3.6 Следствия второго замечательного предела

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

3.6 Следствия второго замечательного предела						105

		4x + 3	x		8x2 + 3x + 1	x
	x→+∞	4x + 3		x→−∞	8x2 + 3x + 1
	x→+∞	2x + 1		x→−∞	16x2 + 7
в)	lim		; г)	lim		.

Ответы: а) 0; б) 0; в) +∞; г) +∞.

Используя число e, вводят ряд новых функций: ex, называемую экспонентой,

ch x =

ex + e−x

— гиперболический косинус, sh x =

ex − e−x

— гиперболический си-

sh x

ex − e−x

ch x

ex + e−x

нус, th x =

— гиперболический тангенс, cth x =

—

ch x

ex + e−x

sh x ex − e−x

гиперболический котангенс. Функции sh x, ch x, th x, cth x называют гиперболическими. Находят применение и функции, обратные гиперболическим: arsh x, arch x,

arth x, arcth x.

3.5.9 Докажите, что:

а) ch2 x − sh2 x = 1;

б) ch(−x) = ch x;

в) sh(−x) = −sh x;

г) sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y;

д) ch(x

y) = ch x ch y

sh x sh y;

е) sh x + sh y = 2 sh

x + y

x − y

;

ж) sh x

−

sh y = 2 sh

x − y

x + y

; з) ch x + ch y = 2 ch

x + y

x − y

;

и) ch x

−

ch y = 2 sh

x + y

x − y

Как видим, гиперболические функции по свойствам очень напоминают тригонометрические функции. Гиперболические функции применяются во многих задачах, в частности при построении неевклидовых геометрий.

3.6 Следствия второго замечательного предела

Рекомендуется изучить п. 1.7.2, в котором доказано, что:

		loga(1 + x)					ln(1 + x)
1)	lim			= loga e, lim				= 1;
1)	lim	x		= loga e, lim				= 1;
	x→0	x			x→0		x
2)	lim	ax − 1	= ln a, lim		ex − 1	= 1;
	x→0	x		x→0 x
3)	lim	(1 + x)µ − 1		= µ .
	x→0	x

Во всех этих пределах имеется неопределённость типа 0/0. 3.6.1 Докажите, что если lim α(x) = 0, то:

x→x0
		loga[1 + α(x)]
а)	lim						= loga e;
				α(x)
	x→x0
б)	lim		ln[1 + α(x)]			= 1;

	x→x0			α(x)
в)	lim		aα(x) − 1		= ln a;
				α(x)
	x→x0
г)	lim		eα(x) − 1		= 1;
				α(x)
	x→x0
д)	lim			[1 + α(x)]µ − 1				= µ .
	x→x0			α(x)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

106 3. Методические указания

Доказательство. Сделаем замену в (1) α(x) = t. Если x → x0, то t → 0. Полу-

loga[1 + α(x)]

loga(1 + t)

чаем lim

= lim

= loga e по первому следствию из второго

α(x)

x→x0

t→0

замечательного предела. Аналогично доказываются соотношения (2)—(5).

Формулы (1)—(5) сохраняются и при x → ±∞, ∞.

f (x) − 1

3.6.2 Докажите, что если lim f (x) = 1 и существует lim

, то:

x→x0

ϕ(x)

а)

lim

loga f (x)

= log e

lim

f (x) − 1

;

(6)

→

ϕ(x)

· x

→

ϕ(x)

б)

lim

[ f (x)]µ − 1

= µ

lim

f (x) − 1

(7)

→

ϕ(x)

· x

→

ϕ(x)

Доказательство. Так как

lim f

) =

1, то

lim α x

lim

[

) −

] =

x→x0

(

x→x0

(

) = x→x0

(

Можем записать f (x) = 1 + α(x). Теперь

lim

loga f (x)

lim

loga[1 + α(x)]

α(x)

ϕ(x)

x→x0

= x→x0

α(x)

= lim

loga[1 + α(x)]

lim

α(x)

