86 |
2. Дифференциальное исчисление |
|
|
Вопросы к разделу 2
1 Определение дифференцируемой функции. Понятие производной матрицы и дифференциала.
2 Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.
3 Строение производной матрицы в случаях f : X R → Y R, f : X Rn → → Y R, f : X R → Y Rn, f : X Rn → Y Rn. Понятие частных производных.
4 Вывод формул производных основных элементарных функций.
5 Правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции.
6 Запишите формулы дифференцирования функций вида
u = f [x1(t),x2(t), . . ., xn(t)],
u = f [x1(t1,t2,.. .,tk),x2(t1,t2, . . .,tk), . . .,xn(t1,t2, . . .,tk)].
7 Правило дифференцирования обратных функций.
8 Понятие производной по направлению. Вывод формулы для её вычисления. Понятие градиента.
9 Понятие производных высших порядков от функции f : X R → Y R. По-
нятие частных производных высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
10 Поясните параметрический способ задания функции. Правило дифференцирования параметрически заданных функций.
11 Поясните неявный способ задания функции f : X R → Y R и f : X R2 → Y R. Правила их дифференцирования.
12 Геометрический и механический смысл производных. Запишите уравнение касательной к кривой при различных способах её задания.
13 Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
14 Как записывается общий вид дифференциала для функций
f : X R → Y R, f : X Rn → Y R, f : X R → Y Rn, f : X Rn → Y Rm.
15 В чём заключается свойство инвариантности формы записи первого дифференциала?
16 Как определяются дифференциалы d2 f , d3 f , . . . , dn f для функции f : X R → Y R, когда x — независимое переменное.
17 Запишите d2 f для функции f : X R → Y R если x = x(t).
18 Запишите выражение d2 f и d3 f для функции z = f (x, y), x и y — независимые переменные.
19Запишите формулу Тейлора порядка n для функций f (x) и f (x1, x2, . . ., xn) в дифференциальной форме.
20Запишите формулу Тейлора порядка n для функции y = f (x), используя в её записи производные и частные производные для функции z = f (x, y).
21Запишите формулу Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)n.
22 Теорема о поведении функции f (x) в окрестности точки x0, если f ′(x0) > 0
( f ′(x0) < 0).
Вопросы к разделу 2 |
87 |
|
|
23 Теорема Ферма об обращении в нуль производной в точке наибольшего (наименьшего) значения.
24 Теорема Ролля (об обращении производной в нуль). f (b) − f (a)).
b − a
26 Теорема Коши (об отношении f (b) − f (a)). g(b) − g(a)
0 ∞
27 Сформулируйте правило Лопиталя о раскрытии неопределённостей 0 , ∞.
28Как раскрыть неопределённости 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞, ∞0?
29Дайте определение точек экстремума для функций y = f (x) и y = f (x1, x2, . . ., xn).
30 Сформулируйте необходимые условия экстремума для функции y = f (x) и y = f (x1, x2,.. ., xn).
31 Достаточные условия экстремума для функции y = f (x), связанные с поведением f ′(x0) и с производными высших порядков.
32Достаточные условия экстремума для функции z = f (x, y).
33Дайте определение выпуклости вверх и вниз графика функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости вверх и вниз, связанные с f ′′(x).
34Понятие точки перегиба графика функции. Правило отыскания точек пере-
гиба.
35Понятие асимптот графика функции. Правила отыскания вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.
36Опишите общую схему исследования функции и построения графиков.