94

3. Методические указания

( , , ) =

x

+ y

+ z

и ϕ(x) = x

p

lim a =

б) пусть дан вектор

an = {xn, yn

, zn}, тогда

|an| =

xn2 + yn2 + zn2

. Учитывая, что

lim x2

lim y2 p

2 непрерывны, получаем, что

n→∞ | n|

lim z2.

функции f x y z

2

2

2

= q

n→∞ n + n→∞ n + n→∞ n

n→∞

n + 1

2n + 1

n

−

6

Поэтому

lim

=

2n i + 1 − 4n j + n + 5 k

2n

1

4n

n + 5

s n ∞ n + 1

2

n ∞ 2n + 1

2

n ∞ n 6

2

→

→

−

→

−

=

lim

+

lim

+

lim

=

s

n ∞ 1 + 1/n

2

n ∞ 2 + 1/n

2

n ∞

1 6/n

2

→

2

→

→

−

5/n

=

lim

+

lim

1/n − 4

+

lim

=

= √

= 3.

22 + (−2)2 + 12

=

4 + 4 + 1

Задачиpдля самостоятельного решения

3.2.6 Исходя из определения предела

последовательности,

докажите, что:

а) lim

n + 2

= 1;

б) lim

1

= 0.

n→∞ n + 3

n→∞ n + 4

3.2.7 а)

lim

3n3 + 5n2 + n + 1

;

б)

lim

(n + 4)(n + 5)

;

n→∞

n3

−

2n + 2

n→∞ (n + 1)(n + 2)(n + 3)

n3 − 2n2 +

3

в)

lim

n4 + 2n2 + 4

;

г)

lim

1

.

2n3 + 6

n→∞ n3 + 5n + 3

n→∞

Ответы: а) 3; б) 0; в) ∞; г) 1/8.

4

3.2.8

а)

lim

√16n4 + 2n3 + 3

;

б)

lim

√2n + 5

− 2 ;

4

n→∞

n + 5

n→∞

√18n + 1

−

3

3

3

в) lim

√n5 + 2 −

√n2 + 1

; г) lim

√n5 − 2n2 + 1 +

√n4 + 1

.

√

√

√

n

∞

4

3

n

∞

10

5

√

7 3

→

3

n

+ 2 − n + 1

→

4

n

+

6n + 2 −

5

n + 3n

+ 1

Ответы: а) 2; б) 1/3; в) 0; г) 1.

√

√

3.2.9 а)

lim

√

√

;

б) lim

;

3n

5

n2

3n

1

n2

1

+

n

+

+

+

)

n

→

∞(

) − )

n

→

∞(

−

в)

lim

3

4n2

1

3

6n2

2

;

√n3

+

+

−

√n3

+

+

)

n

→

∞(

p

p

г)

lim

3

(

n

+

2

−

3

(

n

2

)

.

n→∞(

1)

− 1)

Ответы: а) ∞; б) 3/2; в)

−

2/3; г) 0.

что: а) lim xn = xn

;

x→x0

0

б) lim Pn(x) = lim (a0xn + a1xn−1 + . . . + an

1x + an) =

x

→

x0

x

→

x0

−

3.3 Предел функции

95

в) lim

Pn(x)

= lim

a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an

=

x→x0 Qm(x)

x→x0 b0xm + b1xm−1 + ... + bm−1x + bm

=

a0x0n + a1x0n−1 + . . . + an−1x0 + an

,

b0x0m + b1x0m−1 + ... + bm−1x0 + bm

где n и m — натуральные числа, ai и bi — константы,

b0x0m + b1x0m−1 + . . . + bm−1x0 + bm 6=0, x0 — конечно.

