2.15 Условия постоянства функции. Условия монотонности функции

74 2. Дифференциальное исчисление

Теорема 2. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную на (a,b). Для того чтобы функция f (x) была монотонно возрастающей (убывающей) на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы выполня-

x

Неравенство (2.31) верно и при x < 0. В этом случае числитель и знаменатель отрицательны. Переходя к пределу в неравенстве (2.31), получаем f ′(x) ≥ 0.

Достаточность. Пусть f ′(x) ≥ 0 на (a, b). Возьмём две произвольные точки x1

и x2 из (a, b), x2 > x1. По теореме Лагранжа f (x2) − f (x1) = f ′(c)(x2 − x1). Так как f ′(c) ≥ 0, x2 > x1, то f (x2) − f (x1) ≥ 0, т.е. f (x2) ≥ f (x1). Теорема доказана.

Пример 2. Найти участки монотонности функции f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5. Решение. Функция f (x) дифференцируема на всей числовой оси. Находим

f ′(x) = 6x2 − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1).

Видим, что f ′(x) > 0 при x (−∞, −1) (2, +∞) и f ′(x) < 0 при x (−1, 2). Следовательно, по теореме 2 функция f (x) возрастает на (−∞, −1) (2,+∞) и убывает на (−1, 2).

2.15.1Найдите область, в которой функция f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 3 монотонно

убывает.

2.15.2Найдите область, в которой функция f (x) = 6 −12x −9x2 −2x3 монотонно возрастает.

2.16 Экстремумы

2.16.1Необходимые условия экстремума

Вэтом разделе рассматриваются скалярнозначные функции одной и многих переменных.

Определение 1. Говорят, что точка x0 есть точка минимума (максимума) функции f , если существует окрестность U (x0) точки x0 такая, что для всех x U (x0)

выполняется неравенство f (x0) ≤ f (x) ( f (x0) ≥ f (x)). Если для всех x U (x0) выполнено строгое неравенство f (x0) < f (x) ( f (x0) > f (x)), то точка x0 называется

точкой строгого минимума (максимума).

Определение 2. Точка x0 называется точкой экстремума функции f , если она является точкой максимума или минимума.

Теорема 1. Если точка x0 — точка экстремума функции f и существует f ′(x0),

то f ′(x0) = 0.

Доказательство. Пусть вначале f — скалярная функция одного аргумента. Так как точка x0 — точка наибольшего или наименьшего значения в некоторой окрестности U (x0), то по теореме Ферма f ′(x0) = 0.

Пусть теперь f скалярная функция многих переменных, т.е. f = f (x1, x2, . . ., xn) и x0 = (x01, x02, . . ., x0n). Фиксируя все переменные, кроме xi, из только что доказанного получаем

∂ f

∂xi (x01, x02, . . ., x0n) = 0, i = 1, 2, ..., n,

функции обращение в нуль производной приводит к обращению в нуль дифферен-

циала

d f (x0) = f ′(x0)dx = ån ∂ f (x0)dxi = 0.

i=1 ∂xi

Определение 3. Точка x0, в которой производная обращается в нуль, называется стационарной точкой функции f .

Из теоремы 2 следует, что точки, в которых может достигаться экстремум, являются либо её стационарными точками, либо в них производная не существует. Такие точки будем называть подозрительными на экстремум.

2.16.2 Достаточные условия экстремума

Для скалярной функции одной переменной достаточные условия экстремума формулируются с помощью первой производной или на основе высших производных.

Достаточные условия на основе первой производной. Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и некоторой её окрестности и точка x0 является подозрительной на экстремум для этой функции. Если при переходе через точку x0 производная f ′(x):

1)меняет знак с “+” на “−”, то в точке x0 — максимум;

2)меняет знак с “−” на “+”, то в точке x0 — минимум;

3)не меняет знака, то в точке x0 экстремума нет.

Достаточные условия экстремума на основе второй и высших производных. Пусть x0 — стационарная точка и существует вторая производная f ′′(x0). Тогда,

используя формулу Тейлора, можем записать:

где величина R3(x0, x) имеет порядок малости относительно x выше второго. Поэтому знак f определяется первым слагаемым. Видим, что при f ′′(x0) > 0,

f (x) > f (x0) и в точке x0 — минимум, при f ′′(x0) < 0, f (x) < f (x0) и в точке x0 — максимум.

Пусть f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) 6=0. Тогда

где величина Rn+1(x0, x) относительно x имеет порядок малости выше n, т.е. знак f определяется первым слагаемым. При n чётном и f (n)(x0) > 0 в точке x0 — минимум, при n чётном и f (n)(x0) < 0 в точке x0 — максимум. Если же n нечётно, то в точке x0 экстремума нет.

2.16.1Найдите точки x1 и x2, в которых функция f (x) = x3 + 3x2 − 9x + 3 принимает максимум или минимум.

2.16.2Найдите, в какой точке x0 функция f (x) = x3e−x достигает максимума.

2.16.3Укажите число точек экстремума, которые имеет функция

f (x) = 1 x4 − 5 x3 + 3x2.

4 3