Линейная алгебра.-1

>

>

>

:

17. Метрические и евклидовы пространства.

Определение 17.1. Метрическим пространством называется множество V элементов произвольной природы ( точек пространства), в котором для любых двух элементов x; y 2 V определено число (x; y), (расстояние между точками или метрика), удовлетворяющее условиям:

1.(x; y) = (y; x);

2.(x; y) > 0 ïðè x 6= y è (x; x) = 0;

3.(x; y) + (y; z) > (x; z) (неравенство треугольника).

Расстояние можно вводить различными способами, при этом будем получать различные метрические пространства. Например, можно ввести расстояние через скалярное произведение.

Пусть задано линейное n-мерное пространство Rn. Введем в нем по- нятие скалярного произведения и длины вектора.

Определение 17.2. Скалярным произведением векторов x; y 2 Rn íà- зовем действительное число (x; y), причем выполняются условия:

1)(x; y) = (y; x);

2)(x + y; z) = (x; z) + (y; z);

3)( x; y) = (x; y);

4)(x; x) > 0 ïðè x 6= 0 è (x; x) = 0 ïðè x = 0.

Определение 17.3. Линейное пространство Rn, в котором введено ска- лярное произведение называется евклидовым и обозначается En.

Длиной (нормой) вектора x в евклидовом пространстве En называется

P

xiyi, ãäå x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn), то длину вектора x

i=1

61

Для длины вектора справедливы свойства:

1.jxj = 0, ïðè x = 0;

2.j xj = j j jxj;

3.jx + yj 6 jxj + jyj (неравенство треугольника).

4.j(x; y)j 6 jxj jyj (неравенство Коши-Буняковского);

Докажем неравенство Коши-Буняковского. Рассмотрим вектор

( 2 R). По свойству 4 определения 17.1 ( x y; x y) > 0. То есть2(x; x) 2 (x; y) + (y; y) > 0. Квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения, значит его дискриминант D 6 0. Имеем

D=4 = (x; y)2 (x; x)(y; y) 6 0

(x; y)2 6 (x; x)(y; y) = jxj2 jyj2:

Извлекая квадратный корень, получим неравенство Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что дробь

1 6 (x; y) 6 1:

(x; x)(y; y)

Поэтому данную дробь можно считать косинусом некоторого угла ' :

(x; y) cos ' = (x; x)(y; y)

Óãîë ' назовем углом между векторами x è y.

Вектор, длина которого равна 1, называется нормированным. Два вектора, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональными.

Теорема 17.1. Всякая система a1; a2; : : : ; am, векторы которой попар- но ортогональны, линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию данных векторов1a1 + 2a2 + : : : + mam = 0 ( ). Найдем, при каких значениях коэффициентов i она обращается в 0. Умножим ( ) скалярно на ai.

1(a1; ai) + : : : + i(ai; ai) + : : : + m(am; ai) = 0. Получим i(ai; ai) = 0,

62

òàê êàê (ai; aj) = 0 ïðè i 6= j. Таким образом, для каждого i = 1; m имеем i = 0. Cистема векторов a1; a2; : : : ; am линейно независима.

Векторы e1; e2; : : : ; en образуют в пространстве En ортонормированный базис, если длина каждого равна 1 и векторы попарно ортогональны, то есть (ei; ej) = 0 ïðè i 6= j è jeij = 1 для каждого i = 1; 2; : : : ; n.

Приведем (без доказательства) основную теорему этого параграфа:

Теорема 17.2. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве En ñó- ществует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является канонический базис: e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1).

18. Формулы перехода от одного базиса к другому.

Из координат векторов ffjg (j = 1; n ) составим матрицу C, записывая

координаты векторов ffjg в столбцы

Матрицу C называют

Матрица C невырожденная. Векторы

чит, ранг матрицы C равен n èëè jCj 6= 0. В матричной форме формулы перехода от базиса feig к базису ffjg можно записать

63

Аналогично, так как ffjg базис, выразим через него векторы ei =

n

P

(a1i; a2i; : : : ; ani) = ajifj. Матрица A, элементы которой координаты

j=1

векторов ei, записанные в столбцы, является матрицей перехода от базиса ffjg к базису feig.

Тогда формулы перехода от базиса ffjg к базису feig имеют вид

Èç (17:2) è (17:3) следует, что A = C 1.

Вывели формулы вычисления координат вектора при изменении базиса

64

Пример 18.1. В базисе e1, e2, e3 заданы векторы f1 = (1; 3; 1), f2 =

(1; 2; 1), f3 = (2; 8; 7). Докажите, что векторы f1, f2, f3 образуют базис. Найдите координаты вектора x = (1; 7; 10) в новом базисе.

Решение . Составим матрицу C перехода от "старого" базиса к "ново-

Èòàê, x = (1; 2; 1).

Пусть базисы e1; e2; : : : ; en è f1; f2; : : : ; fn пространства En ортонормированы, то есть векторы базисоâ единичные и попарно ортогональны: jeij = 1, jfij = 1, (ei; ej) = 0, (fi; fj) = 0.

Пусть заданы координаты векторов fi = (q1i; q2i; : : : ; qni) в "старом" базисе (i = 1; 2; : : : ; n).

65

Тогда для каждого i = 1; 2; : : : ; n имеем jfij2 = (q1i)2 + (q2i)2 + : : : + (qni)2 = 1 è (fi; fj) = q1iq1j + q2iq2j + : : : + qniqnj = 0 ïðè i 6= j.

Матрица перехода от базиса feig к базису ffjg имеет вид

Определение 18.1. Матрица, в которой сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих эле-

ментов двух столбцов равна 0 называется ортогональной.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 18.1. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Теорема 18.2. Матрица, обратная ортогональной матрице, совпадает с транспонированной, то есть Q 1 = QT .

