Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4039 40 > Следующая >>>

Заключение

Мы кратко познакомились с отдельными разделами дифференциального исчисления. Желающим более глубоко изучить этот раздел следует обратиться к литературным источникам, указанным в списке литературы. Наиболее обстоятельно темы “Введение в анализ” и “Дифференциальное исчисление” изложены в первом томе Г. М. Фихтенгольца [19]. Изложение традиционно. Сначала изучаются функции одного переменного, а затем многих аргументов. Все теоретические построения сопровождаются многочисленными примерами с подробным разбором их решения и при этом часто даётся новый подход и к теоретическим вопросам. Особенно глубоко изучается теория неявно заданных функций, исследование функций на минимум и максимум, что является хорошим введением в курс “Теория оптимальных процессов”.

Современное изложение математического анализа содержится в книге В. А. Зорича [8]. В этой работе теория функций одной и многих переменных объединены и излагаются одновременно. Следует отметить высокий научный уровень изложения.

Очень популярно и в то же время на достаточно высоком научном уровне можно найти ещё один способ построения основ математического анализа в книге А. Д. Мышкиса [17].

Имеется многочисленная литература, посвящённая практике решения задач по математическому анализу. Можно использовать пособия [7, 9, 14, 16] и многие другие.

Литература

[1]Бараненков Г. С. Задачи и упражнения по математическому анализу /

Г.С. Бараненков, Б. П. Демидович — М. : Наука, 1970. — 472 с.

[2]Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман

—М. : Наука, 1975. — 416 с.

[3]Сборник задач по математике / В. А. Болгов [и др.] — М. : Наука, 1984. —

464 с.

[4]Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский — М. : Наука, 1984. — 432 с.

[5]Власов В. Г. Конспект лекций по высшей математике / В. Г. Власов — М. : АЙРИС, 1996. — 288 с.

[6]Дифференциальное исчисление / А. А. Ельцов [и др.] — Томск : Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001. — 228 с.

[7]Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г. И. Запорожец. — СПб : Лань, 2010. — 464 с.

[8]Зорич В. А. Математический анализ, т.1 / В. А. Зорич. — М.: Наука, 1981, —

544 c.

[9]Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике / И. А. Каплан

—Харьков : Харьковский государственный университет, 1965. — 575 с.

[10]Куваев М. Р. Методика преподавания математики в вузе / М. Р. Куваев — Томск : Томский государственный университет, 1990. — 390 с.

[11]Магазинников Л. И. Высшая математика I / Л.И. Магазинников — Томск : Томская государственная академия систем управления и радиоэлектроники, 1998.

—192 с.

[12]Магазинников Л. И. Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. / Л. И. Магазинников. — Томск : Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 1998. — 204 c.

[13]Магазинников Л. И. Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей: учебное пособие. — Ч. 1 / Л. И. Магазинников, Ю. П. Шевелёв. — Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. — 260 c.

[14]Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах / И. А. Марон — М. : Наука, 1970. — 400 с.

[15]Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: учебное пособие. / М. И. Каченовский [и др.] — М. : Наука, 1988. — Ч. 2. — 272 c.

[16]Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных / В. Ф. Бутузов [и др.] — М. : Высшая школа, 1988. — 288 с.

[17]Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. — СПб : Лань, 2009. — 688 с.

[18]Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин

—М. : Педагогика, 1989. — 352 с.

[19]Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 2 т / Г.М. Фихтенгольц — СПб : Лань, 2009. — 608 с.

Ответы

1.1.1{1,2,3,4,7,8,9}.

1.1.2{2,4,5}.

1.1.3{1,6,8}.

1.1.4{1,4,7}.

1.2.1−2; 8.

1.2.2−4; 6.

1.2.3−11; 3.

1.2.4−13; 3.

1.2.5X1 и X2.

1.3.13; 4.

1.3.210.

1.3.34.

1.3.4−13; 13.

1.3.52, 5; 1, 3; 4, 6.

1.3.6−1; −90.

1.3.719.

