Дискретная математика.-7

Для выделенного контура S2 запишем функцию F2 в форме СДНФ:

F2 = x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 x1x2x3x4 = x1x2x3 x1x2x4x1x2x3 x1x2x4 = x1x2 x1x2 = x1x2.

Выделим импликанту функции F2:

F2 = x1x2.

Продолжая процедуру выделения контуров до тех пор, пока это возможно, получим в итоге шесть контуров, отвечающих сформулированным выше требованиям:

Минимальная функция F будет иметь вид:

F = F1 F2 F3 F4 F5 F6 = x3x4 x1x2 x2x4 x1x4 x1x3 x2x3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.Какая функция называется переключательной?

2.Какая функция называется булевой?

3.Способы задания булевых функций.

4.Методы минимизации булевых функций.

5.Основные законы булевой алгебры.

Глава 5

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика, или комбинаторный анализ, — это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конфигурации из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций, в частности вопросы их существования, алгоритмы построения, решение задач на перечисление. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания; блок-схемы и латинские квадраты.

Возникновение основных понятий и развитие комбинаторики шло параллельно с развитием других разделов математики (алгебры, теории чисел, теории вероятностей), с которыми комбинаторный анализ тесно связан. Математикам Древнего Востока были известны: формула, выражающая число сочетаний через биноминальные коэффициенты, и формула бинома Ньютона с натуральным показателем n. Рождение комбинаторного анализа как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферми по теории азартных игр. Эти труды, составившие основу теории вероятностей, одновременно содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества.

Большой вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем, Я. Бернулли, Л. Эйлером. С 50-х годов прошлого столетия интерес к комбинаторике возродился благодаря бурному развитию кибернетики, дискретной математики, теории планирования, информатики. В теории вероятностей формулы комбинаторики широко используются для подсчета числа исходов опыта.

5.1 Основные формулы комбинаторики

Основной принцип комбинаторики.

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое действие можно выполнить P1 способами, второе — P2 способами и т. д., тогда все k действий можно выполнить следующим числом способов

P = P1 P2 . . . Pk.

Все базовые формулы комбинаторики выводятся как следствия из этого основного правила.

Сочетания.

Пусть W — множество из n элементов. Произвольное (неупорядоченное) k-эле- ментное подмножество множества из n элементов называется сочетанием из n элементов по k. Например, сочетаниями из трёх элементов по два являются следующие неупорядоченные подмножества множества {a, b, c}: {a, b}, {a, c}, {b, c}.

Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n (n — число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют различные числа. Всякое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы множества в некоторый список (a, b, c, . . .), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке. Очевидно, что каждое множество, содержащее более одного элемента, можно упорядочить не единственным способом. Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Перестановки.

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Например, перестановками множества A = {a, b, c} являются упорядоченные множества

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Найдем число различных способов, которыми может быть упорядочено данное множество, т. е. число перестановок множества A. Пусть множество A имеет n элементов. Обозначим число его перестановок через Pn. Число перестановок из n элементов равно

Pn = n!.

Доказательство 1. Выберем некоторый элемент a из множества A. Рассмотрим все перестановки, в которых a имеет номер 1. Число таких перестановок будет равно числу перестановок из n−1 элементов множества A, которые остаются после исключения из множества элемента a. Поэтому число перестановок, для которых a имеет номер 1, равно Pn−1. Обозначим через M множество всех перестановок множества A, а через Ma — множество перестановок, в которых a имеет номер 1. Тогда

M = Ma Mb . . . Mf ,

где a, b, . . ., f — все элементы множества A. Поскольку никакие 2 множества из множеств Ma, Mb, . . ., Mf не имеют общих элементов (напомним, что элементы этих множеств — перестановки, в различных множествах на первом месте стоят различные элементы, следовательно, и соответствующие перестановки будут различными), то N(M) = N(Ma) + N(Mb) + . . . + N(Mf ). Следовательно,

Pn = n Pn−1 = n!.

Доказательство 2. Будем последовательно выбирать элементы множества A и размещать их в определенном порядке на n местах. На первое место можно поставить любой из n элементов. После того как заполнено первое место, на второе место можно поставить любой из оставшихся n − 1 элементов и т. д. По правилу умножения все n мест можно заполнить n(n − 1)(n − 2). . .2 1 = n! способами. Следовательно, множество A из n элементов можно упорядочить n! способами:

P(n) = 1 2 . . . (n − 1)n = n!

