Введение в оптическую физику.-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если учесть, что Ex ~ x ,

E y ~ y , то (3.57) представляет уравнение эллипса. То

есть, поскольку Ex ~ cos ωt ,

конец вектора E = iEx + jEy ,

есть, поскольку Ex ~ cos ωt ,

конец вектора E = iEx + jEy ,

+ Ey2 будет

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

7.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

			31
2		¶2 E	= 0 .	(3.20)
Ñ	E - me	¶t 2	= 0 .	(3.20)
		¶t 2
Аналогично можно найти уравнение и для H :
2		¶2 H	= 0 .	(3.21)
Ñ	H - me	¶t2	= 0 .	(3.21)
		¶t2

Данные уравнения называются волновыми, как и уравнение (3.19), которое является более общим, чем уравнения (3.20) и (3.21), и справедливым также для анизотропной среды, где условие div E = 0 выполняется не всегда.

3.5. Одномерное волновое уравнение

Рассмотрим среду, в которой поле зависит только от координаты z. Из (3.20)

получаем одномерное волновое уравнение:

¶2 E - em	¶2 E = 0 .	(3.22)
¶z2	¶t 2

Отметим, что в данном случае из (3.17) получается уравнение,

	∂Ez = 0 ,
	¶z
откуда следует Ez		= const .	Такие решения нас не интересуют,				и можно положить
Ez	= 0 . То есть вектор E		колеблется в плоскости,			перпендикулярной направлению
распространения, и может быть представлен в виде:
	E = e × Et ,						(3.23)
	e -единичный	вектор в плоскости xy, Et =			.		уравнение (3.22) с
где	e -единичный	вектор в плоскости xy, Et =		E	.	Перепишем	уравнение (3.22) с

учетом (3.23) в виде скалярного одномерного волнового уравнения:

¶2 E	¶2 E	= 0 .	(3.24)
t - em	t	= 0 .	(3.24)
¶z2	¶t2

3.6. Плоские скалярные волны

Общее решение уравнения (3.24) представляет плоскую скалярную волну вида

	(z, t ) = Et1		z			z
Et		t -		+ Et 2	t +		,	(3.25)

			v			v

где v = 1 me - скорость распространения волны вдоль оси z. Как представить себе такую волну? Предположим, что при z = 0 мы имеем источник поля, напряженность которого изменяется по закону E1 (t ), в общем случае произвольному. Тогда в области z

> 0 имеем

		z
Et	(r, t ) = Et t -		,	(3.26)

		v

поскольку граничное условие (3.15) требует непрерывности тангенциальных компонент

вектора E .

Это

формальная

сторона.

А физическая? Мы имеем при z > 0

распространение

сигнала вдоль

оси z.

Скорость распространения определяется

соотношением

v =

(3.27)

μ0ε0

μr εr

Здесь c = 1

μ0ε0

- скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды.

3.7. Гармонические волны

Рассмотрим сигнал, заданный при z = 0 в виде:

E (t ) = Em cos (wt + y) =	Em	{exp i (wt + y)	+ exp -i (wt + y) } .
E (t ) = Em cos (wt + y) =		{exp i (wt + y)	+ exp -i (wt + y) } .
2
2

Ему будут соответствовать гармонические плоские волны

	w		при z ³ 0,
E(z, t) = Em cos wt -	v	z + y ,	при z ³ 0,
	v
	w
E(z, t) = Em cos wt +	v	z + y , при z ≤ 0,
	v

распространяющиеся вдоль направлений + z и −z .

(3.28)

(3.29)

Мгновенное значение E(z,t ) электрического поля в каждый момент времени и в

каждой точке пространства определяется амплитудой Em плоской волны и фазой

j( z, t ) = wt kz + y .

(3.30)

Если Em не зависит от координат x, y, то волна будет однородной. Здесь через k = w
			v
мы обозначаем волновое число,
k = ω = w		.
	me		(3.31)
v

Геометрическое место точек, в которых фаза волны остается постоянной

¶2 Et ¶t 2

Рис. 3.1. Поле гармонической волны

ϕ = ωt kz + ψ = const ,

(3.32)

называют фазовым или волновым

фронтом. Для некоторого момента времени t'

фазовый фронт рассматриваемой нами волны является плоскостью, перпендикулярной оси z. При изменении времени на Dt фазовый фронт волны сдвигается в пространстве на

расстояние Dz. Отношение	z = ω = v
	Dt k

определяет фазовую скорость волны -

скорость движения фазового фронта в пространстве, в данном случае вдоль оси z. Как изменяется поле плоской гармонической волны в фиксированный момент времени в пространстве? Очевидно, по косинусоидальному закону (рис. 3.1). Периодичность изменения поля в пространстве задается волновым числом k. Изменение фазы волны в пространстве на 2p соответствует прохождению волной расстояния l: Δϕ = 2π = kλ .

