Эконометрика.-6

9.В каких ситуациях используются функции гиперболической зависимости?

10.Как должны формироваться матрицы X и Y, используемые в формулах МНК, при переходе к новым переменным гиперболической зависимости?

11.Что представляют собой графики показательной зависимости для случаев

21.Где используются степенные зависимости?

22.Какой вид имеет график логарифмической зависимости?

23.С помощью какого преобразования осуществляется переход логарифмической зависимости к линейному виду?

24.Как определяется общая сумма квадратов?

25.Как рассчитывается коэффициент детерминации?

26.Какие значения может принимать коэффициент детерминации?

27.В каком случае значение коэффициента детерминации может оказаться отрицательным?

28.Как рассчитывается приведенный коэффициент детерминации?

29.Когда целесообразно использовать приведенный коэффициент детерминации?

30.Каким образом можно вычислить коэффициент корреляции?

31.Какие значения может принимать коэффициент корреляции?

32.Как можно оценить значимость уравнения регрессии?

33.Как осуществляется подбор линеаризующего преобразования с помощью подхода Бокса—Кокса?

34.Как выполняется тест Зарембки?

35.Какие формы зависимости можно выбрать с помощью теста Зарембки?

Глава 5

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

5.1 Понятие гетероскедастичности

Равенство дисперсий возмущений (ошибок) регрессии (гомоскедастичность) является существенным условием линейной классической регрессионной модели

Однако на практике это условие нередко нарушается, и мы имеем дело с гете-

Предположим, что необходимо изучить зависимость размера оплаты труда Y (в усл. ден. ед.) сотрудников фирмы от разряда X , принимающего значения от 1 до 10. Получены n 100 пар наблюдений (xi, yi). График зависимости переменной Y от номеров наблюдений, упорядоченных по возрастанию уровня значений объясняющей переменной X , показан на рисунке 5.1.

Из графика видно, что вариация размера оплаты труда сотрудников высоких уровней значительно превосходит его вариацию для сотрудников низких уровней. Следовательно, можно предположить, что регрессионная модель получится гете-

Гетероскедастичность чаще всего встречается в пространственных выборках, а также во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал качественно неоднородных значений или высокий темп изменения.

Гетероскедастичность увеличивает дисперсию распределения оценок коэффициентов.

Рис. 5.1 – График зависимости Y от номеров наблюдений

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2Графический анализ остатков

Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладывается объясняющая переменная X (либо линейная комбинация объясняющих перемен-

На рисунке 5.2, а все отклонения ε2i находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это говорит о независимости дисперсий ε2i от значений переменной X и их постоянстве, т. е. в этом случае мы находимся в условиях гомоскедастичности.

На рисунке 5.2, б–г наблюдаются некие систематические изменения в соотношениях между значениями xi переменной X и квадратами отклонений ε2i . На рисунке 5.2, в отражена линейная; 5.2, г — квадратичная; 5.2, д — гиперболическая зависимости между квадратами отклонений и значениями объясняющей переменной X . Другими словами, ситуации, представленные на рисунке 5.2, б–д, отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Отметим, что графический анализ отклонений является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных X j , j 1, . . ., p отдельно. Чаще же вместо объясняющих переменных X j по оси абсцисс откладывают значения yi, получаемые из эмпирического уравнения регрессии. Поскольку по уравнению множественной линейной регрессии yi является линейной комбинацией xi j , j 1, . . ., p, то график, отражающий зависимость ε2i от yi, может указать на

наличие гетероскедастичности аналогично ситуациям на рисунке 5.2, б–д. Такой анализ наиболее целесообразен при большом количестве объясняющих переменных.

Рис. 5.2 – Графики остатков

5.3Тесты на гетероскедастичность

Впримере 5.1 наличие гетероскедастичности не вызывает сомнения, — чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на рисунке 5.1. Однако в некоторых случаях гетероскедастичность визуально не столь очевидна.

Рассмотрим еще один пример, в котором исследуется зависимость дохода ин-

дивидуума (Y) от уровня его образования X1, принимающего значения от 1 до 5, по данным n 150 наблюдений. В число объясняющих переменных (регрессоров)

включен также и возраст X2.

На рисунке 5.3 приведен график зависимости переменной Y от номеров наблюдений, упорядоченных по возрастанию уровня значений объясняющей пере-

менной X1.

Хотя диаграмма имеет локально расположенные пики, в целом подобный рисунок может соответствовать как гомо-, так и гетероскедастичной выборке.

Чтобы определить, какая же именно ситуация имеет место, используются тесты на гетероскедастичностъ. Все они используют в качестве нулевой гипотезы H0 гипотезу об отсутствии гетероскедастичности.

Рис. 5.3 – График зависимости переменной Y от номеров наблюдений, упорядоченных по возрастанию уровня значений объясняющей переменной X1

5.3.1 Тест ранговой корреляции Спирмена

Этот тест использует наиболее общие предположения о зависимости дисперсий

При этом никаких дополнительных предположений относительно вида функций fi не делается. Не накладываются также ограничения на закон распределения возмущений (ошибок) регрессии.

