Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы электронной техники.-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

и равны

α11 = 15 10-6 град-1, α22 = 41 10-6 град-1,

α33 = 32 10-6 град-1.

Более того, для моноклинного кристалла с выбранной системой координат относительно оси симметрии второго порядка вид тензора второго ранга известен (см. Учебное пособие, стр. 58 «Метод прямой проверки в декартовых координатах». Примеры: класс 2):

		α11	0	α13
αij	=	0	α22	0	.
		α13	0	α33

Диагональные элементы этого тензора нам заданы по условию задачи, а неизвестен только один - α13. Его надо найти. Коэффициент теплового расширения вдоль направления, составляющего угол в 450 с осями Х3 и Х1, найдется из соотношения для определения величины свойства в заданном направлении (см. Часть I учебного методического пособия по данному курсу, стр.35). При этом следует иметь ввиду, что направление в 450 с осями Х3 и Х1

задается единичным вектором N (22, 0, 22) . Поэтому можно записать:

αN = αIJ NI N J	= (α11 N12 + α33	N32 + 2α13	N1N3) =
			.

= (22)2 (α11 + α33 + 2α13)

По условию задачи эта величина равна 16 10-6 град-1. Поэтому имеем уравнение для определения компоненты тензора α13 :


16 10− 6 =		1	(α11 + α33 + 2α13);

	2
α13	= 16 10− 6 −			1	(α11 + α 33).

	2

Отсюда находим: α13 = −7,5 10-6 град-1.

Следовательно, тензор теплового расширения этого кристалла в системе координат Х1, Х2, Х3 имеет вид

		15	0	− 7..5
αij	=	0	41	0	10− 6 град-1.
αij	=	0	41	0	10− 6 град-1.
		− 7.5	0	32

Найдем главные коэффициенты теплового расширения - собственные значения тензора теплового расширения. Для этого требуется решить характеристическое уравнение, которое будет иметь вид:

15 − λ	0	− 7.5
0	41 − λ	0	= 0 .
− 7.5	0	32 − λ

Это характеристическое уравнение может быть представлено в виде произведения двух сомножителей, поскольку данный определитель можно разложить по минорам, вычеркнув второй столбец и вторую строку (взято из курса «Линейная алгебра» как известный способ вычисления определителей высокого порядка):

(41 − λ)	15 − λ − 7.5	= 0
	− 7.5 32 − λ

Отсюда находим, что λ1 = 41. Далее, раскрываем и приравниваем к нулю второй сомножитель

(15 − λ) (32 − λ) − 7.5 7.5 = 0 .

Решая это квадратное уравнение относительно неизвестной величины λ, найдем два дополнительных корня:

λ2 = 34.8, λ3 = 12.2.

Таким образом, главные коэффициенты теплового расширения равны:

α1 = 41 10-6 град-1, α2 = 34.8 10-6 град-1, α3 = 12.2 10-6 град-1.

Задача 4. Тензор удельной электропроводности некоторого кристалла в некоторой системе координат имеет вид:

		25	0	0
				− 3		10− 7Ом -1 м -1 .
σij	=	0	7	− 3	3	10− 7Ом -1 м -1 .
		0	− 3 3	13

В каких направлениях относительно системы координат, в которой тензор σij имеет приведенный в задаче вид, направление вектора плотности тока будет совпадать с направлением приложенного электрического поля?

Решение. Найти требуемые в задаче направления означает привести тензор к главным осям, т.е. записать его в системе координат, построенной на его собственных векторах. Таким образом, имеем типичную задачу по определению собственных векторов и собственных значений тензора второго ранга. Уравнение для определения собственных векторов и собственных

значений тензора σij имеет вид:

(σik−λδik)Ak = 0,

(1)

