Математическая логика и теория алгоритмов.-7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Лемма 2. Пусть A ≡ B и C — формула, в которой выделено одно вхождение некоторой переменной X . Пусть CA получается из C заменой этого вхождения X на A, а CB — из C заменой того же вхождения X на B. Тогда CA ≡ CB.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство леммы будет проведено в параграфе 7.2 главы 7 с помощью математической индукции по построению.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим произвольную переменную X и получим формулу C из CA заменой A на X . Будем считать это вхождение X в C выделенным. Тогда C, A, B, CA, CB удовлетворяют условиям леммы 2, а значит,

CA ≡ CB.

Замечание 3. Из теоремы 4 мы сразу получаем несколько полезных следствий. Например, пусть имеется формула, содержащая только n штук операций конъюнк-

в каком

ции. Если n 1, то необходимо присутствие скобок в формуле, чтобы показать, порядке выполняется бинарная операция конъюнкции. В силу ассоциатив-

>

ности & (равносильность 3 из теоремы 3) сразу получаем, что истинностное значение исходной n-кратной конъюнкции не зависит от расстановки скобок. Поэтому при записи такой формулы, скажем A&B&C&D&E, можно вообще не использовать скобки. Так как n-кратная дизъюнкция также ассоциативна, то мы можем использовать n-кратную дизъюнкцию также без скобок.

Замечание 4. Для каждой формулы можно указать равносильную ей формулу,

ми же законами. Это не случайно: и алгебра высказываний, и алгебра множеств — это различные варианты математической структуры, называемой булевой алгеброй (см. например, [6] или любой учебник по дискретной математике).

4.4 Логическое следствие

Дадим основные определения этого параграфа.

Непустое множество формул Γ будем называть выполнимым1, если существует интерпретация 3, что все формулы из Γ в интерпретации 3 истинны. При этом интерпретация 3 называется моделью множества формул Γ.

Пустое множество выполнимо, и его модель есть любая интерпретация. Заметим, что если множество Γ конечно и состоит, например, из формул A1,

A2, . . ., An, то невыполнимость множества Γ равносильна противоречивости формулы

A1 & A2 & . . . & An.

1Используется также терминология: логически непротиворечивым, непротиворечивым или семантически непротиворечивым, сравните с логикой первого порядка (глава 5).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть Γ — произвольное (возможно, пустое) множество формул и A — какая-то формула. Будем говорить, что формула A является логическим следствием множества Γ и писать Γ A, если эта формула истинна в любой модели множества Γ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Иногда говорят, что «множество формул Γ логически влечет формулу A» или «формула A логически следует из множества формул Γ».

Если Γ = {A1, A2, . . ., An}, то пишут A1, A2, . . ., An A. Для Γ = пишутA, что согласуется с ранее введенным обозначением для тавтологий, поскольку тождественно истинная формула истина в любой интерпретации.

Замечание 3. В определении понятия логического следования не предполагается, что множество Γ обязательно имеет хотя бы одну модель. Просто в случае отсутствия моделей у множества Γ на формулу A не накладывается никаких ограничений и, следовательно, считается по определению, что невыполнимое множество формул логически влечет любую формулу логики высказываний.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Теорема 5.

(a) A B тогда и только тогда, когда A B.

(b) Более общо, при n 1: A1, A2, . . ., An−1, An B тогда и только тогда, когда A1, A2, . . ., An−1 An B.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство.

(a)Рассмотрим таблицы истинности для A, B и A B с перечнем всех фигурирующих в них переменных на входах этих таблиц. Для выяснения, имеет ли место A B, надо пренебречь строками, в которых A дает Л, ибо в них формула A B всегда принимает значение И (по правилу импликации). Рассмотрим прочие строки, т. е. строки, где A дает И. Если A B, то B дает И в этих строках, а по правилу для импликации и A B дает И. В остальных же строках она и так истинна. Следовательно, A B. Обратно, если A B, то A B дает И во всех строках, где A дает И (и, конечно, во всех остальных строках). Следовательно, по правилу импликации, B должно давать И во всех тех строках, где A дает И, а это значит, что A B.