Идея теста заключается в том, что абсолютные величины остатков регрессии εi являются оценками σi, поэтому в случае гетероскедастичности абсолютные величины остатков εi и значения регрессоров xi будут коррелированны.

Тест состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Выборка упорядочивается по фактору x. Рассчитываются ранги x (по-

рядковый номер).

Шаг 2. Рассчитывается уравнение регрессии yi Θ0 Θ1x εi. Шаг 3. Вычисляются остатки εi yi yi.

Шаг 4. Выборка снова упорядочивается по величине остатков (по модулю). Рассчитываются ранги (порядковый номер) остатков.

Шаг 5. Рассчитывается коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

Шаг 7. Проверяется гипотеза.

86 Глава 5. Гетероскедастичность

Если в модели регрессии имеется более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием каждой из них.

Условие принятия гипотез: tr tα, n 2.

Если данное условие выполняется, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется при уровне значимости α.

В таблице 5.1 представлена зависимость спроса Y от цены X . Выполнить тест на гетероскедастичность с помощью теста Спирмена.

Решение:

Такой тест удобнее всего выполнять с помощью электронных таблиц Excel. Для проведения теста ранговой корреляции Спирмена необходимо выполнить следующие действия.

1.Отсортировать данные в таблице по возрастанию значений x.

2.Придать каждому наблюдению ранг, для чего необходимо добавить новый столбец, в котором задать числа от 1 до n.

3.Вычислить регрессионные остатки. В Excel это можно выполнить различными способами. Один из них — с помощью функции ЛИНЕЙН (или ОТРЕЗОК, НАКЛОН) найти оценку функции y, а затем вычислить остатки εi как разность

yi yi. Другой способ — с использованием надстройки «Анализ данных. . .». Нужно вызвать опцию «Регрессия», указать диапазон Y и X и выбрать в диалоговом окне опцию «Остатки». После выполнения данной надстройки появится дополнительная таблица, в которой содержатся номера наблюдений, прогнозы и остатки. Тот столбец таблицы, в котором находятся остатки, необходимо перенести к исходным данным. После выполнения этих действий наша таблица будет содержать четыре столбца: ранг наблюдения, упорядоченные значения регрессора x, значения y и значения остатков (табл. 5.2).

Таблица 5.2 – Расчет характеристик

продолжение на следующей странице

4.Отсортировать данные по возрастанию модулей остатков и добавить новый столбец рангов остатков, аналогичным образом задав значения от 1 до n.

5.В дополнительном столбце вычислить значения разности между двумя полученными рангами (это и будет значение di) (табл. 5.3).

Таблица 5.3 – Расчет характеристик

Так как условие tr tα, n 2 не выполняется, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается при уровне значимости α 0.95.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2Тест Парка

Тест Парка осуществляется с помощью следующих шагов. Шаг 1. Рассчитывается уравнение регрессии yi Θ0 Θ1x εi. Шаг 2. Вычисляются остатки εi yi yi.

Шаг 3. Оценивается вспомогательное уравнение регрессии

где xij — i-е значение фактора; vi — случайный остаток.

Шаг 4. Проверяется значимость коэффициента b. Условие принятия гипотезы:

tb tα, n 2.

Если данное условие выполняется, то нулевая гипотеза о наличии гетероскедастичности будет принята при уровне значимости α.

5.3.3 Тест Гольдфельда—Квандта

Этот тест применяется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами. Предположим, что средние квадратические отклонения возмущений σi пропорциональны значениям объясняющей переменной X (это означает постоянство часто встречающегося на практике относительного (а не абсолютного, как в классической модели) разброса возмущений εi регрессионной модели).

В этом случае все наблюдения необходимо упорядочить по мере возрастания значений x. Разделить исходную модель на три равные части. Если количество наблюдение не делится нацело на 3, то уменьшается количество наблюдений в средней части, а первая и вторая части остаются одинаковыми по количеству наблюдений. Затем построить регрессионную модель для первых k и последних k

сутствии гетероскедастичности отвергается. Здесь m — количество объясняющих переменных в уравнении, k — объем подвыборки.

5.4 Устранение гетероскедастичности

Если дисперсии σ2i (i 1, . . ., n) случайной величины известны, то гетероскедастичность устраняется путем нормирования переменных. Для модели парной регрессии такое нормирование будет иметь вид:

Далее может быть использован метод наименьших квадратов. Для парной регрессии минимизируемая функция имеет вид:

Оценки неизвестных параметров могут быть вычислены по формулам:

Также для расчета оценок может быть использован обобщенный МНК. В этом

где V — единичная матрица, диагональные элементы которой равны σ2.

Однако в большинстве случаев информация о дисперсиях σ2i отсутствует. В этом случае используется двухшаговый метод взвешенных наименьших квадратов. Кратко опишем этот метод для гетероскедастичной линейной регрессионной модели

ивычисляется вектор остатков (невязок):

εY Y Y X T b.

90 Глава 5. Гетероскедастичность

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Используя исходные данные таблицы 5.4, найти оценки неизвестных параметров функции регрессии: а) используя обобщенный МНК, б) используя двухфазный МНК, считая, что значения σ2i неизвестны.

Решение:

а) Запишем исходные данные: