Электродинамика и распространение радиоволн.-4
.pdfВекторный магнитный потенциал, создаваемый таким током, определяется из выражения
|
|
|
μ |
∫ |
|
|
|
|
|
dV = |
|
|
μ |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
j |
|
|
j |
||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
dS |
dl ; |
||||||||||||||||
|
4π |
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
r |
|
|
S l |
r |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Iμ |
|
|
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫dl |
(3.21) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как ток I = ∫ j dS .
S
Перейдем к выражению для напряженности магнитного поля:
|
|
|
1 |
rot |
|
= |
I |
∫rot |
dl |
. |
(3.22) |
|
H |
= |
A |
||||||||||
|
4π |
|||||||||||
|
|
|
μ |
l |
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим подынтегральное выражение.
Пусть a = |
|
, |
ϕ = |
1 |
. Тогда |
dl |
|||||
|
|
|
|
r |
|
rot a ϕ = , a ϕ = , a ϕ+ ϕ, a = ϕrot a +[grad ϕ, a ];
|
|
|
I |
|
∫ |
1 |
|
|
+ ∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
H = |
|
|
r |
rot dl |
grad |
r |
, dl . |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
4π |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как dl не зависит от положения точки М, в которой находим ротор, то rot dl = 0 .
Отсюда grad 1r = − rr02 .
Подставив полученные результаты в формулу (3.22), получаем
|
|
|
|
|
|
|
, r |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
dl |
|
|
||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
H = |
|
|
. |
(3.23) |
|||||||
4π |
|
r |
2 |
|
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это интегральная формулировка так называемого закона Био и Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного поля с линейным распределением тока.
81
В дифференциальной форме этот закон имеет вид
|
= |
I |
|
|
|
, r |
. |
(3.24) |
dH |
|
dl |
||||||
|
2 |
|||||||
|
|
4πr |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя закон Био – Савара, мы можем теперь построить магнитные поля различных линейных токов.
3.4. Примеры магнитных полей
3.4.1. Поле прямого провода (прямолинейного тока)
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ток направлен вдоль оси Z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндрической |
|
системы |
|
|
координат |
||||||||||||||||||||||||||
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поле в произвольной точке М оп- |
||||||||||||||||||||||||||||||
α0 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
M |
|
|
ределяется из уравнения (3.23): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dz , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
R |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = |
|
∫ |
|
|
|
|
|
0 |
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
0 — единичный вектор, направ- |
||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 3.4. К вопросу |
|
|
|
|
R |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определения магнитного |
|
|
ленный от dz к точке М; θ — угол ме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поля прямого провода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
жду R0 и осью Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Исходя из этого запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dz , |
|
|
|
|
= α |
|
dz sin θ = α |
|
|
|
dz sin (π −θ)= α |
|
dz |
r |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
R |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
|
|
|
∞ |
|
r |
|
|
I |
|
|
∞ |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r dz |
|
||||||||||||||||||
H = |
|
|
|
α0 −∞∫ |
|
|
dz = |
|
α0 −∞∫ |
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
4π |
R3 |
4π |
(r2 + z2 )3 2 |
(r2 + z2 )3 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 d |
|
|
|
|
z |
|
|
Iα |
0 |
|
|
z |
∞ |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
(3.25) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| = α |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r dz |
|
|
|
r2 |
+ z2 |
|
4πr |
|
r2 + z2 −∞ |
|
|
|
2πr |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что этот же результат легко получается из первого уравнения Максвелла.
82
3.4.2. Круглый виток и соленоид
Определим поле на оси круглого витка (рис. 3.5). Подынтегральное выражение (3.24), как это видно из рисунка, имеет радиальную и продольную компоненты в цилиндрической системе координат:
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dH = |
|
|
|
= dHr + dHZ , |
(3.26) |
|||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
4πR |
dl , R0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем радиальная составляющая при интегрировании должна уничтожиться.
Таким образом, напряженность поля на оси есть
|
|
|
|
|
|
I |
2π asin θdα |
|
I |
a2 |
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
H = ∫dHZ |
= z0 |
|
∫ |
|
2 |
|
2 |
= z0 |
|
|
|
|
∫ dα, |
||||
4π |
a |
+ z |
4π (a2 |
3 2 |
|||||||||||||
|
|
L |
|
0 |
|
|
|
+ z2 ) |
0 |
или
|
|
|
I |
|
a2 |
|
|
H = z0 |
|
||||||
|
|
|
. |
(3.27) |
|||
4 |
(a2 + z2 )3 2 |
В случае соленоида (рис. 3.6) можно допустить, что ток непрерывно распределен по цилиндрической поверхности и в элементарном поясе ширины dz равен
dI = nI dz ,
где n — число витков намотки, приходящееся на единицу длины соленоида; I — ток одного витка.
Отметим, что nI называют числом ампервитков на единицу длины.
