Эконометрика.-6

Приложение Е

ТАБЛИЦА КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ КОЛИЧЕСТВА РЯДОВ

Нижняя граница k1

Приложение Ж

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т. е. n n — матрица (при любом целом n 1). Элементы a11, a22, . . ., ann квадратной матрицы обра-

зуют ее главную диагональ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Среди квадратных матриц можно выделить:

диагональную матрицу D, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, т. е.

00 0 . . . 0 dnn

единичную матрицу In, которая является частным случаем n n диагональной матрицы, поскольку все ее диагональные элементы равны единице:

00 0 . . . 0 1

Нижний индекс n определяет размерность матрицы, и в тех случаях, когда эта размерность очевидна из контекста, он может опускаться.

Умножение матрицы на число. Произведение матрицы A на число λ определяется как

λA λaij ,

т. е. каждый элемент матрицы A умножается на это число.

Произведение матриц. Если число столбцов n m-матрицы A равно числу строк m k-матрицы B, то может быть определена операция умножения AB матрицы A на матрицу B (при этом говорят, что «матрица B умножается на матрицу A слева»). Элементы cij такого произведения C AB определяются для всех i 1, 2, . . ., n и j 1, 2, . . ., k соотношениями

m

cij ailblj. l 1

Таким образом, i, j -й элемент произведения C вычисляется как скалярное произведение i-й строки матрицы A и j-гo столбца матрицы B, т. е. как сумма попарных произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие (т. е. стоящие на тех же по порядку местах) элементы j-гo столбца второй матрицы. При этом автоматически определяется размерность матрицы-произведения C: она будет иметь столько же строк (n), сколько имел первый сомножитель, и столько же столбцов (k), сколько их имел второй сомножитель.

Заметим, что при перестановке сомножителей произведение BA может просто не существовать, но даже если оно существует (как это и бывает в случае, если матрицы A и B — квадратные и одной размерности или если сомножители имеют размерности n m и m n), то, вообще говоря, коммутативный закон для умножения

матриц не имеет места, т. е.

AB BA.

Отметим еще несколько полезных для эконометрических приложений свойств произведения матриц.

Произведения вида AAT и AT A играют заметную роль в эконометрических построениях. Так, произведение X T X , в котором матрица X определена соотношением (Ж.1), является непременным «участником» всех основных формул классического метода наименьших квадратов. Заметим, что если A — матрица размерности n m, то произведение AAT будет иметь размерность n n, в то время как произведение AT A — это матрица размерности m m. Но в любом случае произведения вида

AAT и AT A всегда являются квадратными симметрическими матрицами. Обратим

Любой квадратной матрице A можно сопоставить некоторый набор ее числовых характеристик. Одна из таких характеристик называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается det A или A .

Определитель (детерминант) n n-матрицы A вычисляется по формуле:

где суммирование ведется по всем возможным комбинациям различных столбцов (т. е. по всем возможным перестановкам вторых индексов), а υ j1, j2, . . ., jn — это минимальное число инверсий (т. е. парных обменов местами), которое надо совершить с элементами исходной перестановки (1, 2, . . ., n), чтобы получить перестановку j1, j2, . . ., jn . Очевидно, общее число слагаемых в правой части (Ж.5) составит при таком определении n-факториал (n!).

Для малых размерностей матриц это определение приводит, в частности, к следующим результатам:

6)det A 0, если в матрице A есть две одинаковые строки (два одинаковых столбца);

7)инверсия (обмен местами) двух строк (столбцов) матрицы A приводит к изменению знака ее определителя;

8)значение определителя матрицы A не изменится, если к любой его строке (столбцу) добавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

Отметим, что если квадратная матрица имеет отличный от нуля определитель, то она называется невырожденной.

В операциях с числами для любого отличного от нуля числа a существует число a 1 1 a, которое мы называем обратным и которое обладает тем характеристическим свойством, что aa 1 a 1a 1. В матричной алгебре роль единицы, как мы видели, выполняет единичная матрица In, поскольку при умножении на In любой квадратной матрицы размерности n n справа и слева эта матрица не меняется.

Поэтому по аналогии с алгеброй чисел определим: пусть A — квадратная невырожденная (т. e. det A 0) матрица; тогда матрица A 1 называется обратной,

λ1A1 λ2A2 . . . λnAn 01.m

(здесь 01.m, в соответствии с принятыми выше обозначениями, —

это строка длины m, состоящая из нулей).

Аналогично: столбцы A.j a1j, a2j, . . ., anj T , j 1, 2, . . ., m, матри-

цы A называются линейно зависимыми, если существуют числа µ1, µ2, . . ., µm, не все равные нулю, и такие, что

µ1A.1 µ2A.2 . . . µmA.m 0n.1.

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Максимальное число линейно независимых строк n m-матрицы A совпадает с максимальным числом ее линейно независимых столбцов и, одновременно, — с максимальным порядком ее не равного нулю минора (напомним, что минором

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ранг n m-матрицы A (будем обозначать его ранг A) определяется как максимальное число ее линейно независимых столбцов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ранг матрицы A может быть определен и как максимальное число ее линейно независимых строк, и как максимальный порядок ее отличного от нуля минора. Кстати, последнее определение часто бывает наиболее удобным с точки зрения возможности практического вычисления ранга конкретной матрицы. При этом, определяя ранг матрицы как максимальный порядок ее отличного от нуля минора, подразумеваем, что достаточно того, чтобы нашелся хотя бы один ненулевой минор порядка k, в то время как все миноры порядка k 1 уже будут равны нулю. Так, например, в 4 3-матрице

все четыре минора 3-го порядка равны нулю. Следовательно, ранг A 3. И хотя большинство миноров 2-го порядка тоже равно нулю, все-таки существуют миноры этого порядка, отличные от нуля. А это значит, что ранг A 2.

Заметим, что применительно к матрице X наблюденных значений объясняющих переменных в регрессионном анализе линейная зависимость столбцов означает линейную зависимость объясняющих переменных.

Широкий круг задач многомерного статистического анализа и эконометрики сводится (в вычислительном плане) к необходимости анализа и решения параметрического семейства систем уравнений типа

а λ— некоторый числовой параметр. Для того, чтобы существовало нетривиальное

Из правил вычисления определителя матрицы следует, что левая часть представляет собой алгебраический полином от λ степени n, так что соотношение (Ж.7) — это алгебраическое уравнение степени n относительно A. Само это уравнение, а следовательно, и его корни λ1, λ2, . . ., λn по построению полностью определяются элементами матрицы A. Приходим к определению.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Характеристическими (собственными) числами n n-матрицы A называются корни характеристического уравнения (Ж.7).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Беря любое из собственных чисел λi и подставляя его в исходное соотношение (Ж.6), мы получаем уже конкретную систему уравнений (относительно X ) вида

A λiIn X 0n.1.

Существование нетривиального решения X i этого уравнения обеспечивает-

ния (Ж.7), называется характеристическим (собственным) вектором матрицы

A, соответствующим характеристическому (собственному) числу λi.

А поскольку алгебраическое уравнение степени n имеет n корней (среди которых, вообще говоря, могут быть совпадающие и комплексные), то всякая квадратная n n-матрица A имеет n собственных чисел (не обязательно различных) и n соответствующих им собственных векторов.