(b)Рассмотрим случай n 2. Возьмем таблицы истинности для A1, A2, . . ., An, B, An B. Рассуждаем, как и выше, но на этот раз в качестве A фигурирует An: мы ограничиваемся рассмотрением тех строк, где A1, A2, . . ., An−1 дают И.

Следствие. При n 1 A1, A2, . . ., An−1, An B тогда и только тогда, когда

A1 ( . . .(An−1 (An B)) . . .)

Доказательство проводится n-кратным применением теоремы.

Таким образом, задача установления того, какие формулы являются логическими следствиями данных формул A1, A2, . . ., An−1, An, сводится к задаче выяснения, какие формулы есть тавтологии. В этом, в частности, и заключается важная роль тавтологий.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Проверим, что (P Q) (Q P) не выполняется. Предположим противное: (P Q) (Q P), следовательно, (P Q) (Q P) — тавтология. Но если взять P = Л, а Q = И, то (P Q) (Q P) = Л. Противоречие говорит о том, что Q P не является логическим следствием P Q.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.Чем различаются определения истинностного значения для простого и составного высказываний?

2.Какие вхождения переменной x в выражение

являются связанными, а какие — свободными?

3.Результат какой бинарной логической операции является истинным в одном случае из четырех?

4.Какое из следующих двух высказываний мог сказать житель острова рыцарей и лжецов?

Если я лжец, то я рыцарь. Если я рыцарь, то я лжец.

5.Может ли формула пропозициональной логики одновременно быть выполнимой и тавтологией?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рекомендуемая литература к главе 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[1]Непейвода Н. Н. Прикладная логика : учеб. пособие / Н. Н. Непейвода. —

2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. —

521 с.

[2]Смаллиан Р. Как же называется эта книга? / Р. Смаллиан. — М. : Издательский дом Мещерякова, 2007. — 272 с.

[3]Клини С. К. Введение в метаматематику / С. К. Клини. — 2-е изд., испр. — М. : Книжный дом «Либроком», 2009. — 528 с.

[4]Черч А. Введение в математическую логику / А. Черч. — 2-е изд., испр. — М. : Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 1.

[5]WolframMathematica [Электронный ресурс]. — URL : http://www.wolfram.com/mathematica/ (дата обращения: 08.05.2015).

[6]Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. — 2-е изд., стереотип. — М. : Академия, 2008. — 448 с.

Глава 5

ЯЗЫКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Если бы я владел знаниями, то шел бы по большой дороге. Единственная вещь, которой я боюсь, — это узкие тропинки. Большая дорога совершенна ровна, но народ любит узкие тропинки.

Лао-цзы

Логика высказываний обладает довольно слабыми выразительными возможностями. В ней нельзя выразить даже очень простые с математической точки зрения рассуждения. Укажем примеры слабости языка логики высказываний.

1.В языке логики высказываний никак нельзя передать внутреннюю структуру математического утверждения, например такого как «для любого положительного числа x существует такое число y, что x = y2». Языковые конструкции «для любого x» и «существует y» называются кванторами и широко используются в математике. Кроме того, из одной высказывательной формы мы можем создать несколько высказываний, просто подставляя вместо параметров формы различные имена элементов универсума. Но общее происхождение полученных таким образом высказываний никак нельзя передать в формулах логики высказываний.

2.Рассмотрим, например, следующее умозаключение. «Всякое целое число является рациональным. Число 2 — целое. Следовательно, 2 — рациональное число». Все эти утверждения с точки зрения логики высказываний являются атомарными. Средствами логики высказываний нельзя вскрыть внутреннюю структуру, и поэтому нельзя доказать логичность этого рассуждения в рамках логики высказываний.

Для точного описания математических утверждений нам понадобится искусственный язык. В математической логике наиболее распространены так называемые языки первого порядка, которые являются расширениями языка пропозициональных формул. Языки первого порядка отличаются точностью и удобством для записи математических утверждений, и допускают сравнительно легкий перевод на обычный язык и обратно.