Поле на оси соленоида в точке М, создаваемое элементарным поясом, который виден из этой точки под углом 2θ, выражается формулой (3.27):
|
|
|
|
nI |
a2 |
|
|
|
nI |
|
z |
|
|
|
nI |
d (cos θ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dH = z |
0 |
|
|
|
dz = z |
0 |
|
d |
|
|
= z |
0 |
|
|||
|
|
3 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
(a2 + z2 ) |
|
2 |
|
a2 + z2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Интегрируя это выражение от θ1 до π−θ2 (рис. 3.6,б), получа-
ем выражение напряженности поля соленоида (т.е. всех его витков) вточкеМ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z |
|
nI d (cos θ |
|
|
+ cos θ ). |
|
|
|
|
(3.28) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dH |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|||||
dH |
r |
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
θ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Рис. 3.5. К вопросу |
|
|
Рис. 3.6. К вопросу определения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определения магнитного поля |
магнитного поля соленоида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на оси круглого витка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, в частности, нетрудно найти поле в центре соленоида длиной L при θ2 = θ1:
|
|
|
|
|
|
nIL |
|
|
|
H = z0nI cos θ2 = z0 |
|
, |
(3.28а) |
||||||
|
4a2 |
+ L2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а также поле бесконечного соленоида (θ2 = θ1 → 0): |
|
||||||||
|
|
|
|
= z0nI. |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
(3.28б) |
84
3.4.3. Магнитный диполь
Покажем, что виток на достаточно большом расстоянии действует, как магнитный диполь.
Рассмотрим круглый виток (рис. 3.7). Обозначая расстояние от элемента витка до точки наблюдения М буквой R, имеем согласно
(3.21)
A = 4Iμπ ∫L dRl .
Учитывая симметрию системы, нетрудно сообразить, что векторный потенциал имеет одну лишь азимутальную составляющую А = α0 А. Проекция элемента
dl на азимутальное направление в точке М, как видно из рис. 3.7, есть cosα dl .
Поэтому
A = α0 4Iμπ ∫L cos αR dl .
Далее видим, что |
Рис. 3.7. К вопросу определения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
dl = αdα и |
магнитного поля на большом |
|||||||
R2 = r2 + a2 − 2ar sin θcos α. |
расстоянии от круглого витка |
|||||||
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|||||
|
|
|
Iμ 2π |
аcosα dα |
|
|||
|
|
|
||||||
A = α0 |
|
∫0 |
|
. |
(3.29) |
|||
4π |
(r2 + a2 − 2ar sin θcosα)1 2 |
Полагая, что расстояние от центра витка r значительно превышает его радиус а ( r >> a ), раскрываем знаменатель подынтегрального выражения по формуле бинома Ньютона и ограничиваемся первыми членами:
85
(r2 |
+ a2 |
− 2ar sin θcos α) |
−1 2 |
= |
1 |
|
− |
1 |
a 2 |
|
r |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
1 |
|
+ |
a |
|
r |
1 |
r |
sin θcos α . |
||
|
|
|
|
+ a sin θcos α +… ≈ r
Теперь нахождение векторного потенциала не представляет труда:
|
|
|
Iμ 2π а |
a |
|
Iμa2 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
A =α0 |
|
|
1+ |
|
sin θcos α cos α dα=α0 |
|
sin θ, (3.30) |
|||
4π ∫ |
r |
4r2 |
||||||||
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
и напряженность магнитного поля определяется по формуле (3.17) в сферических координатах:
|
|
|
1 |
|
|
|
Ia2 |
|
r |
|
|
∂ sin2 θ |
|
|
|
|
|
∂ sin2 |
θ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
H = |
|
rot A = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
. |
||||||
μ |
4 |
|
|
|
|
∂θ |
r |
|
|
r sin θ ∂r |
r |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r2 sin θ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ia2 |
(r0 2cos θ+ |
|
0 sin θ). |
|
|
|
|
|
(3.31) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
= |
θ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показывает сравнение с формулой (2.21), магнитное поле витка по своему строению есть поле диполя. Виток ведет себя так, как если бы вместо него в точке 0 находился магнитный диполь, ориентированный по оси z. Переписывая (3.31) в форме (2.21), имеем:
|
|
|
m |
(r0 2cos θ+ |
|
0 sin θ). |
(3.31а) |
|
H |
= |
θ |
||||||
4πμr3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь величина m, подобно р в (2.21), представляет собой абсолютное значение момента диполя
m = m z0.
Сопоставляя (3.31) и (3.31а), находим m , т.е. не что иное, как магнитный момент витка:
86
m |
= z0 Iμπa2 = z0 IμS, |
(3.32) |
где S — его площадь.
В последней форме выражение может быть использовано для плоского витка некруговой конфигурации.
3.5. Магнитная энергия постоянного тока
Из п.1.6.3 известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Wм = |
μH |
= |
BH |
, |
(3.33) |
|||||
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
так как B = μH .
В некоторой области V она определяется интегралом
Wм = |
1 |
∫ |
|
|
|
|
1 |
∫H rot |
|
|
(3.34) |
|
BHdV = |
AdV , |
|||||||||
|
2 |
V |
2 |
V |
|
||||||
|
|
|
|
так как B = rot A .