Доказательство. Вычислим произведение

Доказательство. jQ 1 Qj = jQT Qj = jQT j jQj = jQj2 = 1.

Задание 18.1. В каноническом базисе даны три вектора a = (3; 2),

b = ( 2; 1), c = (7; 4). Докажите, что векторы a è b можно принять за новый базис. Найдите координаты вектора c в новом базисе.

66

векторы a, b, c можно принять за новый базис. Запишите матрицу пере-

хода от старого базиса к новому. Найдите координаты вектора d в новом базисе.

Задание 18.3. В каноническом базисе даны четыре вектора a = (2; 1; 0),

b = (1; 1; 2), c = (2; 2; 1), d = (3; 7; 7). Докажите, что любую тройку

векторов можно принять за новый базис. Найдите каждого из векторов в базисе, состоящем из остальных трех векторов.

19. Линейный оператор.

Одно из фундаментальных понятий алгебры матриц это понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства Rn è Rm. Отображение, ста- вящее любому вектору x 2 Rn единственный вектор y 2 Rm называ- åòñÿ оператором èç Rn â Rm (A : Rn ! Rm). Обозначается оператор y = A(x) или просто y = Ax. Вектор y называется образом вектора x.

Определение 19.1. Оператор A : Rn ! Rm называется линейным, если для любых двух векторов x; y 2 Rn и любого действительного числавыполняются условия:

1)A(x + y) = Ax + Ay ;

2)A( x) = Ax.

Условия 1) и 2) можно объединить:

Определение 19.2. Оператор A называется линейным, если для любых векторов x; y 2 Rn и любых чисел ; 2 R выполнено условие

y) = Ax + Ay .

67

Åñëè Rm = Rn то отображение A : Rn ! Rn называется преобразо- ванием пространства Rn.

Примеры линейных операторов.

1.Тождественный оператор I: Ix = x для всех векторов x 2 Rn;

2.нулевой оператор: Ax = 0 для всех векторов x 2 Rn;

3.оператор проектирования: P : R3 ! R2 è Pa = b, åñëè a =

(a1; a2; a3), b = (a1; a2).

4.оператор подобия: Ax = kx для всех векторов x 2 Rn;

5.оператор дифференцирования: f(x) ! f0(x);

6.оператор интегрирования: f(x) ! F (x), ãäå F (x) первообразная для f(x) íà [a; b].

Åñëè èç òîãî, ÷òî x1 6= x2 следует, что Ax1 6= Ax2, и для любого вектора y 2 Rm существует вектор x 2 Rn такой, что y = Ax, то говорят, что оператор A действует взаимно-однозначно.

Пусть заданы два линейных оператора

Суммой линейных операторов A è B называется оператор A + B, действующий по закону (A + B)(x) = Ax + Bx.

Произведением линейного оператора A на число называется оператор A, действующий по закону ( A)x = (Ax).

Произведением линейных операторов A è B называется оператор AB, действующий по закону (AB)x = A(Bx). В общем случае AB 6= BA.

Линейный оператор B называется обратным оператору A, если произведение AB = I (тождественный оператор). Обозначается обратный оператор A 1.

Теорема 19.1. Для того чтобы для линейного оператора A существовал обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы оператор A действовал взаимно-однозначно.

Определим как действует линейный оператор A : Rn ! Rm. Выберем в пространстве Rn базис e1; e2; : : : ; en, а в пространстве Rm

базис f1; f2; : : : ; fm.

Найдем образы базисных векторов

68

Из чисел aji составим матрицу A, записывая координаты векторов Aei

A матрица размера m n. Матрица A называется матрицей линейно-

го оператора A. Таким образом, каждому линейному оператору можно

поставить в соответствие матрицу. Задание матрицы полностью определяет линейный оператор.

Выведем формулу для вычисления координат образа произвольного вектора x. Пусть оператор A : Rn ! Rm. Выберем базисы e1; e2; : : : ; en

в пространстве Rn, è f1; f2; : : : ; fmnв пространстве Rm.

y = Ax = x1(a11f1 +a21f2 +: : :+am1fm)+x2(a12f1 +a22f2 +: : :+am2fm)+

: : : + xn(a1nf1 + a2nf2 + : : : + amnfm) = (x1a11 + x2a12 + : : : + xna1n)f1 + +(x1a21 + x2a22 + : : : + xna2n)f2 + : : : + (x1am1 + x2am2 + : : : + xnamn)fm.

69

Мы показали, что для задания линейного оператора A : Rn ! Rm достаточно задать образы базисных векторов. Заданием этих образов оператор определяется однозначно.

Сформулируем несколько теорем о линейных операторах:

Теорема 19.2. Пусть e1; e2; : : : ; en базис в пространстве Rn, f1; f2; : : : ; fn произвольные вектора в пространстве Rm. Тогда существует единственный оператор A : Rn ! Rm такой что Aei = fi.

Так как все операции над линейными операторами можно свести к операциям над матрицами операторов, то справедлива теорема

Теорема 19.3. Матрица произведения операторов AB равна произве-

дению матриц операторов A и B.

Rn базис можно выбрать различными способами, но тогда и матрицы оператора в разных базисах будут разными. Связь между матрицами оператора в разных базисах выражается теоремой

Теорема 19.4. Матрицы A и A линейного оператора A в базисах feig è ffjg связаны соотношением A = C 1AC, где C матрица перехода

от базиса feig к базису ffjg.

Теорема 19.5. Определитель матрицы линейного оператора не меняется при переходе к новому базису.

Эту теорему докажите самостоятельно.

70