4.3 Контрольная работа № 4

169

170

4. Контрольные работы

y2 = x, x = 2.

p

13 Дана функция

z = (x − y2) 3

(x − 1)2

. Найдите

её (281) наибольшее и

(081)

наименьшее значения на замкнутом

множестве,

ограниченном кривыми

12

14 Проведите полное исследование функции y =

и начертите её график.

x2 − 4

Вариант 4.2

а) y =

√x2 + 1 + √x3

+ 1,

(П42) y′(0);

1

3

π

(9А2) y′

π

;

tg3 x

+ tg x + x2 −

б) y =

x,

3

2

4

r

r

′

x + 2

2

в) y =

arctg

3 − x

3

,

(872) y

(0).

x

x

26

Дана функция y = 4 h

p

4 − x2 + 2 arcsin

i. Найдите y′′. (862). Вычислите

2

2

y′′

.

5

Найдите f ′(x) и f ′′(x). Вычислите

3

Дана функция f (x) = x/(2x − 1) .

(x − 4)/x

x − 9

4.3 Контрольная работа № 4

171

4

12

Дана функция y = 4 −x −

. Найдите её (3С2) наибольшее и (8С2) наимень-

x2

шее значения на отрезке [1, 4].

xy

x2y

xy2

13

Дана функция z =

−

−

. Найдите её (АТ2) наибольшее и (68Б) наи-

2

6

8

3

(923) y′(0).

в) y = arcsin

20x +

+ tg 8x,

5

1

x

2

Дана функция y =

arctg

. Найдите y′′. (7Р3). Вычислите y′′(−1).

2

2

(

) =

ln tg x

′(

)

′′(

)

" ln ctg x #.

3

Дана функция

f

x

sin2 2x

Найдите

f

x

и

f

x

.

Вычислите

4

Докажите, что функция z =

x

удовлетворяет уравнению x

∂2z ∂z

= 0.

−

y

∂x∂y

∂y

ln(x + ln y)

f ′(x, y).

5

Дана функция f (x, y) =

(2x − 1)y

. Найдите

Вычислите

(942) f ′(1,1). В ответ введите сумму элементов матрицы f ′(1, 1).

6

Дана функция u = 2 arctg(xy + z2). Найдите:

а) (733.РП) координаты вектора grad u в точке A(−1, 3, 2);

б) (П83)

∂u

в точке A

в направлении вектора a{2,−6, −3}.

∂a

x = sin2 t,

π

7

Найдите yxx′′ , если y = ln cost. (Д43) Вычислите yxx′′

, если t =

.

3

8

Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением

∂z

Вычислите: а) (303)

∂z

(1,−1, −2); б) (П83)

(1, −1, 0).

∂x

∂y

x = −1, y = −1, x + y = 1.

4

и начертите её гра-

14 Проведите полное исследование функции y = x +

x + 2

фик.

Вариант 4.4

1 Найдите производные от данных функций:

а) y =

(1 − √

)2

x

,

(184) y′(0,01);

x

б) y = 2xe−x + x,

(Т04) y′(0);

в) y =

arcsin x

,

(СТ4) y′(0).

√1 − x2

2 Дана функция y = e(x ln2 x

−

2x ln x +2x). Найдите y′′

. (С54). Вычислите y′′

(e).

xx

xx

3 Дана функция f (x) =

(x2

+ 1)/(x − 1)

xe−x

. Найдите f ′(x) и f ′′(x). Вычислите

(ПС4.РП) f ′(0) и (904.РП) ′′(0)

x arcsin x

.

f

∂2z

∂2z

y2

− x2

= 0.

∂y2

∂x2

x + y

arctg

5 Дана функция f (x, y) =

x

y

. Найдите f ′(x, y). Вычислите

sin π−x

(654) f ′(1,0). В ответ

πcos πy

′(1, 0)

введите сумму элементов матрицы

f

.

а) (994.РП) координаты вектора grad u в точке M

1

, 1, 3

;

5

∂u

б) (2А4)

в точке M в направлении вектора a{1,−2, 2}.

∂a

x = ln sint,

π

7

Найдите yxx′′ , если y = cos2 t.

(2СА). Вычислите yxx′′

, если t =

.

6

8

Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением x2 + 2y2 − 3z2 + xy − z − 3 = 0.

∂z

∂z

Вычислите: а)(654)

(1,−2, 1); б) (26Б)

(1,−2, 1).

∂x

∂y

9

К графику функции f (x) = √

в точке с абсциссой x = 1 проведена касатель-

x