где δik − символ Кронекера; λ − собственное значение, константа; Аi - i-тая

компонента Аi (i = 1, 2, 3) собственного вектора А. В уравнении (1) индексы последовательно принимают значения 1, 2, 3. Поэтому оно представляет собой систему трех однородных линейных уравнений. Запишем эти уравнения в координатной (развернутой) форме. Для получения первого уравнения системы зафиксируем индекс i, положив его равным единице, и изменяем индекс k от единицы до трех. Затем полагаем значение индекса i=2 и вновь изменяем индекс k от единицы до трех. Так получим второе уравнение системы. Третье уравнение получается при индексе i = 3 и k = 1, 2, 3. В результате этих действий получим три уравнения с четырьмя неизвестными: неизвестно собственное значение λ и компоненты собственного вектора А, имеющего компоненты А1,

А2, А3:

(σ11 − λ) A1 + σ12 A2 + σ13 A3 = 0

σ 21A1 + (σ 22 − λ) A2 + σ 23 A3 = 0 .	(2)
σ 31A1 + σ 32 A2 + (σ 33 − λ) A3 = 0

Так выглядит в координатной форме система уравнений (1), если сгруппировать одинаковые члены. Эта однородная система служит для определения А1, А2, и А3. При этом отыскивается отличное от нуля (нетривиальное) решение этой системы.

Как известно, однородная система имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель ее равен нулю, т. е.

σ11 − λ	σ12	σ13
σ21	σ22 − λ	σ23	= 0 .	(3)
σ31	σ32	σ33 − λ

Это кубическое уравнение называется характеристическим уравнением тензора. Три его корня λ1, λ2, λ3 дают три возможных значения, при которых приведенная выше система уравнений имеет отличное от нуля решение. Каждый из корней определяет собственный вектор тензора σij .

Характеристическое уравнение (3) для нашего случая будет иметь вид:

(25 −λ)[(7 − λ)(13 − λ) − 27] = 0.

Как нетрудно видеть, оно распадается на два независимых уравнения:

λ - 25 = 0 и (7-λ) (13-λ) - 27 = 0

Первое уравнение дает собственное значение: λ1 = 25. Два других собственных значения находятся из квадратного уравнения

λ2 − 20λ + 64 = 0,

решения которого таковы:

λ2, 3 = 10± 100− 64 =10± 6,

Таким образом, собственные значения тензора найдены:

λ1 = 25, λ2 = 16, λ3 = 4.

Значения диагональных компонент тензора электропроводности в собственной системе координат равны собственным значениям. Поэтому можно записать, что (в единицах Ом -1 м-1)

σ1 =25 10-7,	σ2 = 16 10-7,	σ3 = 4 10-7.
Найдем теперь направления главных осей тензора σij относительно
исходной системы координат. Пусть А(1), А(2),		А(3) − собственные векторы
тензора. Обозначим через А1(1),	А2(1), А3(1) компоненты вектора А(1). Для

нахождения этих компонент подставим в систему линейных уравнений (2)

первое собственное значение λ1 = 25 и вместо АK								- А1(1),		А2(1) , А3(1) . Тогда
получим:
	25A(1) + 0 A(1) + 0 A(1)						= 25A(1)
		1	2		3			1

	0 A(1) + 7 A(1) − 3 3A(1)						= 25A(1) .
	0 A(1) + 7 A(1) − 3 3A(1)						= 25A(1) .
		1	2		3			1
		(1)		(1)		(1)			(1)
		(1)	− 3 3A	(1)	+ 13A	(1)	=	25A	(1)
0 A			− 3 3A		+ 13A		=	25A
	1		2		3			1
Первое уравнение этой системы дает, что А1(1) , А2(1)										и А3(1) могут быть

любыми числами, т.к. в уравнении они умножаются на нули. Второе и третье уравнения дают

		(1)		− 3		(1)		= 0
		(1)			3A	(1)
− 18A					3A
	2				3					.
								= 0		.
− 3 3A(1) − 12 A(1)								= 0
			2		3
Выразим из первого уравнения системы А2(1) :

	A		(1)		3 3		A		(1)	.
	A			= −			A			.
		2			18			3

Подставим это выражение во второе уравнение системы, тогда

	3 3		(1)		(1)

3 3		A		− 12A		= 0.

