Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 409 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1. Введение в математический анализ

(x) =

(x2 + 1)

;

f4(x) =

|x − 3|

;

(x − 3)

(x − 3)(x + 2)

(x) = sin(x

−

3);

f6(x) =

5x + 4,

если − 4 ≤ x ≤ 3;

4x + 7, если 3 < x ≤ 10.

Укажите номера тех из них, которые являются непрерывными в точке x0 = 3.

1.6.4 Даны следующие функции:

(x) = sin

;

(x) =

(x − 4)(x + 1)

;

x − 4

(x − 4)(x + 2)

(x) =

|x − 4|

; f4

(x) =

sin x

;

|x − 4|(x + 2)

x − 4

(x) =

2x + 4,

если − 2 ≤ x ≤ 4,

3x + 1,

если 4 ≤ x ≤ 10;

(x) = (x −

4)(x + 2),

если x 6=4;

4)(x + 8)

−

если x = 4.

Укажите номера функций, для которых точка x0 = 4 является: а) устранимой; б) первого рода; в) второго рода.

1.7Замечательные пределы

1.7.1Первый замечательный предел

Докажем, что lim sin x = 1. Это соотношение называют первым замечательным

x→0 x

пределом. Предварительно докажем неравенство

sin x < x < tg x,

(1.10)

при 0 < x < π.

С этой целью в круге радиусом R рассмотрим треугольники OAB, OAC и сектор OBA (рис. 1.5). Пусть S1

— площадь треугольника OAB, S2 — сектора OAB и S3 — треугольника OAC. Очевидно, S1 < S2 < S3. Если x

— радианная мера угла AOB, то

R2 sin x <

R2x <

R2 tg x. (1.11)

Рис. 1.5

Отсюда

и следует неравенство

(1.10). Разделив

все

части неравенства (1.11)

на sin x > 0 и

сократив на

R2,

получим 1 <

, или

sin x

cos x

cos x <

sin x

< 1

(1.12)

1.7 Замечательные пределы

x 0;

. По теореме 3 из подраздела 1.5.5 и из (1.12) следует, что

sin x

sin(

sin x

−

lim

= 1. Так как

, то и

lim

= 1.

−x

x→0+0 x

x→0−0 x

Мы доказали, что lim

sin x

= 1.

tg x

x→0

sin x

Пример 1. lim

lim

→

= x

→

0 x cos x = x

→

0 x

· x

→

0 cos x

sin αx

αx

Пример 2. lim

lim

α.

αx

→

= x

→

2 sin2 x/2

Пример 3. lim

1 − cos x

= lim

x→0 x2

x→0 4(x/2)2

1.7.1 Найдите самостоятельно следующие пределы:

а) lim

sin 5x

;

б) lim

sin 3(x − 2)

;

x→0

x→2

x − 2

в) lim(64

−

x2)

sin(x − 5)

;

г)

lim

arcsin(x2 − 4)

;

→

x2 + 3x

−

→−

x2 + 3x + 2

arctg 2x

д) lim

→

√

x + 16 − 4

1.7.2 Второй замечательный предел и его следствия

, имеет конечный

Докажем, что последовательность

{xn}, где xn = 1 +

предел. При этом воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a + b)n = an + nan−1b +

n(n − 1)

an−2b2+

(1.13)

n(n − 1)(n − 2)

n(n − 1). . .[n − (n − 1)]

an−3b3 +

···

bn.

По формуле (1.13), полагая a = 1, b =

, находим

n(n − 1)

n(n − 1)(n − 2)

= 1 +

= 1 + n

(1.14)

···

n(n − 1). . .[n − (n − 1)]

Запишем это выражение в виде:

xn =

2 +

1 −

(1.15)

n − 1

···

− n

−

···

1. Введение в математический анализ

Аналогично можно получить:

+ 3!

1 − n + 1

xn+1

= 2 + 2!

1 − n + 1

+ ··· + (n + 1)! 1 − n + 1

(1.16)

1 − n + 1 ··· 1 − n + 1 .

