Вакуумная и плазменная электроника.-7

Поскольку движение происходит по криволинейной траектории, то для его описания удобно использовать вместо закона сохранения импульса по двум координатам обобщенный закон сохранения момента количества движения

Для записи уравнения траектории воспользуемся простой подстановкой

Из рисунка 3.6 можно найти угол отклонения от первоначального направления движения:

61

Ограничимся случаем столкновения (рассеяния) двух электронов. Тогда потенциальная энергия взаимодействия

где k 4 1 0 .

Воспользуемся подстановкой z rI . Тогда

и формула (3.44) принимает вид

где h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме. Интегрируя равенство (3.48) с учетом начальных условий, по-

лучаем для угла φ:

62

Подставляя из формулы (3.42) значение I, после несложных тригонометрических преобразований приходим к известному соотношению Резерфорда, связывающему прицельный параметр b и угол отклонения от первоначального направления :

Из рисунка 3.7 следует, что дифференциальное эффективное сечение кулоновского рассеяния в направлении определится из выражения (3.54) следующим образом:

63

Очевидно, что интегрирование по всем возможным значениям угла не имеет смысла, поскольку сила Кулона действует до бесконечного расстояния, поэтому полное эффективное дифференциальное сечение кулоновского столкновения электронов также будет равно бесконечности.

3.4Направленное движение электронов

иионов в газе под действием электрического поля

3.4.1Хаотическое движение ионов и электронов

Низкотемпературную плазму можно в первом приближении описывать как смесь ионного, электронного и нейтрального газов. Каждому из этих компонентов смеси соответствует свое значение температуры. В отсутствие внешних полей при постоянстве концентрации частиц распределение по скоростям как для заряженных, так и для нейтральных частиц носит изотропный характер и описывается распределением Максвелла – Больцмана

где m , T и n – масса, температура и концентрация соответствующего компонента плазмы. В плазме, генерируемой в разряде низкого давления, температура электронов составляет в энергетических единицах несколько электрон-вольт и приблизительно на порядок выше температуры ионов, которая, в свою очередь, выше температуры нейтрального компонента плазмы.

3.4.2 Направленное движение заряженных частиц под действием электрического поля (дрейф)

В присутствии электрического поля на заряженные частицы действует постоянная сила, сообщающая им движение вдоль силовых линий поля. Однако это движение нарушается непрерывными столкновениями, при которых полностью или частично теряется направленная скорость. Таким образом, под действием

64

электрического поля заряженная частица стремится двигаться по полю, однако многократные столкновения придают этому движению хаотический характер. Несмотря на хаотическое изменение направления движения из-за столкновений, траектория частицы

вконечном счете имеет тенденцию к движению по направлению силы электрического поля (рисунок 3.8). Такой характер движения, который можно определить как направленное движение

вусловиях многократных столкновений, получил название «дрейф». Рассмотрим простейшую теорию дрейфового движения.

E

A B q

дрt

Рисунок 3.8 К понятию дрейфовой скорости

Пусть при каждом столкновении частица полностью теряет направленную скорость. В этом случае средняя направленная скорость – скорость дрейфа др – оказывается много меньше тепло-

вой скорости v. Уравнение движения заряженной частицы в газе под действием электрического поля Е имеет вид

где – число столкновений, испытываемых частицей в единицу

времени.

В сущности, последнее слагаемое в этом уравнении представляет собой силу сопротивления среды или силу трения.

Действительно, в предположении полной потери импульса при каждом соударении величина m др представляет собой

скорость изменения импульса частицы, то есть силу, приводящую

65

к этому изменению. В установившемся состоянии др не изменя-

Коэффициент пропорциональности b называют подвижностью заряженной частицы. Следует отметить, что более точный расчет при E p 0,01 В/(см торр) дает в формуле (3.61) множи-

тель 0,64.

Подвижность электронов

За исключением очень слабых электрических полей, подвижность электронов оказывается зависящей от величины напряженности электрического поля. Определим вид этой зависимости. Ес-

где W me 2 – среднее значение кинетической энергии движения

2

электрона, 1, то в установившемся режиме движения должно соблюдаться равенство

где k – число столкновений на единице длины пути.

66

Величину k можно найти на основе следующих рассуждений. Если электрон прошел единичный путь в направлении поля, то его реальный путь в газе больше этого единичного пути на величину, равную отношению тепловой скорости к направленной:

Отсюда следует, что число столкновений, приходящихся на единицу длины в направлении поля, определяется как

Подставляя формулу (3.67) в (3.64) и заменяя среднеквадратичную тепловую скорость на среднюю арифметическую скорость, после несложных преобразований получаем

Используя соотношение p0 , где р – давление газа; 0 –

постоянная, равная средней длине пробега при единичном давлении, приходим к выражению, показывающему, что в присутствии электрического поля тепловая скорость является функцией отно-

шения Ep . Подставляя последнее соотношение в формулу (3.61) и

сравнивая полученное выражение с (3.62), находим подвижность электронов:

Подвижность электронов уменьшается с повышением напряженности электрического поля и давления газа. Абсолютные

67

значения для подвижности электронов в газе лежат в пределах be 100 1000 м2/(В с).

