Идентификация и диагностика систем.-1

101

Вариант 16. Дана модель системы:

y = θ1 f1 (uG) + θ2 f2 (uG) + θ3 f3 (uG), uG = {u1 , u2 , u3 } ,

fG(uG) = { f1 (uG) = sin (u1 ), f2 (uG) = sin (2u2 ), f3 (uG) = sin (3u3 )}.

Задав θG0 = 0, ε = 10−4 , ω(i) = 1.0 (i = 1,...,10) , оцените методом последо-

вательной идентификации параметры модели по результатам измерений

вательной идентификации параметры модели по результатам измерений

102

Вариант 18. Дана модель системы:

y = θ1 f1 (u ) + θ2 f2 (uG) + θ3 f3 (uG), uG = {u1 , u2 , u3 } ,

fG(uG) = { f1 (uG) = tg (u1 ), f2 (uG) = ln (u2 ), f3 (uG) = sin (u3 )}.

Задав θG0 = 0, ε = 10−5, ω(i) = 1.0 (i = 1,...,10), оцените методом последо-

вательной идентификации параметры модели по результатам измерений входного uG(i) и выходного y(i) сигналов:

вательной идентификации параметры модели по результатам измерений

103

Вариант 20. Дана модель системы:

y = θ1 f1 (uG) + θ2 f2 (uG) + θ3 f3 (uG), uG = {u1 ,u2 ,u3 } ,

fG(uG) = { f1 (uG) = sin (u1 ), f2 (uG) = cos (u2 ), f3 (uG) = sin (u1 + u2 + u3 )}.

Задав θG0 = 0, ε = 10−5 , ω(i) = 1.0 (i = 1,...,10), оцените методом после-

довательной идентификации параметры модели по результатам измерений входного uG(i) и выходного y(i) сигналов:

5.3 Лабораторная работа № 1

Задание

Идентификация стационарных систем с математической моделью вида xG(t) = AxG(t) + BuG(t) методом максимального правдоподобия.

В рамках лабораторной работы необходимо выполнить задания NА, NВ, NС (N – номер примера; А, В, С – варианты).

Идентифицировать стационарную систему x(t) = AxG(t) + BuG(t), заме-

нив непрерывную модель дискретным аналогом, используя для производных формулы правосторонних разностей.

Идентифицировать стационарную систему, исходя из гипотезы о том, что изучаемый объект может быть описан системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве независимой переменной рассматривается время t. Задача формулируется следующим образом. По результатам измерений

104

менной (времени) t [t0 ,T ] идентифицировать систему (найти параметры),

с постоянными коэффициентами. Эти уравнения, представляющие собой

математическое выражение априорно принятой гипотезы о внутреннем устройстве реальной системы, имеют вид:

Повторим, что эти уравнения представляют собой математическое выражение априорно принятой гипотезы о внутреннем устройстве ре-

альной системы. Эта запись является результатом первого этапа исследований, на котором экспериментатор в итоге предварительных наблюдений за реальной системой ответил на следующие вопросы:

1. Оценил количество входов (два в этом случае) и принял, что вход-

ное воздействие описывается измеряемой функцией u(t) = {u1(t), u2 (t)} .

2.Оценил количество измеряемых переменных состояния (две в этом примере), для которых принял обозначения x1 (t), x2 (t) соответственно.

3.Принял предположение о том, что система стационарна, т. е. внутренние параметры (коэффициенты в системе уравнений) не изменяются, по крайней мере в течение времени идентификации t [t0 ,T ].

4.Принял допущение, что изучаемая система (устройство) может быть описана системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

105

Результатом этого предварительного этапа и является математическое оформление гипотезы в виде уравнения (1.1).

Результаты измерений (второй этап идентификации)

Следующий этап изучения системы – измерения, постановка опыта. В данном случае предполагается, что выполнены измерения непосредственно компонент x1(t), x2 (t) вектора переменных состояния и входного сигнала uG(t) = {u1(t), u2 (t)} в дискретном наборе равноотстоящих узлов на

оси времени, т. е. с постоянным шагом по времени t = T − t0 c. Результа-

N

ты измерений зафиксированы в таблицах N.1А, N.1В, N.1С. (N – номер примера; А, В, С – варианты).

Оценка параметров (третий этап идентификации)

Требуется найти параметры a11, a12 ,b11, a21, a22 , b22 модели методом максимального правдоподобия (заменив непрерывную модель системы её дискретным аналогом).

