Идентификация и диагностика систем.-1

11

Начальные условия для системы (1.8) в соответствии с условиями (1.5) записываются в виде:

Уравнение выходов на каждом шаге итерационного процесса записывается в виде:

3. Следующим важным шагом в реализации алгоритма расчета является то, что решение системы уравнений (1.8) по аналогии с методом вариации произвольных постоянных будем искать в виде:

коэффициентов, которая соответствует общему решению однородной си-

G G

стемы, а D(t) = {D1(t),..., Dn (t)} = D = {D1,..., Dn} – вектор частного решения (тоже пока неизвестный) неоднородной системы уравнений (1.8). Теперь необходимо получить уравнения, из которых могут быть найдены матрица

G

G(t) и вектор D(t) на каждом шаге итерационного процесса, а значит и решение вида (1.12).

Сэтой цельюподставим выражение(1.12) в уравнение(1.8), получаем:

14

выполняются измерения выходного сигнала и найдены значения G(t( j) )

G

и вектора D(t( j) ) .

По завершении этого этапа вычислений в формуле (1.12) для оценки значений вектора переменных состояния в точках t( j) остается неизвест-

ной только уточненная оценка параметров θs+1.

4. Следующим шагом решения задачи идентификации является подстановка выражения решения (1.19) в уравнения (1.3), которая для каждой экспериментальной точки t( j) приводит к следующим системам линейных алгебраических уравнений относительно оцениваемых параметров θGs+1 :

Таким образом, задача получения уточненной оценки коэффициен-

тов модели θGs+1 на очередном шаге итерационного процесса свелась к решению системы линейных алгебраических уравнений (1.22) для каждой

15

точки на оси времени, в которой выполнялись измерения выходного сигнала.

5. Для получения этой оценки воспользуемся идеями метода наименьших квадратов [1–3], т. е. рассмотрим задачу поиска минимума функционала вида:

отклонения между теоретической и экспериментальной оценками выходного сигнала по всей совокупности экспериментальных данных.

Необходимое условие экстремума этого функционала δJ (θGs+1) = 0

приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений от-

носительно искомой оценки θGs+1 :

Таким образом, система уравнений для получения наилучшей линейной несмещенной оценки коэффициентов модели на очередном шаге итерационного процесса имеет в нашем случае следующий вид:

16

где M – квадратная симметричная относительно главной диагонали мат-

рица размера m × m (информационная матрица), Y = {Y1,Y2 ,...,Ym} – вектор правых частей системы уравнений (1.25), которую в теории планирования экспериментов называют ещё канонической системой.

Элементы информационной матрицы M и компоненты вектора Y вычисляются по формулам:

Система уравнений (1.25) теперь может быть решена одним из известных методов решения такого рода уравнений, в частности методом последовательного исключения Гаусса, методом последовательной регрессии [1] или каким-либо другим.

Запишем каким-либо образом найденное решение этой системы в виде:

Здесь волна сверху указывает на тот факт, что полученная оценка, кроме всего прочего, является осредненной оценкой по результатам экспериментов, содержащихпо крайней мереслучайныепогрешностиизмерений.

6. Завершающий этап решения задачи идентификации рассматриваемым методом заключается в проверке условия достижения наперед заданной точности решения. Оценивая разницу между двумя последовательны-

ми приближениями θGs и θGs+1 значений коэффициентов, необходимо принять решение либо о продолжении итерационной процедуры уточнения, повторяя её со второго этапа, либо прекратить уточнение при достижении наперед заданной точности решения. В качестве критерия прекращения итераций можно использовать, например, выполнение условия:

18

2 ПРИМЕР ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ ПРИ ИЗВЕСТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

2.1 Система уравнений с известным аналитическим решением для проверки алгоритма идентификации

Рассмотрим пример применения метода в задаче с заведомо известным решением. В качестве заданной системы уравнений для проверки алгоритма идентификации методом квазилинеаризации рассмотрим систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Соответствующее такому входному сигналу и начальным условиям решение уравнений (2.1) имеет вид:

Далее приведенную систему уравнений и её решение будем рассматривать как тестовый пример для изучения и отладки алгоритма идентификации систем методом квазилинеаризации. Будем считать, что по результатам

19

измерений выходного сигнала требуется методом квазилинеаризации идентифицировать следующую систему:

Пусть измеряемый выходной сигнал системы связан с переменными состояния следующим уравнением выходов:

в общем случае является известного вида нелинейной функцией всех своих аргументов, в рассматриваемом примере определена формулами:

Таким образом, рассматриваем систему уравнений (2.7), которая в соответствии с принятой нами гипотезой описывает закон функционирования изучаемого объекта, а уравнение выходов этой системы имеет вид

(2.6).