= log

lim

f (x) − 1

α(x)

→

· x

→

ϕ(x)

· x

→

ϕ(x)

Использовали формулу (1) и теорему о пределе произведения. Утверждение (7)

доказывается аналогично.

f (x) − 1

Если окажется, что предел

lim

не существует, то пределы (6) и (7)

также не существуют.

x→x0

ϕ(x)

3.6.3 Докажите, что если lim α(x) = 0 и существует lim

α(x)

, то

ϕ(x)

x→x0

lim

aα(x) − 1

= ln a

lim

α(x)

;

(8)

→

ϕ(x)

· x

→

ϕ(x)

lim

eα(x) − 1

= lim

α(x)

(9)

x→x0

ϕ(x)

x→x0

ϕ(x)

x x0

ϕ(x)

x x0

α(x)

· ϕ(x)

Доказательство.

lim

aα(x)

− 1

= lim

aα(x) − 1

α(x)

→

= lim

aα(x) − 1

lim

α(x)

= ln a

lim

α(x)

ϕ(x)

→

α(x)

· x

→

· x

→

При этом мы использовали формулу (3) и теорему о пределе произведения. Соотношение (8) доказано. Равенство (9) следует из (8) при a = e.

В задачах 3.6.2 и 3.6.3 случаи x → ∞, −∞, +∞ не исключаются. Заметим, что

если lim ϕ(x) = A, A 6=0, то в пределах задач 3.6.2 и 3.6.3 неопределённости нет

x→x0

и соответствующие пределы будут равняться нулю. Если lim ϕ(x) не существует,

x→x0

но функция ψ(x) = ϕ(x) ограничена в окрестности x0, то соответствующие пре-

делы также будут равны нулю по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.

3.6 Следствия второго замечательного предела	107

Как видим, пределы (6), (7), (8) и (9) содержат неопределённость типа 0/0,

только если lim ϕ(x) = 0.

x→x0

При решении примеров с использованием следствий из второго замечательного предела можно либо использовать задачи 3.6.1—3.6.3, либо проделывать преобразования в каждом отдельном случае, подобно тому, как это сделано в задачах 3.6.1—3.6.3 в общем случае.

3.6.4 Найдите следующие пределы:
x→0	tg3 x		x→0	sin2 x		x→0 p
								sin3 x
а) lim	loga(1 + tg3 x)	;	б) lim	3sin2 x − 1	;	в) lim	3	1 + sin3 x	− 1	.

Решение: а) все предложенные пределы являются частным случаем пределов, рассмотренных в задаче 3.6.1. Можно положить α(x) = tg3 x, так как lim tg3 x = 0,

loga(1 + tg3 x)

x→0

поэтому

lim

= loga e;

x→0

tg3 x

б) в этом случае α(x) = sin2 x, так как sin2 x → 0 при x → 0. Поэтому

lim

3sin2 x − 1

= ln 3 (см. 3);

x→0 sin2 x

1 + sin3 x

в) на основании предела (5) получаем

lim

sin3 x

−

x→0 p

(здесь α(x) = sin3 x, и sin3 x → 0 при x → 0).

3.6.5 Найдите следующие пределы:

1 + 5x

ln(x2

+ 4x 4)

а) lim

;

б) lim

; в) lim x

x − 1 −

x→0 x 1 + 4x

x→1

x→∞

Решение: а) положим f (x) =

1 + 5x

, lim f (x) = 1, ϕ(x) = x. На основании фор-

мулы (6) получаем

1 + 4x

x→0

1 + 5x

− 1

1 + 5x

lim

log

lim

1 + 4x

lim

→

0 x 1 + 4x

· x

→

= x

→

0 x(1 + 4x)

б) lim

ln(x2 + 4x − 4)

= lim

x2 + 4x − 4 − 1

x→1 x

x→1

−

= lim

+ 4x − 5

= lim

(x − 1)(x + 5)

= 6,

x→1

x − 1

x→1

x − 1

в этом примере можно положить f x

) =

−

4, так как lim

−

) =

1, и

(

→

применить формулу (6);

1 + tg

tg 5t

в) lim x

lim

1/x

x→∞ ·

= x→∞

= x→∞ 1/x

= t→0 t

, α(x) → 0 при x → ∞, ϕ(x) = 1/x.

