Идентификация и диагностика систем.-1

51

REAL*8 VekTET,VektorX,T

DIMENSION VekTET(1:MTmax,0:NSMAX+1) DIMENSION VektorX(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1) INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is dF1dT3=0.0D+0

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

FUNCTION dF2dT1(VekTET,VektorX,T,NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is)

REAL*8 dF2dT1

REAL*8 VekTET,VektorX,T

DIMENSION VekTET(1:MTmax,0:NSMAX+1) DIMENSION VektorX(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1) INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is dF2dT1=0.0D+0

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

FUNCTION dF2dT2(VekTET,VektorX,T,NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is)

REAL*8 dF2dT2

REAL*8 VekTET,VektorX,T

DIMENSION VekTET(1:MTmax,0:NSMAX+1) DIMENSION VektorX(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1) INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is dF2dT2=VektorX(1,j,is)

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

FUNCTION dF2dT3(VekTET,VektorX,T,NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is)

REAL*8 dF2dT3

REAL*8 VekTET,VektorX,T

DIMENSION VekTET(1:MTmax,0:NSMAX+1) DIMENSION VektorX(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1) INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,is dF2dT3=VektorX(2,j,is)

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE GAUSS(N,A,B,X) ! AX=B, RAZM A=N*N

INTEGER N

REAL*8 A,B,X

DIMENSION A(N,N),B(N),X(N)

52

C=A(K,J)

A(K,J)=A(L,J)

A(L,J)=C 30 CONTINUE

C=B(K)

B(K)=B(L)

B(L)=C

35 DO 40 I=K+1,N D=A(I,K)/A(K,K)

A(I,K)=0.0

DO 45 J=K+1,N

A(I,J)=A(I,J)-D*A(K,J)

45CONTINUE B(I)=B(I)-D*B(K)

40 CONTINUE

5CONTINUE X(N)=B(N)/A(N,N)

DO 55 I=N-1,1,-1 S=0.0

DO 50 J=I+1,N

S=S+A(I,J)*X(J)

50CONTINUE X(I)=(B(I)-S)/A(I,I)

55CONTINUE RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE EUFORC(MatrixC,dFIdXJ,dFIdTJ,DELTT,NXmax,MTmax,

JMAX,NSMAX,j,ns)

53

REAL*8 MatrixC,dFIdXJ,dFIdTJ,DELTT

DIMENSION MatrixC(1:NXmax,1:MTmax,1:JMAX)

DIMENSION dFIdXJ(1:NXmax,1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

DIMENSION dFIdTJ(1:NXmax,1:MTmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,ns

INTEGER nx,mt,nxr

REAL*8 PR0,PR1

DIMENSION PR0(1:NXmax,1:MTmax),PR1(1:NXmax,1:MTmax) DO nx=1,NXmax

DO mt=1,MTmax

PR0(nx,mt)=dFIdTJ(nx,mt,j-1,ns)

DO nxr=1,NXmax PR0(nx,mt)=PR0(nx,mt)+dFIdXJ(nx,nxr,j-1,ns)*MatrixC(nxr,mt,j-1)

ENDDO

MatrixC(nx,mt,j)=MatrixC(nx,mt,j-1)+PR0(nx,mt)*DELTT

ENDDO

ENDDO

DO nx=1,NXMAX

DO mt=1,MTmax

PR1(nx,mt)=dFIdTJ(nx,mt,j,ns)

DO nxr=1,NXmax

PR1(nx,mt)=PR1(nx,mt)+dFIdXJ(nx,nxr,j,ns)*MatrixC(nxr,mt,j)

ENDDO

MatrixC(nx,mt,j)=MatrixC(nx,mt,j-1)+

0.5D+0*(PR0(nx,mt)+PR1(nx,mt))*DELTT

ENDDO

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE EUFORD(VektorD,dFIdXJ,dFIdTJ,VEKTFI,VekTET,VektorX,

DELTT,NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,ns)

REAL*8 VektorD,dFIdXJ,dFIdTJ,VEKTFI,VekTET,VektorX,DELTT

DIMENSION VektorD(1:NXmax,1:JMAX)

DIMENSION dFIdXJ(1:NXmax,1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

DIMENSION dFIdTJ(1:NXmax,1:MTmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

DIMENSION VEKTFI(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

DIMENSION VekTET(1:MTmax,0:NSMAX)

