Линейная алгебра.-1

A 1 A A00 = A 1 (A A00) = A 1 E = A 1:

Из этих равенств следует, что A00 = A 1.

Условие невырожденности квадратной матрицы является не только достаточным, но и необходимым для существования обратной матрицы.

Теорема 4.2. Если квадратная матрица A имеет обратную матрицу, то она невыроженная матрица.

Доказательство. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A 1. Тогда A A 1 = E. Значит, jA A 1j = jEj = 1. По свойству 9 определителей имеем jA A 1j = jAj jA 1j. Следовательно, jAj jA 1j = 1. Откуда вытекает, что jAj =6 0.

4 5

значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A11 = 5; A12 = ( 4) = 4; A21 = ( 7) = 7; A22 = 6:

Составим присоединенную матрицу

Транспонировав ее и разделив на определитель, получим матрицу, обратную матрице A

!!

Выполним проверку. Для этого вычислим произведение

21

!

10

== E:

0 1

Пример 4.2. Найдите матрицу, обратную матрице

0 1

1 3 2

A = B 2 4 1 C:

@A

3 1 4

Решение . Вычислим определитель.

Составим присоединенную матрицу

@A

11 5 2

Транспонировав ее и разделив на определитель, получим матрицу, обратную матрице A

22

Проверку выполните самостоятельно. Свойства обратной матрицы.

5. Матричные уравнения.

Пусть A невырожденная квадратная матрица.

Поставим задачу: найти такие матрицы X è Y , чтобы были справед-

ливы уравнения A X = B è Y A = B (в общем случае X 6= Y ).

Так как A невырожденная матрица, то существует матрица Умножим обе части уравнения AX = B на матрицу A 1 слева. Получим

A 1AX = A 1B èëè X = A 1B.

Аналогично можно получить, что Y = BA 1.

23

Задание 5.2. Решите уравнения AX = B è XA = B, ãäå

Задание 5.5. Решите уравнение

01

6. Системы линейных уравнений.

В школе вы изучали системы двух линейных уравнений с двумя неиз-

a1x + b1y = c1 : a2x + b2y = c2

Напомню один из методов решения этой системы.

Умножим первое уравнение на b2, а второе на b1, а затем сложим

эти уравнения

(

эти определители через и x соответственно. Равенство для определения x принимает вид

x = x:

24

Åñëè 6= 0, òî

x = x :

Аналогично можно получить, что

y = y ;

Так как уравнение ax + by = c задает на плоскости прямую, то систе-

ма двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, если прямые, задающие уравнения, пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Аналитически эти условия можно записать следующим образом: система имеет единственное решение, если aa12 6= bb12 ,

система не имеет решений, если a1 = b1 6= c1 a2 b1 c2 ,

система имеет бесконечно много решений, если a1 = b1 = c1 a2 b1 c2 .

В курсе линейной алгебры мы будем изучать системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

25

Свободные члены отделены от основной матрицы чертой.

Обозначим X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрицу-столбец неизвестных,

B = (b1; b2; : : : ; bm)T матрицу-столбец свободных членов. Используя

операцию умножения матриц, систему (6:1) можно записать в матрич- ном виде

(x1; x2; : : : ; xn); при подстановке которого в систему уравнений вме- сто неизвестных x1; x2; : : : ; xn каждое уравнение превращается в верное числовое равенство. Система (6:1) называется совместной, åñëè îíà

имеет хотя бы одно решение. Совместная система (6:1) называется îïðå-

деленной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю (b1 = b2 = : : : = bm = 0), è неоднородной, если хотя один из свободных членов отличен от нуля.

При рассмотрении систем линейных уравнений возникают вопросы:

1)имеет ли система хотя бы одно решение (совместна ли система);

2)если система совместна, то сколько решений она имеет (система определенная или нет);

3)как найти все решения системы.

Âкурсе линейной алгебры мы рассмотрим три метода решения систем линейных уравнений: матричный метод, метод Крамера и метод Гаусса.

26

обратную матрицы. Так как матрица A невырожденная jAj = 9 6= 0,

Пример 6.2. (модель национального дохода). Из экономической теории известно, что национальный доход Y складывается из потребления населения C, инвестиций I и затрат правительства G: Y = C + I + G:

С другой стороны, потребление можно представить как линейную функцию национального дохода C = a + bY; где a автономные расходы на потребление, b предельная склонность к потреблению, причем

0 < b < 1.

Предположим, что коэффициенты a и b, а также величины I и G известны, и запишем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными Y и C:

(

Y C = I + G

bY + C = a:

Решим эту систему, используя обратную матрицу. Представим данную систему в виде AX = B, где

Следовательно, матрица A имеет обратную. Найдем ее

27

7. Правило Крамера.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Запишем соотвествующее матричное уравнение AX = B, ãäå A = (aij) матрица системы, X = (x1; x2; : : : ; xn)T матрица-столбец неизвестных, B = (b1; b2; : : : ; bn)T матрица-столбец свободных членов.

Если матрица A невырожденная ( = jAj 6= 0), òî äëÿ íåå ñóùå-

ствует обратная матрица A 1 = 1 (Aij)T . Решим систему (7.1) матричным способом.

28

называют формулами Крамера. Сформулируем доказанную теорему

Теорема 7.1. (Крамера) Если определитель системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера

где определитель системы, k дополнительный определитель неизвестной xk.

Из формул (7:2) вытекает следствие.

29

Следствие 7.2. Если определитель системы равен нулю, а хотя бы

один из дополнительных определителей неизвестных отличен от нуля, то система решений не имеет.

>

>

:

8. Метод Гаусса.

Наиболее удобным для отыскания решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами на практике является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Дана система линейных уравнений (6:1). Рассмотрим следующие преобразования системы, называемые элементарными преобразованиями:

1)Умножение (деление) обеих частей уравнения на некоторое отлич- ное от нуля число;

2)Прибавление к обеим частям j-ого уравнения соответствующих ча-

ñòåé i-того уравнения, умноженных на некоторое отличное от нуля число;

3) Перестановка местами двух уравнений.

Полученная в результате такого преобразования система будет равносильна системе (6:1), то есть они либо обе несовместны, либо обе сосместны и имеют одни и те же решения. Может получиться так, что по-

30