) на элементарные автоматы, в качестве которых могут быть выбраны любые абстрактные автоматы с простым числом состояний, например с двумя состояниями.

В результате декомпозиции получают матрицы соединений абстрактных элементарных автоматов, совместная работа которых эквивалентна работе исходного автомата. Выбирая конкретные типы элементарных автоматов (триггеры, элементы задержки и т.п.), по найденным матрицам соединения абстрактных элементарных автоматов строят функции возбуждения и функции выходов конкретных выбранных элементарных автоматов. А это, в свою очередь, определяет структурную схему комбинационной части и, следовательно, всего автомата в целом. Поэтому в этом методе, по сути, синтез на структурном уровне выносится на абстрактный уровень и сводится он к оптимальной в смысле минимума связей декомпозиции автомата на абстрактные элементарные автоматы (как правило, с двумя состояниями) и записи функций возбуждения и выходов конкретных элементарных автоматов по матрицам соединений абстрактных элементарных автоматов.

Преимущества декомпозиционного метода синтеза автоматов по сравнению с каноническим следующие:

1)не требуется строить сложные кодированные таблицы переходов;

2)решается проблема оптимального кодирования внутренних состояний автомата, приводящего к минимальной комбинационной части;

3)декомпозиционный метод позволяет строить оптимальную или близкую к ней функциональную схему автомата при использовании элементарных автоматов со многими устойчивыми состояниями и логическими элементами в недвоичной логике. Таким образом, этот метод позволяет осуществлять синтез автоматов при использовании элементного базиса, использующего логику более высокого порядка по сравнению с двоичной.

139

Контрольные вопросы

1.Назовите отличия алфавитного отображения от автоматного.

2.Дайте понятие конечного автомата.

3.Перечислите способы задания автоматов.

4.Назовите виды автоматов.

5.Как интерпретировать автомат второго рода автоматом первого рода?

6.Дайте определение асинхронного автомата.

7.Дайте определение изоморфизма и эквивалентности автоматов.

8.Задание функций перехода и выхода для частичных автоматов.

9.Понятие покрытия и совместимости состояний автоматов.

10.Назовите проблемы минимизации частичных автоматов.

11.Представление событий автоматами.

12.Перечислите регулярные операции над событиями.

13.Дайте понятие регулярного события.

14.Связь регулярных событий и автоматов.

15.Что такое источник?

16.Правила построения источника по регулярному событию.

17.Перечислите основные этапы алгоритма синтеза автомата на абстрактном уровне.

18.Понятие индексного остатка источника.

19.Основные этапы графического алгоритма анализа автомата на абстрактном уровне.

20.Перечислите операции над автоматными отображениями.

21.Понятие вероятностного автомата. Как задать вероятностный ав-

томат?

22.Что такое комбинационный автомат?

23.Что необходимо для структурного синтеза автомата?

24.Что входит в состав элементного базиса?

25.Понятие правильной синхронной сети.

26.Канонические уравнения сети.

27.Проблемы кодирования состояний в асинхронных автоматах.

28.Какая из программ, предназначенных для реализации комбинационного автомата, лучше – бинарная или операторная?

29.Какие недостатки и преимущества у канонического метода синтеза автоматов по сравнению с декомпозиционным методом синтеза?

140

3. СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ВО ВРЕМЕНИ ПЕРЕМЕННЫМИ.

В этом разделе полагаем, что функции r(t) и y(t), интерпретируемые соответственно как входной и выходной сигнал некоторой системы, определены на континуальном множестве моментов времени t.

3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем

3.1.1.Описание систем дифференциальными уравнениями

Вообще говоря, связь между входным сигналом некоторой системы, описываемым функцией r(t), и ее выходным сигналом y(t) может задаваться нелинейным дифференциальным уравнением произвольного по-

можно в принципе решить это уравнение и найти выход (реакцию) y(t) данной системы на входной сигнал r(t).