Используя равенство div A, H = H rot A − A rot H , получим
2 |
∫ |
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
Wм = 1 |
|
|
A |
rot |
HdV + 1 |
|
div |
A |
, H |
dV . |
|
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского – Гаусса:
∫div A, H dV = ∫ A, H dS.
V S
При учете всей энергии поля подынтегральное выражение устремляется к нулю, так как векторный потенциал и магнитное поле убывают быстрее, чем квадрат расстояния, а площадь увеличивается пропорционально ему.
87
Таким образом, с учетом того, что |
|
|
|
|
|
||||||||
j |
= rot H |
, получаем |
|
||||||||||
Wм |
= |
1 |
∫ |
|
|
|
|
(3.35) |
|||||
A |
|||||||||||||
|
jdV. |
||||||||||||
|
|
2 |
V |
|
|||||||||
|
|
|
|
3.6. Индуктивность и взаимная индуктивность
Определим энергию Wм линейного тока:
|
|
|
|
|
|
Wм = 12 |
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
j |
|
dl |
|
dS |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j |
dS |
= I , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Wм = 12 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.36) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Adl . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Воспользуемся теоремой Стокса |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
∫rot |
|
|
|
= |
|
I |
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
I |
Φ , |
||||||||
|
|
|
|
|
AdS |
|
|
BdS |
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
S |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Φ — поток магнитной индукции.
Поток магнитной индукции пропорционален току:
Φ = L I,
где L — индуктивность контура. Тогда
= LI 2
Wм 2 .
В случае n контуров Li с токами Ii (рис. 3.8) вместо равенства (3.36) получаем
88
Wм = 12 |
n |
|
||||
∑Ii ∫ |
|
|
|
|
(3.37) |
|
Adl . |
||||||
|
i=1 Li |
|
||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
Wм = |
1 ∑Ii Фi , |
(3.38) |
||||
|
2 i=1 |
|
где Фi — поток, пересекающий поверхность Si, ограниченную кон-
туром Li .
Каждый поток линейно связан с токами всех контуров:
Ф |
|
= M |
|
I |
+ M |
12 |
I |
2 |
+ M |
13 |
I |
3 |
+…+ M |
|
I |
+…+ M |
|
I |
; |
|
|
||||||
1 |
|
11 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1i i |
|
|
1n n |
|
|
|
|||||||||||
Ф2 |
= M21I1 |
+ M22I2 + M23I3 +…+ M2i Ii |
+…+ M2n In ; |
(3.39) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
n |
= M |
I |
+ M |
n2 |
I |
2 |
+ M |
n3 |
I |
3 |
+…+ M |
I |
+…+ M |
I . |
|
|
||||||||||
|
|
|
n1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni i |
|
|
nn n |
|
|
Коэффициенты с одинаковыми индексами называются собственными индуктивностями и обозначаются Li . Коэффициенты с
различными индексами называются взаимными индуктивностями и обозначаются Mni .
R2>>R1
I1
I2
Рис. 3.8. К вопросу определения взаимной индуктивности двух витков, находящихся в одной плоскости
Внося (3.39) в (3.38), приходим к следующему выражению магнитной энергии системы контуров:
|
1 |
n n |
1 |
n |
|
1 |
n n |
Wм = |
∑∑Mik Ii Ik = |
∑Li Ii2 |
+ |
∑∑Mik Ii Ik (i ≠k). (3.40) |
|||
|
2 i=1 k=1 |
2 i=1 |
|
2 i=1 k =1 |
89
Причем ниже доказывается, что |
|
Mik = Mki . |
(3.41) |
Первый член в правой части (3.40) соответствует собственной,
авторой — взаимной энергии системы.
Вчастном случае двух контуров (n = 2)
Wм = 1 (L1I12 |
+ L2 I22 )+ M12 I1I2. |
(3.42) |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем равенство (3.41). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Взяв среди n контуров два произвольных (i и k), запишем |
|
||||||||||
|
Фik |
= Mik Ik , |
(3.43) |
||||||||
где Фik — магнитный поток, вызванный током контура Lk |
и про- |
||||||||||
ходящий через поверхность Si , натянутую на контур Li . |
|
||||||||||
Выражая Mik , записываем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
dl |
. |
|
|||||
ik |
|
Ik L∫ |
|
||||||||
|
|
|
|
k i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Но согласно (3.21)
A = 4Iμπ ∫l dlr ,
следовательно, взаимная индуктивность
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mik = |
|
dli |
dlk |
. |
(3.44) |
|||||
4π L∫ |
L∫ |
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|||||||
|
|
i |
k |
|
|
|
|
|
|
|
Формула симметрична относительно индексов i и k. Это значит, что совершенно такое же выражение будет получено и для взаимной индуктивности Mki , определяемой равенством
Фki = Mki Ii , |
(3.45) |
где Фki — магнитный поток, обусловленный током контура Li и проходящий через поверхность, ограниченную контуром Lk .
90