1.3.8−42; −32.

1.3.9а) (−∞,2] [5,+∞); б) [2,13];

в) [−1,9]; г) (−∞,−4] [26,+∞);

д) [−3,+∞); е) [−6,−4].

1.4.1(−2,5); (1,4); (−1; 3).

1.4.21) Uδ(x0) : (x0 − δ; x0 + δ);

2)Uδ+(x0) : (x0; x0 + δ);

3)Uδ−(x0) : (x0 − δ; x0).

1.4.3M0(−2,3,−4).

1.4.4M0(4,−3,5).

1.5а) 4; б) 6; в) −1; г) −19; д) 5; е) 3; ж) 2.

1.6.14.

1.6.23.

1.6.32; 5; 6.

1.6.4Для f1 и f3 — устранимый; для f5 и f6 — первого рода; для f1 и f4 — второго рода.

1.7.1а) 5; б) 3; в) 3; г) 4; д) 16.

1.7.2а) 2; б) 3; в) 6; г) −2; д) −2; е) −1.

1.7.3а) 4; б) −3; в) 14; г) 4; д) 3; е) 6; ж) 5.

1.8.1а) 3; б) 5; в) 7; г) 4; д) 8.

1.8.2а) −2; б) 12; в) 81; г) 80; д) −17.

2.2.1а) −25; б) 109; в) 1; г) −8; д) −1; е) 17.

2.2.2а) −20; б) 32; в) 5; г) −15; д) −13; е) −2; ж) −12; з) −1.

2.3.1а) 39; б) −19; в) −30; г) 24; д) 4; е) 6; ж) −8; з) 30.

2.4.1grad f = (6; 4; 12).

2.4.218.

2.4.3−8.

2.5.1а) 212; б) 48; в) 4; г) 99.

2.5.2а) −6; б) 4; в) −96; г) 12.

2.6 а) 78; б) 6; в) 20; г) 46.

2.7.1а) 2; б) −20; в) −17.

2.7.2а) −4, −2; б) 2, 1.

2.9.1y = 19x − 23.

2.9.2y = −27x + 76.

2.9.3y = −42x + 85.

2.9.463.

2.9.514.

2.10.1а) −6; б) −0,06; в) 0,48; г) 0,54.

2.10.2а) 0,11; б) −0,36; в) −0,03; г) −0,16.


2.11.1 а)	0,12;			б) −0,09; в) 1,44.
2.11.2 а)	7,36;			б) 0,54; в) −0,26.
2.12.1 32√			=
2.12.1 32√		x	=

= 32 + 16(x − 1) − 4(x − 1)2+

+2(x − 1)3 − 5 (x − 1)4 + R5.

2.12.2ln(1 + x) = −ln 2 + 2(x + 0,5)−

−2(x + 0,52) − 8 (x + 0,5)3+

+4(x + 0,5)4 − 32 (x + 0,5)5 + R6.

2.12.37! sin x = 7! − 7! x − π 2 +


	7!		π	4 2	2π		6
+		x +		− 7 x −			+ R7.
+	4!	x +	2	− 7 x −		2	+ R7.

2.13.11; 4.

2.13.20.

2.13.3M0(1,7).

2.14 а) −8; б) 72; в) −6; г) −1.

2.15.1(1,2).

2.15.2(−2,−1).

2.16.11; −3.

2.16.23.

2.16.33.

2.16.4−19; 25.

2.16.5−2; 50.

2.16.6−34; −6.

2.17.1(−1,+∞).

2.17.2(−∞,1).

2.17.3(−2,5).

2.18.1y = 4x − 20.

2.18.2y = 6.

2.18.3y = 2.

Приложение

Некоторые формулы элементарной математики

Алгебра

•	Формулы сокращённого умножения:
						(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2;
					(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3;
						a2 − b2 = (a + b)(a − b);
				−b ± √	a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2).
			=			— корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
•	x	1,2	=		b2 − 4ac	— корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
•		1,2		2a
•	Разложение квадратного трёхчлена на множители:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2),

где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

•Сумма членов арифметической прогрессии с первым членом a

иразностью d

Sn = 2a + (n − 1)d · n.

•Сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем q

ипервым членом a

Sn = a − aqn .

1 − q

•	Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
		Sn =			a
						.
•					1 − q
	Соединения и бином Ньютона:
		n! = 1 · 2 · 3 · 4 ···(n − 1)n;
		n!! = 1 · 2 · 4 · 6 ···(2n − 2) · 2n;
	(2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 ···(2n − 1)(2n + 1).
•	Число перестановок из m элементов
•		Pm = m! = 1 · 2 · 3 ···m.
	Число сочетаний из n элементов по m элементов
	Cnm = Cnn−m =	n!	=	n(n − 1)(n − 2)···(n − m + 1)			.
		m!(n − m)!
						1 · 2 · 3 ···m

• (x + a)n = xn +Cn1xn−1a +Cn2xn−2a2 +Cn3xn−3a3 + ··· +Cnmxn−mam + ··· + an.

184								Приложение

• Логарифмы:
		loga 1 = 0;		loga a = 1;
loga xy = loga x + loga y;				loga	x
						= loga x − loga y;
					y	= loga x − loga y;
loga xλ = λloga x;				1
				loga x =				· logb x;
				loga x =			logb a	· logb x;
loga b =	1		.


	logb a

Тригонометрия

sin2 α + cos2 α = 1;

sec α

;

cos α

sin α

tg α =

;

cosec

α =

;

cos α

sin α

ctg α =

cos α

;

1 + tg2 α =

= sec2 α;

cos2 α

sin α

ctg α =

;

1 + ctg2 α =

= cosec α.

sin2 α

tg α

sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β;

cos(α ± β) = cos α · cos β sin α · sin β;

tg(α β) =

tg α ± tg β

tg α

tg β

sin α + cos β = 2 sin

α + β

cos

α − β

;

−

sin α

sin β = 2 cos

α + β

sin

−

;

cos α + cos β = 2 cos

α + β

cos

α − β

;

−

cos α

cos β =

2 sin

+ β

sin

− β

;

tg α

tg β =

sin(α ± β)

cos α

cos β

sin α · cos β =

[sin(α +

β) + sin(α − β)] ;

sin α · sin β =

[cos(α −

β) − cos(α + β)] ;

cos α · cos β =

[cos(α − β) + cos(α + β)] .

Некоторые формулы элементарной математики

185

sin2 α =

1 − cos 2α

;

cos2 α =

1 + cos 2α

sin 2α = 2 sin α · cos α;

cos 2α = cos2 α − sin2 α;

tg 2α

2 tg α

1 − tg2 α

sin

= ±r

cos

= ±r

−

;

cos α

±r

1 + cos α

1 − cos α

•

Формулы приведения

Аргумент

sin

cos

ctg

− α

cos α

sin α

ctg α

tg α

+ α

cos α

−sin α

−ctg α

−tg α

π − α

sin α

−cos α

−tg α

−ctg α

π + α

−sin α

−cos α

tg α

ctg α

3π

−cos α

−sin α

ctg α

tg α

− α

3π

−cos α

sin α

−ctg α

−tg α

+ α

2π − α

−sin α

cos α

−tg α

−ctg α

•

Таблица некоторых значений тригонометрических функций

sin α

cos α

tg α

ctg α

∞

√

∞

−1

∞

186							Приложение

•	Теорема синусов
		a		b		c
			=		=		.
		sin α	=	sin β	=	sin γ	.
•	Теорема косинусов

a2 = b2 + c2 − 2bc sin α.

• Площадь треугольника

S= 1 bc sin α. 2

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4039 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023330.07 Кб12Выпускная квалификационная работа.-7.pdf
#
05.02.2023457.43 Кб5Выпускная квалификационная работа..pdf
#
05.02.20231.41 Mб33Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб13Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб9Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб10Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб9Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб7Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб5Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб5Вычислительная математика.-3.pdf