5.1 Предикаты и кванторы

Элементарные высказывания с точки зрения пропозициональной логики характеризуются только истинностными значениями и являются неделимыми конструкциями. Но логиков во многих случаях интересует и внутренняя структура простых предложений: что и о чем говорится в данном предложении. С точки зрения грамматики естественного языка, субъект (или подлежащее) — это то, о чем или о ком говорится в предложении, а предикат (называемый также сказуемым или группой сказуемого) выражает то, что говорится о субъекте. В математической логике произвольную высказывательную форму со свободными переменными называют также предикатом. Если мы заменим свободные переменные, входящие в эту форму, на имена объектов универсума, то получим некоторое отношение между этими объектами, которое, в зависимости от конкретных объектов-параметров, будет истинным или ложным высказыванием.

Таким образом, со всяким предикатом, понимаемым как высказывательная форма, естественным образом связана функция, которая каждому набору значений параметров сопоставляет истинное или ложное высказывание. Если мы не будем различать высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, то придем к следующему определению: k-местным предикатом на универсуме M называется произвольная функция

P : Mk → {И, Л}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть универсум — множество натуральных чисел N. Определим одноместный предикат P: N → {И, Л}, так что P(n) = И тогда и только тогда, когда n есть простое число.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть универсум есть произвольное множество M, элементы которого сами являются множествами. Определим двуместный предикат A: M2 → {И, Л}, так что A(X , Y) = И тогда и только тогда, когда X Y.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вматематике чаще всего встречаются одноместные и двуместные (бинарные) отношения. Бинарные отношения обычно записываются между своими аргументами, например 4 < 7, x2 +2x+1 > 0 и т. д. Одноместные отношения в математике часто записываются при помощи символа и символа для множества объектов, обладающих данным свойством. Например, утверждение «π — действительное число» записывается в виде π R, где R обозначает множество действительных чисел. Но

в логике для единообразия мы пользуемся предикатной записью P(t1, . . ., tn), чтобы обозначить высказывание, образованное применением n-местного отношения P к предметам t1, . . ., tn. В такой записи 2 = 4 выглядит следующим образом: = (2, 4).

«Предикат» и «отношение» соотносятся как имя и предмет, им обозначаемый. Но в математике эти два понятия употребляются почти как синонимы. В логических материалах мы будем пользоваться строгим термином «предикат», а в конкретных приложениях, когда это вошло в математическую традицию, использовать и слово «отношение» (например, говорить об отношении «>» в формуле a > b).

Вообще, всякий раз, когда речь идет о «свойствах» объектов (пример 5.1) или «отношениях» между ними (пример 5.2), свойства и отношения можно представлять как соответствующие предикаты.

Логические операции, называемые кванторами, позволяют из данного предиката получать предикат с меньшим числом параметров, в частности из одноместного предиката получается высказывание.

Квантор «для всех»

Пусть A(x) — предикат с одним параметром, тогда высказывание «для всех x верно A(x)» символически записывается xA(x). Символ называется квантором всеобщности (или универсальным квантором). Эта же связка используется при переводе утверждений:

«A верно при любом значении x»,

«для произвольного x имеет место A(x)», «каково бы ни было x, A(x)»,

«для каждого x (верно) A(x)», «всегда имеет место A(x)», «каждый обладает свойством A», «свойство A присуще всем»

и т. п.

Утверждение xA(x) истинно тогда и только тогда, когда A(x) истинно при любом фиксированном значении x. Утверждение xA(x) ложно тогда и только тогда, когда имеется хоть один предмет c из нашего универсума (другими словами, хотя бы одно значение x), такой, что A(c) ложно.

В том случае, когда универсум содержит бесконечное множество значений, нет никакой переборной процедуры, которая помогла бы проверить истинностьxA(x); только математическое доказательство позволяет нам единым образом обозреть все это бесконечное множество и получить точный ответ.

Квантор «существует»

Пусть A(x) — предикат с одним параметром, тогда высказывание «существует такое x, что A(x)» символически записывается xA(x). Знак называется квантором существования. Эта же связка применяется при переводе утверждений:

«A(x) верно при некоторых x», «A(x) иногда верно»,

«есть такое x, при котором A(x)», «можно найти такое x, при котором A(x)», «у некоторых вещей есть признак A»,

«по крайней мере один объект есть A» и т. п.

