Математическая логика и теория алгоритмов.-7

Бурбаки

Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki) — собирательный псевдоним, под которым группа математиков разных стран, преимущественно французских, выступила с проектом дать систематическое изложение современной математики на основе аксиоматического метода. Образовалась группа в 1935 году из бывших питомцев Высшей нормальной школы. Численность и точный состав группы не разглашался, но известно, что лидерами ее стали известные математики Андре Вейль, Жан Дельсарт, Жан Дьёдонне, Анри Картан и Клод Шевалле. В многотомном трактате «Начала математики» (Elements´ de Mathematique),´ выходящем с 1939 года, развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики. Основные принципы изложений: единство и полная формализация математики на основе теории множеств; систематичность; догматизм и самодостаточность; изложение, всегда идущее от общего к частному; ключевая роль понятия «структуры». Изложение носит сугубо абстрактный характер. Структуры определяются посредством аксиом, например: структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения — от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной.

Вкнигах Бурбаки были впервые введены символ для пустого множества ; символы N, Z, Q, R, C для множеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел; термины «инъекция», «сюръекция» и «биекция» (см. главу 3); знак «опасный поворот» на полях книги, показывающий, что данное место в доказательстве может быть неправильно понято.

Втрактате все математические теории описываются на основании аксиомати-

ческой теории множеств в духе крайней абстракции. Например, определение обыкновенного натурального числа 1 в «Теории множеств» даётся следующим образом:

τz(( u)( U)(u = (U, { }, Z) и U { } × Z

и( x)((x { }) ( y)((x, y) U))

и( x)( y)( y′)(((x, y) U и (x, y′) U) (y = y′))

и( y)((y Z) ( x)((x, y) U))

и( x)( x′)( y)(((x, y) U и (x′, y) U) (x = x′)))).

Причём, учитывая, что в этой записи уже сделаны сокращения, например пустое множество определяется в языке теории множеств Бурбаки как

мы получаем, что полная запись обыкновенной единицы состоит из 4 523 659 424 929 символов [2]!

Деятельность этого коллектива принесла существенные плоды в таких областях математики, как топология, топологическая алгебра, алгебра, теория алгебраических чисел, функциональный анализ и др. Во Франции написано более 40 книг этого трактата. В 1959–1987 годах были переведены на русский язык более 20 томов. В 1968 году Бурбаки объявил о прекращении своей деятельности. Задуманный трактат остался незаконченным.

Математика XX века восприняла влияние формалистких взглядов Н. Бурбаки: «. . .стиль практически всех научных работ по математике в период от пятидесятых по семидесятые годы постепенно изменился в сторону формализации, стал в той или иной степени походить на формально-бурбакистскую манеру, притом, как правило, этот процесс происходил неосознанно» [3].

Строгость изложения в книгах Бурбаки в какой-то мере сформировала современный стандарт строгости математических текстов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Г. Штейнгауз [4]: «Но невозможно обучение математике по работам Николя Бурбаки, потому что ученики лишены способности познания той математики, которая представляет собой «нечто вроде экспериментальной физики», и поэтому преподаватели обязаны указывать одной рукой в уже пройденное прошлое, а другой — в еще неизвестное будущее. . .».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.Существуют ли математические объекты независимо от математиков?

2.Для чего применяется алгоритм Евклида?

3.Какие идеи Лейбница были восприняты только через 200 лет после его смерти?

4.Кто является основателем булевой логики?

5.Как в информатике используется математическая логика?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рекомендуемая литература к главе 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[1]Непейвода Н. Н. Прикладная логика : учеб. пособие / Н. Н. Непейвода. —

2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. —

521 с.

[2]Mathias A. R. D. A Term of Length 4529659424929 / A. R. D. Mathias. — Synthese. — 2002. — N 133. — P. 75–86.

[3]Сосинский А. Б. Умер ли Бурбаки? // Математическое просвещение. — 1998. — Вып. 2.

Глава 3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор.

Давид Гильберт о теории множеств

3.1 Интуитивная теория множеств

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например с помощью следующего псевдоопределения. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собою объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору, существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Что касается самих предметов, которые могут входить во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть множество студентов в аудитории, множество целых чисел, множество точек плоскости. Заметим, что канторовская формулировка позволяет рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел, множество белых носорогов и т. п.). Не следует думать, что множество обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одно множество и королей, и капусту.