	18	3		3

Единственным решением этой системы является следующее: А2(1) = 0 и А3(1) = 0. Таким образом, для первого собственного значения получаем, что собственный вектор имеет компонент: А1(1) − любое, А2(1) и А3(1) равны нулю. Однако собственные вектора всегда имеют единичную длину, поэтому из условия

( A1(1) )2 + ( A2(1) )2 + ( A3(1) )2 = 1

найдем, что А1(1) = ±1.

Поступая аналогичным образом с собственными значениями λ2 и λ3, можно получить, что два других собственных вектора имеют компоненты

А1(2) = 0,

А2(2) = + 1/2,

А3(2) = −

2 ,

А1(3) = 0,

А2(3) =

А3(3) = 1/2.

3 2 ,

Таблица направляющих косинусов, задающая ориентацию главных осей

тензора

относительно исходных осей, имеет следующий вид:

σij

Оси

X1/

X2/

+1/2

- 3 2

X3/

1/2

3 2

Задача 5. Напряженное состояние кристалла кварца в кристаллофизической системе координат задается следующим образом: σ11 = 10 Нсм2 ;

σ22 = 20 Нсм2 ; σ33 = 30 Нсм2; σ12 = −5 Н / см2 .

Определить величину экстремальных нормальных напряжений, а также ориентацию плоскости, испытывающей максимальное и минимальное напряжение.

Решение. Данная задача является типичной по определению собственных векторов и собственных значений тензора. Согласно условиям задачи, тензор напряжений имеет следующий вид:

		10	− 5	0
σij	=	− 5	20	0
σij	=	− 5	20	0
		0	0	30

Для нахождения экстремальных значений нормальных напряжений необходимо определить главные напряжения, т.е. найти собственные значения тензора σij′ . Одно из главных значений напряжений определяется сразу из

вида тензора σ1 = 30 Н / cм2 (см. Задачу 4).

Определим главные напряжения			σ2 и σ3. Для этого надо вычислить
оставшийся от характеристического уравнения минор:
			− 5
	10 − σ
	− 5		20 − σ	= 0 .


Вычислим этот определитель обычным способом:
(10 − σ)(20 − σ) − 25 = 0;		200 − 20σ −10σ + σ2 − 25 = 0
или:
σ2 − 30σ + 175 = 0;
		σ2,3 = 15 ± 225 − 175 .
		25

σ2,3 = 15 ± 50 ≈ 15 ± 7.1 .

Отсюда найдем корни квадратного уравнения:

σ2 = 22.1 Н / cм2 ,

σ3 = 7.9 Н / cм2 .

Сравним меду собой численные значения собственных значений: σ1 = 30 Н / cм2 , σ 2 = 22.1 Н / cм2 ; σ 3 = 7.9 Н / cм2 . Из сравнения следует ответ на первый вопрос задачи: максимальная величина нормального (т.е.

перпендикулярного поверхности) напряжения равна 30 Н / см2, а минимальная

– 7.9 Н / см2.

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, необходимо найти направляющие косинусы главных осей относительно исходной кристаллографической системы. Для этого требуется решить систему уравнений, подставляя в неё найденные собственные значения:

(10 − σ )N(1)				− 5N(1)		= 0;
		1	1		2
		+ (20		− σ )N(1)			= 0;	(1)
− 5N(1)		+ (20		− σ )N(1)			= 0;	(1)
	1			1	2
	− σ )N(1)			= 0.
(30	− σ )N(1)			= 0.
		1	3

I. Рассуждая аналогично описанному в задаче 4, получим, что при собственном значении σ3 = 30 компоненты собственного вектора будут иметь следующие значения:

N(1)	≠ 0,	N(1)	= 0,	N(1)	= 0,
3		2		1

а поскольку по определению собственный вектор имеет единичную длину

N =1, то N3(1) = 1.

Таким образом, компоненты первого собственного вектора таковы:

(1)	(1)	(1)
N1 = 0;	N2 = 0;	N3 = 1.

II. Для второго собственного значения тензора σ2 = 22.1 из последнего уравнения системы (1) найдем, что произведение двух сомножителей может быть равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.к. второй равен 30-

(2)

22.1=7.9. Таким образом приходим к выводу, что N3 = 0. Остается решить

систему и найти две другие компоненты вектора. Для этого рассмотрим два других уравнения системы (1):

		(2)	(2)		= 0;
−12.1N1			− 5N2		= 0;

− 5N(2)		− 2.1N(2)		= 0;
	1		2
		26

Из первого уравнения этой системы получим:

		(2)	12.1		(2)
		N2 = −			N1 .
		N2 = −	5		N1 .
Если	подставить это выражение			во	второе уравнение, то получим
(2)	(2)	. Тривиальное решение нас не устаивает, поэтому для отыска-
N1	= N2 = 0	. Тривиальное решение нас не устаивает, поэтому для отыска-

ния ненулевого решения используем условие нормировки собственного вектора:

		(2) 2						(2) 2						(2) 2
	N				+ N			2				+ N		3			= 1 ;
		1						2						3
в которое подставим выражение для N2(2) . После преобразований получим:
		(2)	2				12.1					2		(2)			2
	N			+								N					= 1;
	N			+								N					= 1;
		1								5				1
		(2)					12.1						2				.
		(2)	2				12.1
	N			1 +											= 1
	N			1 +											= 1
		1								5

Отсюда имеем:
											1
N1(2)			=													;

						1+ (12.1 5)2
						1+ (12.1 5)2
						12.1									1
		(2)	= −			12.1									1
N		(2)																;
		2					5

												1+ (12.1 5)2



	N	(2)	= 0 .
	N	3	= 0 .
		3

Таковы координаты второго собственного вектора тензора.
III. Для третьего собственного значения σ3 = 7.9 из системы (1) имеем :
							(3)					0
						N3					=	0
и
				(3)								(3)		= 0;
		2.1N1							− 5N2					= 0;

		− 5N(2) + 12.1N												(2)			= 0;
				1										2

Из второго уравнения этой системы выразим одну компоненту собственного вектора через другую и воспользуемся условием нормировки вектора:

	(3)					2.1
N	(3)	= N	(3)				;
N		= N	(3)				;
	2	1				5
	(3)	2		(3)	2			(3)	2		+ N(3)	2	2.1	2
N	(3)	+ N		(3)		= N		(3)						= 1;
N		+ N				= N								= 1;
1				2		1					1		5
	(3)
N	(3)	= 1		1 + (2.1 5)2							= 0.92;
1
	(3)	=		(2.1 5)						= 0.39.
N	(3)
	2
			1 + (2.1 5)2

Окончательно компоненты третьего собственного вектора равны следующим значениям

(3)	= 0.92; N	(3)	= 0.39;		(3)	= 0 .
N		2		N	3
1

Таким образом, экстремальными значениями нормальных напряжений будут следующие собственные значения: 30 Н / см2 и 7.9 Н / см2. Ориентация плоскостей, испытывающих эти напряжения, задается нормалями к ним, равными собственным векторам тензора для соответствующих экстремальных значений: N (1) (0, 0, 1) , N(3) (0.92, 0.39, 0) .

2.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕЛИЧИНЫ ФИЗИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, ОПИСЫВАЕМОГО ТЕНЗОРОМ ВТОРОГО РАНГА,

1. Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 150 В/см, приложенного в направлении [ 12 , 32 , 0], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой системе

-1 -1

координат имеет вид (Ом см ):

9 − 2 8
σij = − 2 16 0	10−7.

80 25

2.Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 150 В/см, приложенного в направлении [

32 , 12 , 0], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

-1 -1

системе координат имеет вид (Ом см ):

9 − 2 8
σij = − 2 16 0	10−7.

