Идентификация и диагностика систем.-1

64

измерений. Поэтому может потребоваться дополнительная процедура совмещения узлов на временной оси, в которых выполнялись измерения и узлов, для которых получается решение уравнений (3.21), (3.23). При записи формулы (3.25) принято, что эта чисто техническая проблема каким-то образом решена.

Таким образом, основным результатом этого этапа является запись решения для уравнения состояния (3.15) в виде (3.25). При этом матрица

G

Коши Фs (t( j) ,t(0) ) и вектор Ps (t( j) ) в этой формуле известны, а неизвест-

ной величиной остается уточненная оценка вектора zGs+1 (t(0) ) – начального состояния и параметров системы. Заметим, что матрица Фs (t( j) ,t(0) )

менты строк с номерами i = n +1, n + 2,...,n + m равны нулю (см. формулы

(3.16)). Анализируя соответствующие уравнения в системах (3.21), (3.23),

сматривать и упростить запись формул, необходимых для дальнейшего анализа задачи.

Введем матрицу C s (t( j) ,t(0) ) следующим образом:

65

Подобным же образом введем вектор Ds (t( j) ) :

G

Ds (t( j) ) = {D1s (t( j) ),..., Dns (t( j) )} = {P1s (t( j) ),..., Pns (t( j) )}. (3.28)

С учетом этих обозначений для компонент вектора xG(t) = {x1(t),..., xn (t)} формулу (3.25) можно записать в виде:

Таким образом, основным результатом этого этапа решения задачи идентификации является формула решения вида (3.29), в которой неиз-

вестным является вектор zGs+1(t(0) ) .

4. Теперь можно записать систему уравнений, которая позволяет найти вектор zGs+1 (t(0) ) по результатам измерений выходного сигнала.

С этой целью подставим формулу (3.29) в алгебраическое уравнение выходов (3.2) и результат запишем в виде:

Матрица F( j) в этой формуле определена выражением

66

творить множеству матричных уравнений вида (3.30) для каждой точки на оси времени. Ясно, что уравнения (3.30) могут иметь единственное решение или же множество решений. В таких условиях необходим критерий для выбора наилучшего решения задачи.

Условие (3.34) приводит к следующей системе линейных алгебраи-

ческих уравнений относительно искомой оценки ξs+1 :

67

Полученную систему уравнений для получения наилучшей линей-

ной несмещенной оценки параметров ξs+1 модели запишем в виде:

Система уравнений (3.36) теперь может быть решена одним из известных методов решения такого рода уравнений, в частности методом последовательного исключения Гаусса, методом последовательной регрессии [1] или каким-либо другим.

Найденное каким-либо методом решение этой системы запишем в виде:

68

Здесь волна сверху указывает на тот факт, что полученная оценка является осредненной оценкой по результатам измерений, содержащих по крайней мере случайные погрешности.

6. Заключительным этапом решения задачи идентификации является проверка выполнения условия достижения наперед заданной точности решения. Оценивая разность между двумя последовательными приближени-

ями ξGs и ξGs+1 , необходимо принять решение либо о продолжении итераци-

онной процедуры уточнения, либо о её прекращении. В качестве критерия для прекращения итераций можно использовать, например, условие:

где ε – наперед заданный параметр схемы, характеризующий точность решения.

Кроме критерия (3.39), чтобы избежать «зацикливания», практически всегда принято использовать и некоторое разумное ограничение количества итераций.

70

4.2 Применение метода квазилинеаризации для идентификации параметров и начального состояния

нелинейной системы: решение тестовой задачи

Итак, пусть задана система уравнений (4.1), которая в соответствии с принятой нами гипотезой описывает закон функционирования изучаемого объекта, а также алгебраическое уравнение выходов (4.4). Пусть известно, что момент начала функционирования системы

Пусть измерения входного и выходного сигналов проводились в точ-

ках:

времени измерений.

В данном случае известно точное решение задачи, поэтому кроме входного и выходного сигналов в таблице 4.1 приведены и соответствующие решению (4.5) значения переменных состояния, которые потребуются в дальнейшем для оценки точности идентификации. Напомним, что точное решение этой задачи в данном случае таково: