Математические основы теории систем.-2

Декартово произведение отображений состояний автоматов А и В по входной букве x1 будет

Объединение этих таблиц с учетом введенных обозначений даст таблицу автомата К:

К

Автомат K=A B соответствует параллельной одновременной работе автоматов А и В (рис. 2.16).

88

Рис. 2.16. Произведение двух автоматов с общим входом

Операцию умножения автоматов и можно обобщить и на случай n автоматов, а также использовать для нахождения произведений автоматов Мура.

Суммой двух произвольных автоматов А=(X,Q,Y,q1 Q,F(x X/y Y)) и

B=(U,W,V,w1 W,P(u U/v V)) будет называться автомат M=(Z,H,S,h H, R(z Z/s S)) (М=А+В), если

где q Q, w W, h H, h=(q,w). Начальным состоянием автомата M будет

h1=(q1,w1).

Формулы (2.4.20) и (2.4.22) используются для того, чтобы различать, возможно, одинаковые буквы входных алфавитов X и U и выходных алфавитов Y и V. Если таких совпадающих букв нет, т.е.

X∩U=Ø,

Y∩V=Ø,

Пример 2.19. Заданы два автомата А и В:

89

Rh4 = {h6 (x1, y2 ),h4 (u1,v1 ),h3 (u2 ,v1 )} ;

Rh5 = {h3 (x2 , y1 ),h6 (u1,v1 )};

Rh6 = {h4 (x2 , y1 ),h6 (u1,v1 ),h5 (u2 ,v1 )} .

По полученным отображениям составляем автоматную таблицу и матрицу соединений RM:

Операцию суммирования и соответствующие формулы (2.4.20) – (2.4.25) легко обобщить на случай n автоматов и можно использовать для автоматов Мура.

Матрица соединений RM автомата М=А+В определяется по формуле

RM =RA×EB EA×RB,

где ЕА и ЕВ – единичные матрицы порядков RA и RB соответственно. Автомат М=А+В соответствует параллельной неодновременной рабо-

те двух автоматов А и В (рис. 2.17).

92

Рис. 2.17. Сумма двух автоматов

Любое входное слово в алфавите Z автомата М образуется чередованием букв х и u, принадлежащих алфавитам Х и U. Аналогично и выходное слово автомата М – это последовательность чередующихся букв y Y и v V. Если в очередной момент времени t на вход автомата М поступит буква х Х, то в момент времени t+1 на входе обязательно появится буква u U. Выходная буква в момент времени t является буквой алфавита Y, а в момент времени t+1 – буквой из алфавита V. На уровне автоматов А и В это означает, что в момент времени t на входе автомата А имеется буква х Х, а на входе автомата В в это же время – пустая букве e. В следующий t+1-й момент времени на вход автомата В поступает буква u U, а на вход автомата А – пустая буква е.

Пусть x Х* и u U* – слова, отличающиеся длиной не более чем на одну букву:

x = xi1 xi2 ...xik , u = uj1 uj2 ...ujk−1 .

Слово z Z* называется сплетением слов х и u, обозначается z=x u и образуется чередованием букв х и u:

z = x u = xi1 uj1 xi2 uj2 ...ujk−1 xjk .

Любые две соседние буквы слова z принадлежат разным входным алфавитам.

Если областью определения частичного отображения SA служит множество допустимых слов х Х*, а областью определения отображения SB

– множество допустимых слов u U*, то областью частичного отображе-

93

ния SM будет множество слов z Z*, полученных сплетением пар допустимых слов х и u, отличающихся длиной не более чем на одну букву. Следовательно, можно записать

SM(z)=SM(x u)=SA(x) SB(u)=y v=s, где y Y*, v V*, s S*.

Отображение SM называется сплетением отображений SA и SB и обозначается SM = SA SB .

Для произвольных автоматов А, В, и С выполняются следующие соотношения:

Е=(Х,Q,Y,q Q,F(x X/y Y)), причем X={x}, Y={y}, Q={q}, а Fq={q(x/y)}. Поэтому множество произвольных автоматов совместно с операцией умножения образует коммутативный моноид1 с единичным элементом

Е. Обозначим это множество через В×.

Если брать множество автоматов с одним и тем же входным алфавитом, то очевидно, что для любых автоматов А, В, и С из этого множества выполняются соотношения, аналогичные (4.4.26), и, следовательно, это множество по операции образует коммутативный моноид с единичным элементом

Е=(X,Q,Y,q Q,F(X X/y Y)),

где X={x1, x2, … xp} – входной алфавит автоматов этого множества, Q={q}, Y={y}, Fq={q(x1 x2 … xp/y)}. Это будет множество В .

Аналогично множество произвольных автоматов по операции суммирования образуют коммутативную полугруппу (несущее множество В+).

Следующая алгебраическая операция – суперпозиция двух автоматов. Возьмем два произвольных автомата из множества автоматов Мили, входящие и выходящие алфавиты которых могут пересекаться: А=(X1,Q,Y1,

1 Моноидом в общей алгебре называют полугруппу с единицей Е. Полугруппа, в свою очередь, – это множество элементов с заданной на этом множестве бинарной ассоциативной операцией, обычно называемой умножением. Таким образом, для любого элемента А моноида выполняется соотношение Е·А=А·Е=А.

94