Размещения.

Упорядоченное k-элементное подмножество множества из n элементов называется размещением из n элементов по k. Например, размещениями из трёх элементов по два являются следующие упорядоченные подмножества множества (a, b, c): (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b). Число размещений из n элементов по k равно

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Amn = PmCmn.

Замечание. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

n!

Pn(n1, n2, . . .) = (n1!n2!. . .),

где n1 + n2 + . . . = n.

5.2 Комбинаторика и теоретико-вероятностные задачи

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий T. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре ниже 0°, то событие «вода в сосуде находится в твёрдом состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий T.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий T. Например, событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий T предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий T может либо произойти, либо не произойти.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (это — сила, с которой брошена монета, форма монеты и другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать. Иначе обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий T. Установлено, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы.

Суммой A + B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A, или события B, или обоих этих событий.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно m + n способами.

Например, если из орудия произведены два выстрела и A — попадание при первом выстреле, B — попадание при втором выстреле, то A + B — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Если два события A и B — несовместные, то A + B — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие A +B +C состоит в появлении одного из следующих событий: A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Пусть события A и B — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство. Пусть n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2 — число исходов, благоприятствующих событию B.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m1+ m2. Следовательно,

Так как m1/n = P(A) и m2/n = P(B), то получим P(A + B) = P(A) + P(B). Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовмест-

ных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + A2 + . . . + An) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An).

Доказательство. Рассмотрим три события: A, B и C. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, A, B и C, равносильно наступлению одного из двух событий, A + B и C, поэтому в силу указанной теоремы

P(A + B + C) = P[(A + B) + C] = P(A + B) + P(C) = P(A) + P(B) + P(C).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Полная группа событий.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Сумма вероятностей событий A1, A2, . . ., An, образующих полную

группу, равна единице: P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Сравнивая (5.1) и (5.2), получим

P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) = 1.

Правило произведения.

Если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Произведение событий. Произведением двух событий A и B называют событие AB, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A — деталь годная, B — деталь окрашенная, то AB — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если A, B, C — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условная вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие A. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью PA(B) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Исходя из классического определения вероятности, формулу PA(B) = P(AB)/P(A) (P(A) > 0) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна

PA(B) = P(AB)/P(A) (P(A) > 0).

Рассмотрим два события: A и B. Пусть вероятности P(A) и PA(B) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие A и событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство. По определению условной вероятности,

PA(B) = P(AB)/P(A).

Отсюда

P(AB) = P(A)PA(B).

Замечание. Применив формулу (5.3) к событию BA, получим

P(BA) = P(B)PB(A),

или, поскольку событие BA не отличается от события AB,

Сравнивая формулы (5.3) и (5.4), заключаем о справедливости равенства

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A1A2A3. . .An) = P(A1)PA1 (A2)PA1A2 (A3). . .PA1A2. . .An−1 (An),

где PA1A2. . .An−1 (An) является вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события A1, A2, . . ., An−1 наступили. В частности, для трех событий

P(ABC) = P(A)PA(B)PAB(C).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пусть вероятность события B не зависит от появления события A.

Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:

Подставив (5.6) в соотношение (5.5) предыдущего параграфа, получим

P(A)P(B) = P(B)PB(A).

Отсюда

PB(A) = P(A),

т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B.

Итак, если событие B не зависит от события A, то событие A не зависит от события B; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения P(AB) = P(A)PA(B) имеет вид

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (5.7) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна

произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют

зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Замечание 1. Если события A и B независимы, то независимы также события

A и B, A и B, A и B. Действительно, A = AB + AB. Следовательно,

P(A) = P(AB) + P(AB) или P(A) = P(AB) + P(A)P(B).

Отсюда

P(AB) = P(A)[1 − P(B)] или P(AB) = P(A)P(B),

т. е. события A и B независимы.

Независимость событий A и B, A и B является следствием доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события A, B, C попарно независимы, если независимы события A и B, A и C, B и C.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие

ивсе возможные произведения остальных. Например, если события A1, A2, A3, независимы в совокупности, то независимы события A1 и A2, A1 и A3, A2 и A3; A1

иA2A3, A2 и A1A3, A3 и A1A2. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.