Отсюда получаем соотношения:

k =

2π

(3.33)

l =

2π

2πv

(3.34)

f me

где f - частота волны (в Гц).

3.8. Плоская волна, распространяющаяся в произвольном

направлении

Мы рассматривали выше волну, распространяющуюся вдоль оси z. Для волны в произвольном направлении необходимо использование более общего волнового уравнения

Ñ2 E - me				¶2 E				= 0,
Ñ2 E - me							t	= 0,
	t				¶t2
	2	2					¶	2
	¶	+	¶			+	¶		Et	- me
	2	+	¶y	2		+		2	Et	- me
¶x			¶y				¶z
Запишем	сразу					гармоническую
уравнению

(3.35)

= 0.

плоскую волну, которая удовлетворяет данному

	34
Et (r , t ) = Em cos (wt - k × r ) .	(3.36)

Здесь мы для простоты считаем начальную фазу колебаний равной нулю (y0 = 0) и

вводим волновой вектор

k = n w = nw me = w (inx

+ jny

+ k 0 nz ) ,

(3.37)

где n - единичный вектор волновой нормали.

Подставим выражение для E

(r , t ) в

(3.35):

(n2

+ n2

+ n2 ) E - mew2 E = 0,

z t

- mew2

E = 0; (k 2 - mew2 ) E = 0;

(3.38)

- me Et

= 0.

Из (3.38) следует, что для Et ¹ 0 должно быть:

k 2

= mew2 .

(3.39)

Зависимость k(ω ) называется дисперсионной зависимостью, а уравнение

k (w) = 0 ,

(3.40)

дисперсионным уравнением. В данном случае монохроматических волн имеем:

	2	2		2	w2
k		- mew	= 0; k		- mr er c2 = 0,
k = n w.					(3.41)
k = n w.

В общем случае показатель преломления зависит от частоты (явление дисперсии), что необходимо учесть в соотношении для волнового числа:

k (w) = n (w) w .	(3.42)
c

3.9. Электромагнитные плоские волны

В общем случае решение для плоской монохроматической однородной волны

имеет вид

{exp i

E (r , t ) = Em cos

(wt - k × r + y0 ) =

(wt - k

× r + y0 )

× r + y0 ) } =

(3.43)

+ exp -i (wt - k

Eɺm exp i (wt - k

× r )

+ c.c.,

exp (iy

) ,

а c.c. означает комплексно-сопряженную функцию к первому

где Eɺ

= E

слагаемому. Нетрудно заметить, что функции

+ y0 )

exp ±i (wt - k ×r

также являются

решениями волнового уравнения. Величина

комплексная векторная амплитуда

волны. Поскольку работать с экспонентами очень удобно, то принято пользоваться

понятием комплексной формы записи для гармонических плоских волн
		×r )
Eɺ	(r , t ) = Eɺm exp i (wt - k	×r )	,	(3.44)

опуская множитель 1/2 и комплексно-сопряженное слагаемое. Нужно понимать, что

это выражение справедливо только формально. Истинное значение электрического поля будет определяться выражением

			× r ) } .
E (r , t ) = Re{Eɺm exp i (wt - k			× r ) } .	(3.45)

Во многих случаях, когда мы имеем дело с линейными функциями от E , этот подход дает одинаковые результаты с подходом, при котором используются тригонометрические функции. Исключение составляют случаи, когда необходимо вычислить произведения или степени - например, при расчетах интенсивности или вектора Пойнтинга.

В чем же достоинство комплексного метода? Найдем производную по времени от напряженности поля плоской гармонической волны:

¶∂t {Eɺm exp i (wt - k × r ) } = iwEɺm exp i (wt - k × r ) .