Символом обозначается отношение принадлежности. Это понятие также не определяется формально. Запись x S означает, что элемент x принадлежит множеству S. Если элемент x не принадлежит множеству S, то пишут x S.

Г. Кантором сформулировано несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств.

Множество всех объектов x, обладающих свойством A(x), обозначается {x A(x)}. Если Y = {x A(x)}, то A(x) называется характеристическим свойством множества Y.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Интуитивный принцип абстракции. Любое характеристическое свойство A(x) определяет некоторое множество X , а именно множество тех и только тех предметов x, для которых выполнено свойство A(x).

Интуитивный принцип объемности. Множества A и B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. (Часто это выражают словами: «Множества равны, если их характеристические свойства эквивалентны»).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Записывают A = B, если A и B равны, и A ≠ B — в противном случае.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Проиллюстрируем принцип объемности. Множество A всех положительных четных чисел равно множеству B положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Действительно, если x A, то для некоторого целого положительного числа m имеем x = 2m; тогда x = (2m − 1) + 1, т. е. x B. Если x B, то для некоторых целых положительных p и q имеем x = (2p − 1) + (2q − 1) = 2(p + q − 1), т. е. x A.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Множество, элементами которого являются объекты a1, a2, . . ., an и только они, обозначают {a1, a2, . . ., an}. Его определение через характеристическое свойство:

{a1, a2, . . ., an} = {x x = a1 или x = a2 или . . . или x = an},

где «или» является неразделительным1. Исходя из этого тождества можно видеть, в частности, что

{a, b} = {b, a}, {a, a} = {a}.

В общем случае порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения; не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.

Стоит отметить еще одну тонкость. Нужно строго различать x и {x}. Первое выражение обозначает сам элемент, а второе — множество, содержащее этот один элемент. Разница между ними примерно такая же, как между шимпанзе и шимпанзе, посаженным в клетку в зоопарке: {x} скорее похоже на такую клетку, чем на ее обитателя.

1В русском языке «разделительное или» употребляется при соотнесении однородных членов предложения или целых предложений (по значению взаимоисключающих или заменяющих друг друга), указывая на необходимость выбора между ними. Пример: Сходи в магазин и купи там яблоки или апельсины.

«Неразделительное или» употребляется, чтобы передать смысл «то или другое или оба вместе». Иногда письменно передается конструкцией «или/и». Пример: Целое число n делится на 2 или/и на 3.

46 Глава 3. Основы теории множеств

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Множество A есть подмножество множества B (обозначается A B), если каждый элемент A есть элемент B; т. е. если x A, то x B. В частности, каждое множество есть подмножество самого себя. Если A не является подмножеством B, то, значит, существует элемент A, не принадлежащий B. Отношение между множествами называется отношением включения.

между множествами называется отношением строгого включения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В математике широко используются следующие множества чисел (с соответствующими обозначениями):

ˆмножество натуральных чисел — N (считаем, что 0 N);

ˆмножество целых чисел — Z;

ˆмножество рациональных чисел — Q;

ˆмножество вещественных чисел — R;

ˆмножество комплексных чисел — C.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для этих множеств выполнены строгие включения: N Z Q R C. Очевидно, для произвольных множеств, если X Y, Y Z, то X Z.

Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Например, имеем {1} {{1}} и {1} не является подмножеством {{1}}. С другой стороны, 1{{1}}, так как единственным элементом множества {{1}} является элемент {1}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пустое множество есть подмножество любого множества. Очевидно, что пустое множество задается тождественно ложным характеристическим свойством, и соответственно все пустые множества равны. Поэтому считается, что множество квадратных кругов равно множеству белых ворон.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Множество всех подмножеств A называется множеством-сте- пенью и обозначается P(A).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если A = {1, 2, 3}, то P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вдальнейшем неоднократно будем пользоваться утверждением, что если множество A состоит из n элементов, то множество P(A) состоит из 2n элементов.

Расплывчатость, недостаточность канторового определения понятия множества стала понятной, когда в 1879 году итальянский логик Бурали-Форти, а немного позже выдающийся философ и логик Бертран Рассел открыли парадоксы, связанные с понятием множества.

Вматематике рассматривается одна теория — теория множеств, которая длительное время претендовала на выразимость в ней всех математических понятий.