Подвижность ионов

Поскольку масса иона сравнима с массой молекулы газа или даже практически равна ей, то при движении иона в собственном газе, в отличие от случая движения электрона, при каждом упругом столкновении он теряет значительную часть своей энергии и импульса. В предположении слабого электрического поля теория дает для подвижности ионов следующее выражение:

средняя длина пробега ионов при единичном давлении. Абсолютные значения подвижности ионов обычно лежат в

пределах 10–100 м2/(В с).

3.4.3 Диффузионное движение электронов. Амбиполярная диффузия

Диффузионное движение возникает при наличии перепада концентраций частиц в какой-либо области пространства. Представим мысленно некоторую плоскость, справа от которой концентрация частиц выше, чем слева от нее. Тогда за счет хаотического движения поток частиц через эту плоскость в левую сторону окажется выше, чем в правую сторону. Разность этих величин и будет представлять собой диффузионный поток. В общем случае диффузионное движение характерно как для нейтральных, так и для заряженных частиц. Из общих соображений ясно, что плотность потока будет пропорциональна градиенту концентрации частиц. Тогда для случая одномерной геометрии уравнение диффузионного движения можно записать в виде

68

где n – концентрация частиц; d – скорость диффузионного дви-

жения частиц; D – коэффициент диффузии. Знак «минус» в уравнении показывает, что движение частиц происходит в сторону уменьшения их концентрации.

На основе сказанного выше легко записать выражения для скоростей диффузионного движения электронов и ионов:

в которые входят соответствующие концентрации электронов ne и ионов ni , а также коэффициенты диффузии De и Di .

Говоря о диффузионном движении, мы подразумеваем, что движущиеся заряженные частицы сталкиваются с окружающими атомами газа, т. е. существует сила, препятствующая направленному движению. В этом смысле имеется аналогия между дрейфовым движением электронов и ионов за счет электрического поля и движением за счет наличия градиента концентраций. Тогда естественно предположить, что коэффициент, характеризующий подвижность частиц при дрейфовом движении, должен быть связан с коэффициентом диффузии. Получим эту связь из решения некоторой модельной задачи, в которой имеет место как диффузионное, так и дрейфовое движение.

Рассмотрим электронный газ вблизи плоской непроводящей стенки сосуда. Это может быть, например, в устройстве, где эмитирующий электроны термокатод помещен в замкнутый сосуд с газовым наполнением. За счет диффузионного движения на стенку обеспечивается поток электронов. Тогда стенка будет заряжена отрицательно и этот заряд препятствует осаждению электронов. Иными словами, имеется электрическое поле E, под действием которого электроны движутся в направлении, противоположном диффузионному.

Таким образом, в задачу входит как подвижность электронов e , так и коэффициент диффузии De . В данном случае для

69

скорости направленного движения можно записать следующее уравнение:

В равновесном состоянии стенка зарядится так, что диффузионный поток будет уравновешиваться дрейфовым потоком, а суммарный поток будет равен нулю. Именно поэтому суммарная скорость электронов в формуле (3.68) приравнена к нулю.

Концентрация электронов ne x убывает по мере приближе-

ния к стенке по закону Больцмана, поскольку речь идет о равновесной концентрации в потенциальном поле x :

ne x n0 exp e ,kTe

где n0 – концентрация на большом расстоянии от стенки, где электронный газ не возмущен; kTe – температура электронов.

Тогда, дифференцируя последнее соотношение по x, подставляя результат в формулу (3.74) и учитывая, что E ddx , легко получить следующие соотношения для электронов и ионов:

Из соотношения (3.75) видно, что коэффициенты диффузии пропорциональны подвижностям и увеличиваются с ростом температуры. Обычно в газоразрядной плазме kTe kTi . Отсюда яс-

но, что коэффициент диффузии для ионов существенно ниже, чем для электронов. Отметим, что приведенные соотношения удобно использовать, например, для оценки температуры частиц, зная их подвижность и исходя из экспериментально измеренных коэффициентов диффузии.

При очень низкой плотности заряженных частиц ne , ni заря-

ды диффундируют независимо друг от друга – этот процесс называется свободной диффузией. Более подвижные электроны диффундируют быстрее и при наличии градиента плотности зарядов

70