Уравнение (3.1.1) является уравнением самого общего вида и описывает поведение системы во всех режимах. Один из частных, но весьма распространенных случаев таких режимов – это статический режим, то есть такой режим, при котором ни входные, ни выходные сигналы системы не меняются во времени. Конечно, это определенная идеализация, которая получается из уравнения (3.1.1) формальной подстановкой вместо всех производных по времени нулей

y(n) = y(n−1) = ... = yɺ = r(m) = r(m−1) = ... = rɺ = 0 .

Тогда уравнение статики примет вид

141

из которого можно установить связь между статическим значением входного сигнала rcт и статическим значением выходного сигнала ycт

Уравнение (3.1.3) описывает так называемую статическую характеристику системы.

Решение уравнения (3.1.1) для произвольной функции F наталкивается на непреодолимые трудности и возможно только в некоторых частных случаях. Одним из таких частных, но весьма важных и распространенных случаев является случай, когда функция F является линейной функцией по своим аргументам, то есть когда уравнение, связывающее входной сигнал r(t) с выходным y(t), является линейным дифференциальным уравнением. Упомянутое уравнение принято записывать так, чтобы выходная величина и её производные располагались бы в левой части, а входная величина и её производные – в правой части уравнения:

Коэффициенты этого уравнения ai ,bk в общем случае могут зависеть

от времени и тогда уравнение (3.1.4) описывает нестационарную систему. Если такой зависимости от времени нет (или она очень слабая) то приходим к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами:

3.1.2.Линеаризация

Внекоторых случаях удается даже нелинейное уравнение типа (3.1.1) свести к линейному уравнению типа (3.1.4) или (3.1.5). Пусть для некото-

рого установившегося значения входа rcт получено уравнение статики (3.1.2). Тогда разложим левую часть уравнения (3.1.1) в ряд Тейлора (предполагая, что такое разложение имеет место) около точки установившегося режима и ограничим этот ряд линейными приращениями переменных

142

значений ycт и rcт и нулевых значениях производных, соответствующих установившемуся режиму.

Первое слагаемое в (3.1.6) равно нулю согласно (3.1.2). Вводя обозна-

перенося слагаемые с входным воздействием и его производными в правую часть, получим:

Уравнение (3.1.7) по форме точно такое же, как и (3.1.5), но записано относительно соответствующих отклонений y = y(t) − yст , r = r(t) − rст .

Полученное уравнение (3.1.7) описывает ту же самую систему, что и уравнение (3.1.1), но имеет следующие отличия.

Во-первых, уравнение (3.1.7) приближенное, причем это приближение тем точнее, чем меньше отклонения переменных от установившихся значений.

Во-вторых, поскольку при выводе уравнения (3.1.7) использовалось разложение в ряд Тейлора, такая операция применима только к непре- рывно-дифференцируемым нелинейностям. Такие нелинейности называются линеаризуемыми, а нелинейные функции, не удовлетворяющие этому условию, называются существенно нелинейными.

В-третьих, уравнение (3.1.7) составлено относительно отклонений, а не самих сигналов. Такого рода уравнения называются уравнениями в отклонениях или в вариациях.

И, наконец, в-четвертых (и это основное), уравнение (3.1.7) линейное. Поскольку форма уравнений (3.1.7) и (3.1.5) совпадает, в дальнейшем можно использовать любое из них, например, (3.1.5) подразумевая, что в

качестве переменных могут быть и соответствующие отклонения.

143

Требуется линеаризовать уравнение (3.1.8) в точке статического режима. Установившееся статическое значение входного сигнала найдем,

устремив t к бесконечности rст = lim(12 −12e−t ) = 12. Запишем уравнение

t→∞

статики, приравняв нулю производные в выражении (3.1.8) 3yст2 = 12 , откуда yст = ±2 . В выражении (3.1.8) нелинейными являются второе и третье слагаемые в левой части уравнения. Вычислим частные производные по yɺ и по y левой части уравнения (3.1.8)

Запишем окончательно линеаризованное уравнение, сократив на 2 левую и правую его часть

Альтернативной формой записи уравнения (3.1.5) является форма, в которой связь между входом и выходом системы производится посредством некоторого оператора, осуществляющего операцию над входным сигналом, чтобы получить выходной. Для этого обозначим оператор

Решив формально последнее уравнение относительно выхода у, получим

144