DIMENSION VektorX(1:NXmax,1:JMAX,0:NSMAX+1)

INTEGER NXmax,MTmax,JMAX,NSMAX,j,ns

INTEGER nx,nxr,mtr

REAL*8 PR0,PR1

54

DIMENSION PR0(1:NXmax),PR1(1:NXmax)

DO nx=1,NXMAX

PR0(nx)=VEKTFI(nx,j-1,ns)

DO nxr=1,NXmax

PR0(nx)=PR0(nx)+dFIdXJ(nx,nxr,j-1,ns)*

(VektorD(nxr,j-1)-VektorX(nxr,j-1,ns))

ENDDO

DO mtr=1,MTmax

PR0(nx)=PR0(nx)-dFIdTJ(nx,mtr,j-1,ns)*VekTET(mtr,ns)

ENDDO

VektorD(nx,j)=VektorD(nx,j-1)+PR0(nx)*DELTT

ENDDO

DO nx=1,NXMAX

PR1(nx)=VEKTFI(nx,j,ns)

DO nxr=1,NXmax

PR1(nx)=PR1(nx)+dFIdXJ(nx,nxr,j,ns)*

(VektorD(nxr,j)-VektorX(nxr,j,ns)) ENDDO

DO mtr=1,MTmax

PR1(nx)=PR1(nx)-dFIdTJ(nx,mtr,j,ns)*VekTET(mtr,ns)

ENDDO

VektorD(nx,j)=VektorD(nx,j-1)+0.5D+0*(PR0(nx)+PR1(nx))*DELTT

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE SYGROS(YGROS,VectorY,MatrixA,VektorD,KYmax,NXmax,JMAX)

REAL*8 YGROS,VectorY,MatrixA,VektorD

DIMENSION YGROS(1:KYmax,1:JMAX)

DIMENSION VectorY(1:KYmax,1:JMAX )

DIMENSION MatrixA(1:KYmax,1:NXmax)

DIMENSION VektorD(1:NXmax,1:JMAX)

INTEGER KYmax,NXmax,JMAX,ky,j,nx

REAL*8 RY1

DO ky=1,KYmax

DO j=1,JMAX

RY1=0.0D+0

DO nx=1,NXmax

RY1=RY1+MatrixA(ky,nx)*VektorD(nx,j)

ENDDO

YGROS(ky,j)=VectorY(ky,j)-RY1

ENDDO

55

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE SMatrAC(MatrAC,MatrixA,MatrixC,KYmax,MTmax,NXmax,JMAX)

REAL*8 MatrAC,MatrixA,MatrixC

DIMENSION MatrAC(1:KYmax,1:MTmax,1:JMAX)

DIMENSION MatrixA(1:KYmax,1:NXmax)

DIMENSION MatrixC(1:NXmax,1:MTmax,1:JMAX)

INTEGER KYmax,MTmax,NXmax,JMAX,ky,j,nx

REAL*8 RY1

DO ky=1,KYmax

DO mt=1,MTmax

DO j=1,JMAX

RY1=0.0D+0

DO nx=1,NXmax

RY1=RY1+MatrixA(ky,nx)*MatrixC(nx,mt,j)

ENDDO

MatrAC(ky,mt,j)=RY1

ENDDO

ENDDO

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE SMATRINF(MATRINF,MatrAC,KYmax,MTmax,JMAX)

REAL*8 MATRINF,MatrAC

DIMENSION MATRINF(1:MTmax,1:MTmax)

DIMENSION MatrAC(1:KYmax,1:MTmax,1:JMAX)

INTEGER KYmax,MTmax,JMAX,q,r,p,j

REAL*8 RY1

DO q=1,MTmax

DO r=1,MTmax

RY2=0.0D+0

DO p=1,KYmax

RY1=0.0D+0

DO j=1,JMAX

RY1=RY1+MatrAC(p,q,j)*MatrAC(p,r,j)

ENDDO

RY2=RY2+Ry1

ENDDO

MATRINF(q,r)=RY2

56

ENDDO

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

SUBROUTINE SYY(YY,MatrAC,YGROS,KYmax,MTmax,JMAX)

REAL*8 YY,MatrAC,YGROS

DIMENSION YY(1:MTmax)

DIMENSION MatrAC(1:KYmax,1:MTmax,1:JMAX)

DIMENSION YGROS(1:KYmax,1:JMAX)

INTEGER KYmax,MTmax,JMAX,r,p,j

REAL*8 RY1

DO r=1,MTmax

RY2=0.0D+0

DO p=1,KYmax

RY1=0.0D+0

DO j=1,JMAX

RY1=RY1+MatrAC(p,r,j)*YGROS(p,j)

ENDDO

RY2=RY2+Ry1

ENDDO

YY(r)=RY2

ENDDO

RETURN

END

CCCCCC+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

В заключение отметим, что не составит большого труда реализовать аналогичный алгоритм расчета с помощью современных пакетов прикладных программ. Приведенная программа может быть легко переработана с целью выполнения всех заданий для самостоятельной работы, приведенных в пособии далее.