Выполнение работы по идентификации линейных динамических систем методом максимального правдоподобия в результате перехода к дискретной модели

1.Запишите в соответствии с выбранным вариантом задания уравнения линейной динамической системы (см. п. 2.3 учебного пособия [1]).

2.Запишите уравнения дискретной модели системы (см. п. 2.3.2 учебного пособия [1], формулы (2.49)–(2.52)).

3.Напишите в любом доступном пакете программу вычисления по результатам измерений векторов входного сигнала и переменных состояния, которые даны в таблицах, расширенной матрицы плана эксперимента –

106

матрицы коэффициентов исходной системы уравнений для оценки параметров каждого из двух уравнений модели (см., например, табл. 2.2 пп. 2.3.2 учебного пособия [1]).

4.Запрограммируйте процедуру вычисления информационных матриц и векторов правых частей для записи нормальных систем уравнений

(см. формулы (2.56), (2.57) учебного пособия [1], пп. 2.3.3).

5.Решите системы нормальных уравнений для получения оценки параметров.

6.Запишите систему дифференциальных уравнений модели с полученными оценками коэффициентов.

В отчете приведите описание выполнения перечисленных этапов ра-

боты.

5.4 Лабораторная работа № 2

Задание

Идентификация стационарных систем с математической моделью вида xG(t) = AxG(t) + BuG(t) методом последовательной регрессии.

В рамках лабораторной работы необходимо выполнить задания NА, NВ, NС (N – номер примера; А, В, С – варианты).

Идентифицировать стационарную систему x(t) = AxG(t) + BuG(t) , заме-

нив непрерывную модель дискретным аналогом, используя для производ-

107

по результатам измерений компонент x1(t), x2 (t) вектора переменных со-

стояния и входного сигнала uG(t) = {u1 (t), u2 (t)} в дискретном наборе рав-

ноотстоящих узлов на оси времени, т. е. с постоянным шагом по времени

t = T − t0 c. Результаты измерений зафиксированы в виде таблиц N.1А,

N

N.1В, N.1С. (N – номер примера; А, В, С – варианты).

Требуется найти параметры a11, a12 ,b11, a21, a22 , b22 модели методом последовательной идентификации (заменив непрерывную модель системы её дискретным аналогом.

Выполнение работы по идентификации линейных динамических систем методом последовательной регрессии в результате перехода к дискретной модели

1.Запишите в соответствии с вариантом задания уравнения линейной динамической системы (см. п. 2.3 учебного пособия [1]).

2.Запишите уравнения дискретной модели системы (см. п. 2.3.2 учебного пособия [1], формулы (2.49)–(2.52)).

3.Задайте начальную оценку параметров θGi0 и матрицы Pi0 (реко-

мендуются оценки θGi0 = 0, Pi0 = 1ε E,ε = 10−3 ÷10−8 ), а также весовые коэф-

фициенты ω(r) (рекомендуется ω(r) = 1).

4.Напишите в любом доступном пакете программу, реализующую итерационную процедуру уточнения параметров по результатам измерений векторов входного сигнала и переменных состояния, которые даны в таблицах, для каждого из двух уравнений модели (см. формулы (2.84) учебного пособия [1], пп. 2.3.4).

5.Запишите систему дифференциальных уравнений модели с полученными оценками коэффициентов.

Вотчетеприведитеописаниевыполненияперечисленныхэтаповработы.

108

Вариант 1А

Таблица 1.1А – Таблица результатов измерений входного сигнала и переменных состояния

1) Метод максимального правдоподобия:

a11 = −0.3944E+02, a12 = 0.1053E+02, b11 = 0.1088E+01,

(1.2А)

a21 = −0.1397E+03, a22 = 0.3731E+02, b22 = 0.4208E+01.

2) Метод последовательной регрессии (ε = 0.1E − 05 ).

a11 = −0.3942E+02, a12 = 0.1052E+02, b11 = 0.1088E+01,

(1.3А)

a21 = −0.1396E+03, a22 = 0.3727E+02, b22 = 0.4206E+01, (r = 30).

109

1) Метод максимального правдоподобия:

a11 = −0.5915E − 01, a12 = 0.1077E+01, b11 = 0.5039E − 01,

(2.2А)

a21 = −0.1214E+01, a22 = 0.1556E+01, b22 = 0.1033E+01.

2) Метод последовательной регрессии (ε = 0.1E − 04 ).

a11 = −0.5915E − 01, a12 = 0.1077E+01, b11 = 0.5037E − 01,

(2.3А)

a21 = −0.1214E+01, a22 = 0.1556E+01, b22 = 0.1033E+01, (r = 30).

110