80 25

3.Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной

системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [

1 2 , 3 2 , 0], если тензор удельной				электропроводности кристалла в этой
системе координат имеет вид (Ом			-1	–1	):
			см
			9	− 2 8
	σij	= − 2 16 0				10−7.

80 25

4.Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [

32 , 12 , 0], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

-1 -1

системе координат имеет вид (Ом см ):

9 − 2 8
σij = − 2 16 0	10−7.

80 25

5.Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 150 В/см, приложенного в направлении [

22, 0, 22 ], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

-1 -1

системе координат имеет вид (Ом см ):

9 − 2 8
σij = − 2 16 0	10−7.

80 25

6.Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [

12 , 0, 32 ], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

системе координат имеет вид (Ом			-1	–1	):
системе координат имеет вид (Ом			см		):
			18	− 5		10
	σij	=	− 5 16 0				10−7.
	σij	=	− 5 16 0				10−7.
			10	0		25

7. Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [ 32 , 0, 12 ] если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

системе координат имеет вид (Ом	-1	–1	):
	см

		18	− 5	10
σij	=	− 5 16 0			10−7.
σij	=	− 5 16 0			10−7.
		10	0	25

8. Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [0, 32, 12 ] если тензор удельной электропроводности кристалла в этой системе

координат имеет вид (Ом	-1			–1
координат имеет вид (Ом	см		):
						18	− 5	10
		σij			=	− 5 16 0			10−7.
		σij			=	− 5 16 0			10−7.
						10	0	25

9. Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 100 В/см, приложенного в направлении [0, 12 , 32 ], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой системе

координат имеет вид (Ом	-1			–1
координат имеет вид (Ом	см		):
						18	− 5	10
		σij			=	− 5 16 0			10−7.
		σij			=	− 5 16 0			10−7.
						10	0	25

10. Найти величину и направление вектора плотности тока в координатной системе Х1 Х2 Х3 , возникающего в кристаллической пластине площадью S и толщиной d под действием поля Е = 150 В/см, приложенного в направлении [0, 32 , 12 ], если тензор удельной электропроводности кристалла в этой

-1 -1

системе координат имеет вид (Ом см ):

		18	− 5	10
σij	=	− 5 16 0			10−7.
σij	=	− 5 16 0			10−7.
		10	0	25

11.К кристаллической пластине XY - среза (это срез перпендикулярно плоскостной диагонали, проходящей в плоскости XOY под углом 450 к осям X и Y) приложили одноосное механическое напряжение сжатия t в направлении нормали к ее рабочим граням. Как будет выглядеть тензор напряжений в кристаллофизической системе координат.

12.К кристаллической пластине XZ - среза (это срез перпендикулярно плоскостной диагонали, проходящей в плоскости XOZ под углом 450 к осям X и Z) приложили одноосное механическое напряжение сжатия t в направлении нормали к ее рабочим граням. Как будет выглядеть тензор напряжений в кристаллофизической системе координат.

13.К кристаллической пластине YZ - среза (это срез перпендикулярно

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023261.16 Кб5Элементы МДП интегральных схем..pdf
#
05.02.20231.28 Mб7Элементы электронной техники. Часть 1. Основы кристаллографии и кристаллофизики.pdf
#
05.02.20231.66 Mб13Элементы электронной техники. Часть 2 «Физические свойства кристаллов».pdf
#
05.02.20231.68 Mб8Элементы электронной техники.-1.pdf
#
05.02.20231.43 Mб14Элементы электронной техники.-2.pdf
#
05.02.20232.18 Mб9Элементы электронной техники.-3.pdf
#
05.02.2023827.78 Кб13Элементы электронной техники.-4.pdf
#
05.02.2023522.99 Кб6Элементы электронной техники..pdf
#
05.02.20231.16 Mб16Энергетическая электроника.-1.pdf
#
05.02.20231.88 Mб14Энергетическая электроника.-2.pdf
#
05.02.20233.28 Mб23Энергетическая электроника..pdf