Таким образом, операции дифференцирования по t соответствует умножение на iw:

∂	« iw.	(3.46)

¶t

Нетрудно показать, что действие оператором Ñ на Eɺ(r ,t ) аналогично действию на нее

оператором - ik :

				(3.47)
Ñ × Eɺ = -ik × Eɺ = div Eɺ ,				(3.47)
				(3.48)
Ñ´ Eɺ	= -ik	´ Eɺ	= rot Eɺ .	(3.48)

С учетом записанных соотношений представим уравнения Максвелла, которые мы применяли при описании волновых процессов в изотропной непроводящей среде в отсутствие сторонних токов и зарядов, в новой форме

rot H = dcompl ,				¶D		- k ´ H = wD,
		Ñ´ H =		¶t	,
	¶B ,			¶t		+ k ´ E		= +wB,
rot E = -	¶B ,					+ k ´ E		= +wB,
	∂ t	® Ñ´ E	= - ¶B ,			® - ik × D		= 0,
div D = r,				¶t
div D = r,						- ik × B = 0.
		Ñ × D = 0,				- ik × B = 0.
div B = 0.
		Ñ × B = 0.
Общий вариант		Уравнения Максвелла				Уравнения Максвелла
уравнений Максвелла		в операторной				для плоских гармонических
		форме для σ = 0 ,				волн ( σ = 0 , ρ = 0 ,
		ρ = 0 , dextr			= 0		dextr = 0 )
C учетом материальных уравнений (3.5) и (3.6)
D = eE , B = mH ,
из последней системы получаем:
k ´ H = -weE ,								(3.49)
k ´ E = wmH ,								(3.50)
k × E = 0 ,								(3.51)
k × H = 0.								(3.52)

Отсюда следуют важные выводы о структуре полей в плоской электромагнитной волне:

1.Из первого уравнения - E ^ k и E ^ H .

2.Из второго - H ^ k , H ^ E , векторы E , H и k образуют правую систему координат.

3.Третье и четвертое уравнения также свидетельствуют о поперечности полей

E и H .

(

´ H

= w meHm = weEm

´ H

sin (k ^ H )),

Hm =

(3.53)

m e

Величина W = με имеет размерность [Ом] и называется волновым сопротивлением среды. Напомним, что размерность H - А/м; E - В/м. Для вакуума

получаем:

= 120π Ом.

W =

μ0

(3.54)

ε0

Итак, векторы E , H и k

в плоской

волне можно изобразить так для

фиксированного момента времени t (рис.

3.2). В общем случае в зависимости от

вида поляризации (линейная, круговая,

Рис. 3.2. Ориентация векторов в

эллиптическая) векторы E и

H могут

синхронно изменять свое положение.

плоской электромагнитной волне

3.10. Поляризация плоских электромагнитных волн

Поле с векторами E и H , направление которых может быть определено в любой момент времени, называют поляризованным. При случайных направлениях E и H в пространстве поле является неполяризованным (солнечный свет и т.д.).

Плоскость поляризации проходит через вектор E и направление распространения волны. Различают линейную, эллиптическую и круговую (правую и

левую) поляризации - в зависимости от фигуры, которую описывает конец вектора E

при распространении волны. Математически волну с произвольным видом поляризации представляют в виде двух составляющих

Ex	= iE1m cos (ωt − kz ) ,	(3.55)
		(3.55)
Ey	= jE2m cos (ωt − kz − ϕ),

сдвинутых по фазе и имеющих различные амплитуды в общем случае. Для плоскости z=0 имеем

= cos ωt,

= cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ ,

(3.56)

E1m

E2m

откуда получаем

Ey2

− 2

Ex Ey

cos ϕ = sin2

ϕ .

(3.57)

E 2

описывать эллиптическую траекторию за время

виды поляризации.

E y E

E x x

T = 2pw. Рассмотрим характерные

1.	ϕ = 0 ,			E	x	-	Ey	= 0 ,
1.	ϕ = 0 ,			E1m		-	E2 m	= 0 ,
				E1m			E2 m
Ey	=	E2m	Ex .
Ey	=		Ex .
		E1m

Это уравнение прямой,

наклон которой к оси OX

определяется отношением

Рис. 3.3. Ориентация вектора поляризации в	E2m	E1m .	Действительно,
Рис. 3.3. Ориентация вектора поляризации в
плоской электромагнитной волне	при	синфазном изменении
	Ex	и Ey ~ cos wt синхронно

изменяется и результирующий вектор E . Легко видеть, что такая же по типу линейная

поляризация имеет место и при ϕ = nπ (n= 0, ±1, ±2,…).

2. j = ±	π	E2	+	Ey2	= 1 .
	,	x
	,	E 2		E2
	2	E 2		E2
		1m		2m

Это каноническое уравнение эллипса с большой и малой полуосями,

ориентированными точно по осям x и y. Направление вращения вектора E

определяется знаком j. Для j = - p2 какое будет вращение, левое или правое? -

Правое.

3. В каком случае мы будем иметь круговую поляризацию? j = ± p2 , E1m = E2m .