Высказывание xA(x) истинно, если в нашем универсуме найдется хотя бы одно значение c, при котором A(c) истинно. xA(x) ложно, если при любом значении c ложно A(c).

Нахождение истинностного значения xA(x) также может составлять проблему. Например, натуральное число n называется совершенным, если сумма его делителей (исключая самого n) равна n. Например, 6 — совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3. Проблема «существует ли нечетное совершенное число?» стоит со времен античности, и не видно способа ее решить.

Заметим, что утверждение xA(x) не отрицает того, что xA(x). И конечно, кванторы и всегда употребляются вместе с переменной и заставляют ее пробегать весь универсум.

Для предикатов с несколькими параметрами A(x1, x2, . . ., xn), n > 1 применение квантора общности или существования по любой переменной связывает эту переменную и создает предикат с числом параметров, меньшим на единицу. Например, рассмотрим высказывательную форму x 0 x = y2, которую обозначим в виде предиката P(x, y). Тогда мы можем создать предикат с одной свободной переменной yP(x, y) и, применяя еще один квантор, получаем (истинное) высказываниеx yP(x, y). Отметим, что мы можем получить еще 7 различных высказываний, меняя кванторы, их порядок и связывая квантором разные переменные.

Применение логического языка в теории множеств

Покажем, как простое использование логических операций и предикатов дает более точное и краткое описание понятий и рассуждений в теории множеств. Например, для доказательства основных тождеств алгебры множеств (теорема 1 из главы 3) можно использовать логические равносильности.

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) (дистрибутивность относительно ∩).

Имеем A (B∩C) = {x x A (B∩C)} = (по определению объединения и пересечения множеств) {x x A (x B & x C)} = (дистрибутивность относительно

&) {x (x A x B) & (x A x C)} = (A B) ∩ (A C).

¬(A B) = ¬A ∩ ¬B (законы де Моргана).

Имеем ¬(A B) = {x x ¬(A B)} = (по определению дополнения и объединения) {x x U & ¬(x A x B)} = (закон де Моргана для ) {x x U & ¬(xA) & ¬(x B)} = (определение дополнения) {x x ¬A & x ¬B} = ¬A ∩ ¬B.

Следующие утверждения были приведены в главе 3, но без обоснования. Теперь мы можем воспользоваться свойствами импликации.

Замечание 1. Транзитивность описывается формулой:

x y z(<x, y> ρ & <y, z> ρ <x, z> ρ).

Если для отношения ρ вообще не существует таких x, y и z, чтобы выполнялось <x, y> ρ & <y, z> ρ, то импликация истинна и, следовательно, отношение транзитивно.

Замечание 2. Антисимметричность описывается формулой:

x y(<x, y> ρ & <y, x> ρ x = y).

110 Глава 5. Языки первого порядка

Определение терма носит индуктивный характер и содержит три пункта. Первые два пункта являются базисом индукции и указывают, какие объекты языка следует непосредственно считать термами. Третий пункт представляет собой шаг индукции и задает порождающее правило, позволяющее уже из построенных термов построить новый терм.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть сигнатура содержит целые числа в качестве констант, двуместные функциональные символы + и ×, и пусть x и y — переменные. Тогда выражения

−7 + x, y, ((1 + 2) + (3 + 4)) × (x + 10)

суть термы. Заметим, что функциональные символы + и × в данном случае пишутся в инфиксной форме (между аргументами).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Атомарные (или элементарные) формулы определяются как выражения вида P(t1, t2, . . ., tk), где P есть k-местный предикатный символ (k 1), а t1, t2, . . ., tk — термы. Всякий 0-местный предикатный символ также считается атомарной формулой. Кроме того, имеется предикатный символ '=', обозначающий предикат «равенство» и используемый в инфиксном виде. Таким образом, к числу атомарных формул относятся и выражения вида t1 = t2, где t1, t2 — термы.

Формулы определяются индуктивно с помощью следующих четырех пунктов, причем первый пункт представляет из себя базис индукции, а остальные три пункта суть порождающие правила.

1.Каждая атомарная формула есть формула.

2.Если A — формула, то выражение ¬ A есть формула.

3.Если A и B — формулы, то выражения (A&B), (A B), (A B), (A B) суть формулы.