Сравнивая (1.14) и (1.16), видим, что xn < xn+1, т.е. последовательность {xn}

монотонно возрастает.
1			1			при k > 2, то
Так как		<
Так как	k!	<	2k−1								1		1			1
				1		1		1			1	−	1		·	1			1

xn < 2 +									= 2		2		2n−1			2	= 3			,
xn < 2 +			2		+	22	+ · +	2n−1	= 2	+		1 −		1			= 3	−	2n−1	,
												1 −		2

т.е. xn < 3. Таким образом, последовательность {xn} монотонно возрастает и ограничена сверху. По теореме 2 из подраздела 1.5.2, она имеет предел. Этот предел обозначим e. Число e трансцендентно, причём 2 < e < 3 (e ≈ 2,7182818285).

Используя определение предела на языке последовательностей, нетрудно дока-

x→+∞ 1 + x

x→−∞

1 + x

= −

зать, что lim

e. Если в пределе

lim

сделать замену y x,

x→−∞ 1 + x

то легко получить, что

lim

e. Следовательно,

x→∞ 1 + x

= x→0( + )

= .

lim

lim 1 x

(1.17)

Предел (1.17) называют вторым замечательным пределом.

Пример 1.

3(2x − 1)

x − 2

x + 1

−

lim

= lim

1 +

= e6.

x − 2

x→∞

x − 2

Подчеркнём, что во втором замечательном пределе раскрывается неопределённость вида 1∞.

Число e часто принимается в качестве основания логарифмов. Логарифм числа x по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают ln x, т.е. ln x =

=loge x.

1.7.2Следующие пределы найдите самостоятельно. В ответ запишите значение

ln A.

= n→∞

3n + 4

1 + n

а) A

lim

;

б) A

lim

3n + 5

;

3(x−4)

x + 4

= x→−4 +

= x→∞

x+4

+ x 4

;

в) A

lim

−

; г) A

lim

−

4x2 − 4x + 4

д) A = lim

x − 1

x+3

;

е) A = lim

2x + 2

4x2 − 2x − 5

x→−3

x→∞

1.7 Замечательные пределы	39

Опираясь на непрерывность элементарных функций и второй замечательный

предел, докажем, что

loga(1 + x)

ln(1 + x)

lim

= loga e,

1, а. lim

= 1;

x→0

lim

ax − 1

= ln a,

2, а. lim

ex − 1

= 1;

x→0

lim

(1 + x)µ − 1

= µ .

x→0

Доказательство.

loga(1 + x)

1. lim

= lim loga(1

+ x) x

= loga lim(1 + x) x

= loga e. Перестановка

x→0

предела и логарифма справедлива в силу непрерывности логарифмической функции.

2. Положим ax − 1 = y, x = loga(1 + y). Так как при x → 0 и y → 0, то

lim	ax − 1	= lim	y	= lim	1		=		1	= ln a.
						loga(1 + y)		loga e
x→0 x y→0 loga(1 + y)				y→0

3. Положим y = (1 + x)µ − 1. Заметим, что если x → 0, то y → 0. Очевидно соотношение µ ln(1 + x) = ln(1 + y). Поэтому

(1 + x)µ − 1

µ ln(1 + x)

x ln(1 + y) ·

Переходя к пределу в этом равенстве при x

→

0, получаем, что lim

(1 + x)µ − 1

= µ .

ln x − ln 2

→

Пример 2. Найти lim

Решение.

x→2

x − 2

ln x − ln 2

ln h1 +

− 1i

lim

= lim

x→2 x − 2

x→2 x − 2 x→2

x − 2

1 +

x − 2

= lim

x − 2

x→2

Обозначим y = x − 2. Тогда

lim

ln x − ln 2

= lim

ln 1 +

= lim

ln y

x→2 x − 2

y→0

· 2

Пример 3. lim

e4x − ex

= lim

ex(e3x − 1)

3x=

etg x − 1

x→0 etg x − 1 x→0

tg x

3x ·

e3x − 1

tg x

etg x − 1

= lim

= 3, так как lim

= 1,

· etg x − 1 ·

x→0

tg x

x→0

tg x

lim

tg x

= 1,

lim

e3x − 1

= 1,

lim ex = 1.

x→0 x

x→0 3x

x→0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 409 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023330.07 Кб12Выпускная квалификационная работа.-7.pdf
#
05.02.2023457.43 Кб5Выпускная квалификационная работа..pdf
#
05.02.20231.41 Mб33Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб13Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб9Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб10Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб10Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб7Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб5Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб5Вычислительная математика.-3.pdf