Решение: а) можем записать: lim xn

lim

(

x

·

x

· ··· ·

x . Так как

lim x

=

x

, то

x→x0

= x→x0

)

x→x0

0

по теореме о пределе произведения

lim xn

lim x

lim x

lim x

=

xn;

x

→

x0

= x

→

x0

· x

→

x0

· ··· · x

→

x0

0

торых имеет конечный предел, например lim a0xn = lim a0

lim xn = a0x0n. Поэтому

n→∞

x→x0

x→x0

а) lim(x2 + 3x + 4);

б) lim

x2 + 2x − 3

.

x→2

x→3 2x2 + 4x − 5

Решение. На основе доказанного в

задаче 3.3.1, б можем записать:

lim(x2 + 3x + 4) = 22 + 3 · 2 + 4

= 14;

x→2

32 + 2 · 3 − 3

lim

x2 + 2x − 3

=

=

12

.

x→3 2x2 + 4x − 5 2

· 32 + 4 · 3 − 5 25

A = lim

5x2

− 20x + 15

= lim

5(x − 1)(x − 3)

.

x→1 3x2 − 15x + 12

x→1 3(x − 1)(x − 4)

A = lim

5(x − 3)

=

5(1 − 3)

=

10

.

x→1 3(x − 4)

3(1 − 4)

9

3.3.4 Найдите A = lim

x3 + 5x2 + 3x − 9

.

x→−3 x3 − 3x2 − 45x − 81

(x + 3). Выполняя это деление, получаем

A = lim

(x + 3)(x2 + 2x − 3)

= lim

(x2 + 2x − 3)

(x + 3)(x2 − 6x − 27)

(x2 − 6x − 27)

x→−3

x→−3

A = lim

(x + 3)(x − 1)

= lim

(x − 1)

=

−3 − 1

=

4

=

1

.

(x + 3)(x − 9)

(x − 9)

−3 − 9

x→−3

x→−3

12 3

3.3.5 Найдите A = lim

2x + 4

.

x→∞ 3x + 5

Решение. Поделим числитель и знаменатель на x. Получим A = lim

2 + 4/x

.

x→∞ 3 + 5/x

По теореме о пределе частного и суммы и учитывая, что lim

4

= 0,

lim

5

= 0,

находим A = lim

2 + 4/x

=

2

.

x→∞ x

x→∞ x

x→∞ 3 + 5/x

3

3.3.6 Найдите A = lim

7x4 + 2x3 − 14

.

x→∞ 5x4 + x3 + x2 − 1

4

, получим

Решение. Поделив числитель и знаменатель на x

A = lim

7 + 2/x − 14/x4

. Затем применяем теоремы о пределе суммы, про-

+ 1/x + 1/x2 − 1/x4

x→∞ 5

изведения и частного. Учитывая, что

lim

2

= 0; lim

14

= 0; lim

1

= lim

1

= lim

1

= 0, получаем, что A =

7

.

x→∞ x

x→∞ x4

x→∞ x

x→∞ x2

x→∞ x4

5

x4 + 2x2 + 1

3.3.7 Найдите A = lim

.

x3 + 4x + 2

x→∞

Решение. Поделим числитель и знаменатель на x4. Получим

A = lim

1 + 2/x2 + 1/x4

= ∞, поскольку числитель стремится к единице, а зна-

x→∞ 1/x + 4/x3 + 2/2x4

менатель — к нулю.

lim f (x) существует и равен

f (x0), т.е. lim f (x) = f (x0), то функция называется

x→x0

x→x0

непрерывной в точке x0.

lim f (x) = f ( lim x) = f (x0),

x→x0

x→x0

lim f [ϕ(x)] = f [ lim ϕ(x)] = f [ϕ( lim x)] = f [ϕ(x0)],

x→x0

x→x0

x→x0

lim √

√

x4

3x

10

lim

x4

3x

10

10.

+

+

+

+

) =

81

+

9

+

10

=

x→3

= qx→3(

3.3 Предел функции

97

x + √

3.3.8 Найдите

lim

9x2 + 1

.

x

x→−∞

√

√

x→−∞

2

+ 1

= x→−∞

+

2

!

=

x

x

Решение. lim

x +

9x

lim

1

9x

+ 1

= x lim∞

= x lim∞ 1 − s

1 −

9 + x2

=

x2

→−