Вней пытаются базироваться на одних лишь множествах, и тогда ее универсум (собрание, совокупность) должен быть множеством всех множеств. Но выяснилось, что принятие существования множества всех множеств приводит к парадоксам.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Так, например, одна из аксиом «наивной» теории множеств: если X — множество, то для любого условия A имеем {x x X и A(x)} — также множество. Выберем теперь свойство A следующим образом: A(x) — «x не содержит себя в качестве элементов». Примером множества, обладающего свойством A, служит, например, любое конечное множество. Если обозначить через U универсум — множество всех множеств, то тогда можно определить множество

Y = {x x U и A(x)} = {x x U и x x}. Спрашивается, выполняется ли Y Y или Y Y? Любое из этих двух предположений влечет противоположное утверждение.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Этот парадокс впервые обнаружил Бертран Рассел. Другая, более популярная форма этого парадокса известна как парадокс брадобрея (см. параграф 1.3 главы 1).

Парадокс Рассела и другие трудности, связанные с неограниченным использованием абстрактных понятий в математике, свидетельствовали о кризисе математики на рубеже XIX и XX веков. В частности, о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Например, для устранения таких противоречий и парадоксов для теории множеств были предложены аксиоматические теории (см. главу 6).

3.2 Операции над множествами. Диаграммы Эйлера—Венна

Рассмотрим методы получения новых множеств из уже существующих.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Объединением множеств A и B называется множество A B, все элементы которого являются элементами множества A или/и B:

A B = {x x A или/и x B}.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, элементы которого являются элементами обоих множеств A и B:

A ∩ B = {x x A и x B}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Очевидно, что выполняются включения A ∩ B A A B и A ∩ B B A B. Говорят, что два множества не пересекаются, если их пересечение — пустое множество.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Относительным дополнением множества A до множества X называется множество X /A всех тех элементов множества X, которые не принадлежат множеству A:

X /A = {x x X и x A}.

Симметрическая разность A ∆ B состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств A и B:

A ∆ B = (A/B) (B/A) = (A B)/(A ∩ B).

Множество X /A называют также разностью множеств X и A.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Операцию абсолютного дополнения, как правило, вводят лишь тогда, когда фиксирован универсум U (в данном случае под универсумом понимается некоторое множество, для которого все рассматриваемые в определенном контексте множества являются подмножествами).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Абсолютным дополнением множества A называется множество A всех тех элементов x, которые не принадлежат множеству A:

A = {x x U и x A}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заметим, что A = U/A. Часто вместо A будем писать ¬A (символ ¬ используется также для обозначения отрицания в логике высказываний (см. главу 4).

Первым стал использовать теперь общепринятые обозначения операций над множествами Пеано1 (1888 г.).

При решении целого ряда задач Эйлер2 (рис. 3.1) использовал идею изображения множеств с помощью кругов. В этом случае множества обозначают кругами или просто овальными областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри квадрата, который представляет собой универсум U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то на диаграмме области, отвечающие та-

ким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствую-

Рис. 3.1 – Леонардо

щих областях (рис. 3.2).

Эйлер

Здесь не имеет значения относительный размер кругов либо других замкнутых областей, но лишь их взаимное расположение. Безусловно, такие диаграммы могут играть в математике лишь ту роль, что чертежи в геометрии: они иллюстрируют, помогают представить и доказать.

Объединение, пересечение и дополнение обычно называются булевыми операциями, составленные из множеств с их помощью выражения — булевыми выражениями, значение такого выражения — булевой комбинацией входящих в него множеств, а равенство двух булевых выражений — булевыми тождествами.

1Джузеппе Пеано (1858–1932 гг.) — итальянский математик. Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики.

2Леонард Эйлер (1707 г., Швейцария — 1783 г., Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Почти полжизни провёл в России.

Рис. 3.2 – Операции над множествами

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Теорема 1. Для любых подмножеств A, B и C универсума U выполняются следующие основные булевы тождества:

1. A B = B A (коммутативность ).

1′. A ∩ B = B ∩ A (коммутативность ∩).

2. A (B C) = (A B) C (ассоциативность ).

2′. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (ассоциативность ∩).

3. A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) (дистрибутивность относительно ∩).

3′. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (дистрибутивность ∩ относительно ).

4. A = A.

4′. A ∩ U = A.

5. A ¬A = U.

5′. A ∩ ¬A = .

6. A A = A (идемпотентность ).

6′. A ∩ A = A (идемпотентность ∩). 7. A ∩ U = U.

7′. A ∩ = .

8. ¬(A B) = ¬A ∩ ¬B.

8′. ¬(A ∩ B) = ¬A ¬B.