57

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ И ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ

Рассмотрим основные положения метода квазилинеаризации для идентификации параметров и начального состояния, описанные, например, в работе [1]. Метод, который предложили Р. Беллман и Р. Калаба, основан на сведении нелинейной краевой задачи к линейной нестационарной задаче. Предполагается, что параметры идентифицируемой системы постоянны, по крайней мере в течение времени идентификации. Как и для большинства методов линеаризации, не только скорость сходимости решения, но и успех решения задачи вообще существенно зависят от выбора начального приближения для идентифицируемых параметров. Вид нелинейных уравнений идентифицируемой системы должен быть априорно известным. Вид этих уравнений выбирается на этапе выдвижения гипотез о законе функционирования моделируемой системы.

3.1 Постановка задачи

Рассмотрим случай, когда закон функционирования изучаемого объекта (например, системы управления) описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

вестными параметрами (то есть вид функции для каждой компоненты это-

го вектора известен), θG = {θ1,θ2 ,...,θm } – вектор параметров системы, кото-

рые требуется идентифицировать, x = xG(t) = {x1(t),..., xn (t)} – измеряемый

58

вектор состояний системы, uG = uG(t) = {u1 (t),...,ul (t)} – также измеряемый вектор внешних воздействий (управления).

Кроме уравнения состояния (3.1) должно быть задано уравнение выходов. Обычно это система линейных алгебраических уравнений, которую запишем в виде:

где вектор yG = yG(t) = {y1 (t),..., yk (t)} – вектор измеряемого выходного сиг-

Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что для решения уравнений (3.1) необходимо задать соответствующие начальные условия. Однако задачи идентификации, в частности, отличаются тем, что начальные условия, вообще говоря, неизвестны, так как момент времени начала измерений с целью идентификации не совпадает с моментом начала функционирования системы. Одной из очень привлекательных сторон метода квазилинеаризации является то, что вопрос о восстановлении начальных условий решается в соответствии с общим алгоритмом решения задачи идентификации.

В скалярной форме уравнение (3.1) имеет вид:

Еще m дополнительных ограничений получают из условия стационарности идентифицируемых параметров, что дает следующие уравнения для ограничений:

Системы уравнений (3.1), (3.4) можно объединить и записать в виде:

59

Аналогичным образом вектор ψ в правой части уравнения (3.6)

представляет собой объединение векторов правых частей систем уравне-

ний (3.1), (3.4):

эффициентов.

Теперь рассмотрим следующую задачу:

По результатамизмерений вдискретномнабореточек наоси времени

60

Здесь и далее верхний индекс, взятый в скобки, используется для указания номера точки на оси времени. Одновременно его можно рассмат-

ривать и как номер измерения. Момент времени T (0) здесь будем рассматривать как момент начала измерений, и этот момент времени отличается от момента начала функционирования системы t(0) , когда задаются начальные условия.

3.2Описание алгоритма идентификации параметров

иначального состояния нелинейных систем методом квазилинеаризации

Рассмотрим последовательность шагов идентификации параметров и начального состояния системы с математической моделью вида (3.11), (3.12) методом квазилинеаризации.

1. Будем считать, что на начальном этапе задана некоторая исходная оценка параметров модели и вектора переменных состояния, т. е. задано нулевое приближение для вектора zG0 (t) = zGIn (t) , которые обозначим соот-

ветственно:

Здесь и далее верхний индекс без скобок указывает номер итерации в процедуре последовательного уточнения переменных состояния и параметров модели.

За неимением лучшего в качестве исходной оценки вектора параметров зачастую выбирается нулевая оценка:

Для вектора переменных состояния в этом случае начальная оценка также может быть получена относительно просто, т. к. если θG0 = 0 , то уравнения (3.11) легко интегрируются.