где t = 1/x, α(x) = tg

3.6.6 Найдите следующие пределы:

а) lim

3x − 27

;

б) lim

ex2−1 − 1

;

в) lim

esin2 x − 1

x→3 x2 − 9

x→1

√x − 1

x→0 √4 + x2 − 2

108

3. Методические указания

Решение. а) lim

3x − 27

= lim

3x − 33

x→3 x2 − 9

= lim

33(3x−3 − 1)

= 33 ln 3

lim

ln 3 =

ln 3;

→

3 (x

−

3)(x + 3)

· x

→

3 (x

ex2−1 − 1

x2 − 1

(x2 − 1)(√

+ 1)

б) lim

= lim

x→1

√x − 1

x→1

√x − 1 x→1

(√x − 1)(√x + 1)

= lim

(x − 1)(x + 1)(√

+ 1)

= 4.

x→1

x − 1

Здесь α x

1, ϕ x

√

−

(

) =

(

) =

в) lim

esin

x − 1

= lim

sin2 x

→

√

− 2

→

√

− 2

4 + x

(√

+ 2)sin2 x

sin2 x

4 + x2

= x→0

) =

= x→0

4 + x2 − 4

lim

3.6.7 Найдите следующие пределы:

√

а) lim

cos

x − 1

;

б) lim

1 + x −

+ x

x→0

Решение: а) обозначим f (x) = cos x. Так как lim f (x) = lim cos x = 1, то можем

применить формулу (7). Получаем

x→0

2 x

cosµ x − 1

cos x − 1

lim

−2 sin

;

lim

= µ

lim

= µ

−

→

√

1 + x −

1 + x

б) lim

x→0

√

1 + x − 1

1 + x

− 1

= lim

lim

2 −

x→0

− x→0

3 6

(так как lim

(1 + x)

− 1

= µ ).

x→0

3.6.8 Найдите следующие пределы:

а) lim

ex − e2

;

б) lim

ln cos ax

x→2 ln(x2 − 5x +

x→0 ln cos bx

Решение. а) lim

ex − e2

x→2 ln(x2 − 5x + 7)

= lim

e2(ex−2 − 1)

= e2 lim

(x − 2)

−

e2;

x→2 ln[1 + (x2 − 5x + 6)]

x→2 (x − 2)(x − 3)

ln cos ax

cos ax − 1

−2 sin2

б) lim

= lim

x→0 ln cos bx

x→0 cos bx − 1

x→0 −2 sin2

Задачи для самостоятельного решения

3.6.9 — 3.6.13. Найдите следующие пределы.

√

3.6.9 а) lim log3(1 + 4x); б) lim 25x − 1 ;

в) lim

− 1 .

1 + 3x

x→0

Ответы: а) 4 log3 e; б) 5 ln 2;

в) 3/5.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023330.07 Кб12Выпускная квалификационная работа.-7.pdf
#
05.02.2023457.43 Кб5Выпускная квалификационная работа..pdf
#
05.02.20231.41 Mб33Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.pdf
#
05.02.20231.32 Mб11Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.pdf
#
05.02.2023764.74 Кб13Высшая математика IV. Теория вероятностей.pdf
#
05.02.20231.08 Mб9Высшая математика. Дифференциальное исчисление-1.pdf
#
05.02.2023783.68 Кб10Высшая математика. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20232.02 Mб9Вычислительная математика. Часть 2.pdf
#
05.02.20232.42 Mб7Вычислительная математика.-1.pdf
#
05.02.2023915.58 Кб5Вычислительная математика.-2.pdf
#
05.02.2023915.77 Кб5Вычислительная математика.-3.pdf