3.11. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Вектор Пойнтинга

Как известно, в объеме V сосредоточен запас энергии электромагнитного поля

	E × D		H × B
W = ∫		+		dV
	2		2
V

	eE	2	+ mH	2
= ∫	eE				dV .	(3.58)
= ∫					dV .	(3.58)
V	2		2

Рассмотрим изменение энергии W во времени. Для этого перепишем уравнения

Максвелла в виде

		∂ E ,
rot H = dcond + e		∂ E ,
		¶t
	¶H ,
rot E = -m	¶H ,
	¶t

считая токи переноса и сторонние токи отсутствующими. Домножим первое уравнение на E , а второе - на H скалярно и вычтем полученные результаты:

¶E

¶H

(3.59)

E × rot H - H

× rot E = eE

¶t

+ mH ×

¶t

+ dcond × E .

Учитывая соотношения

1 ¶

¶E =

(E 2 ) =

(E 2 ),

2 ¶t

¶t

H ×

¶H =

2 ) =

(H 2 ),

¶t

2 ¶t

× rot H

- H

× rot E = - div E

´ H

и интегрируя (3.59) по объему, получаем

d eE2

mH 2

= -

∫

dV - ∫ (dcond × E)dV .

(3.60)

∫(div E ´ H

)dV

Используя теорему Остроградского-Гаусса

∫ div AdV

= ∫ A × dS ,

и вводя вектор

P = [E ´ H ],

(3.61)

получаем

+ mH

∫

dV = ∫

P × dS

∫ (dcond

× E)dV .

(3.62)

Уравнение (3.62) выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Левая часть -

полное изменение электромагнитной энергии в объеме V во времени.

Первый член в правой части - поток вектора Пойнтинга через поверхность,

ограничивающую объем V ( P -плотность потока энергии через поверхность S в

единицу времени). Второй член в правой части (3.62) - количество тепла,

выделяющегося в проводящих частях объема V в единицу времени.

3.12. Усреднение по времени энергетических характеристик поля

Измерительные приборы, так же как и человеческий глаз, не могут воспринимать происходящие с большой частотой колебания электрического и магнитного поля световых волн. Все средства измерений производят операции усреднения по конечному интервалу времени Δτ и по конечному объему пространства

V . Будем полагать, что в пределах данного объема V измеряемая величина A(r , t)

изменяется незначительно, и достаточно проводить усреднение только по времени,

равному периоду колебаний T . В этом случае среднее за период колебания значение физической величины в точке с координатами r = r0 определяется, как

	1	T
< A(r , t) >=	T	∫	A(r , t)dt .	(3.63)
< A(r , t) >=			A(r , t)dt .	(3.63)
0			0
		0

Легко показать, что для периодических (в том числе гармонических) колебаний напряженности электрического поля, определяемых, например, соотношением (5.43),

среднее значение равно нулю, < E(r , t) >= 0 . Однако измерительные приборы реагируют не на само поле, а на его энергетические характеристики – при каждом акте измерения должно поглощаться дискретное количество фотонов, каждый из которых имеет

энергию ω , где =1.05×10-34 Дж×с – постоянная Планка. Найдем среднее значение

плотности электрической энергии в электромагнитном поле, в случае его изменения во

времени по гармоническому закону ( E(r , t) = E

(r ) cos(wt + y) ):

E × E

= e

∫(Em

× Em )cos2 (

t + y)dt = eEm ,

(3.64)

где Em = Em . Аналогично можно получить среднее значение плотности магнитной энергии в таком гармоническом во времени электромагнитном поле:

W = mHm2		,	(3.65)
M	4
	4

где Hm = Hm . Отметим, что с помощью соотношения (3.53), связывающего амплитуды электрического и магнитного полей через волновое сопротивление среды, можно получить, что плотности электрической и магнитной энергии в плоской гармонической

волне равны:

< WE >=< WM > .

(5.66)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.41 Mб4Введение в математику.-1.pdf
#
05.02.20231.41 Mб2Введение в математику..pdf
#
05.02.20238.08 Mб10Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.pdf
#
05.02.20235.54 Mб16Введение в методологию системо- и схемотехнического проектирования электронных и радиоэлектронных средств..pdf
#
05.02.2023464.81 Кб39Введение в научно-исследовательскую деятельность..pdf
#
05.02.20237.27 Mб10Введение в оптическую физику.-1.pdf
#
05.02.20237.23 Mб16Введение в оптическую физику..pdf
#
05.02.20231.24 Mб2Введение в основы профессиональной деятельности..pdf
#
05.02.2023354.59 Кб14Введение в программную инженерию.-1.pdf
#
05.02.2023171.39 Кб9Введение в программную инженерию.-2.pdf
#
05.02.2023245.6 Кб12Введение в программную инженерию.-3.pdf