Эконометрика.-6

Таблица 6.2 – Продолжение

в таблице нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением n, можно предполагать, что найденное значение останется в интервале dв; 4 dв , т. е. для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0.05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений не отвергается (принимается).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В случае присутствия лаговой переменной применяется h-статистика Дарбина— Уотсона:

n

h 1 0.5d , 1 nσ2yi 1

где d — статистика Дарбина—Уотсона; σ2yi 1 — дисперсия оценки коэффициента при лаговой переменной yi 1; n — число наблюдений.

При увеличении объёма выборки распределение h-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения.

Также для проверки гипотезы по h-критерию используется следующее простое правило:

1)если h 1.96, то нулевая гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции в остатках отклоняется;

2)если h 1.96, то нулевая гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции в остатках отклоняется;

3) если 1.96 h 1.96, то нет основания отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при yi 1 велика, то процедура невыполнима.

Кроме теста Дарбина—Уотсона также могут быть использованы и другие тесты. Рассмотрим тест серий (Бреуша—Годфри).

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними

(где εi — остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов) коэффициент ρ окажется значимо отличающимся от нуля.

Это уравнение является авторегрессионным уравнением первого порядка. Практическое применение теста заключается в оценивании методом наимень-

ших квадратов регрессии (6.1) (временной ряд εi 1 представляет ряд εi со сдвигом по времени на единицу).

Преимущество теста Бреуша—Годфри по сравнению с тестом Дарбина—Уотсо- на заключается в первую очередь в том, что он проверяется с помощью статистического критерия, между тем как тест Дарбина—Уотсона содержит зону неопределенности для значений статистики d. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессоров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3 и т. д., что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.

Например, при рассмотрении модели зависимости курса ценной бумаги от времени с помощью метода наименьших квадратов было получено уравнение:

Как видно, значимым оказывается только регрессор εi 1, т. е. существенное влияние на результат наблюдения εi оказывает только одно предыдущее значение εi 1. Положительность оценки соответствующего коэффициента регрессии указывает на положительную корреляцию между ошибками регрессии εi и εi 1.

6.5 Устранение автокорреляции

Одной из причин автокорреляции ошибок регрессии является наличие «скрытых» регрессоров, влияние которых в результате проявляется через случайный член. Выявление этих «скрытых» регрессоров часто позволяет получить регрессионную модель без автокорреляции.

Наиболее часто «скрытыми» регрессорами оказываются лаговые объясняемые переменные. В случае временного ряда вполне естественно предположить, что значения объясняемых переменных зависят не только от включенных уже регрессоров, но и от предыдущих значений объясняемой переменной. Рассмотренные тесты показывают, что это почти всегда имеет место в случае автокорреляции.

Другой механизм образования автокорреляции следующий. Случайные возмущения представляют собой белый шум ξi, но на результат наблюдения yi влияет не только величина ξi, но (хотя обычно и в меньшей степени) несколько предыдущих величин ξi 1, . . ., ξi p.

Например, рассматривая модель формирования курса ценной бумаги A, мы можем считать, что кроме временной тенденции на курс еще влияет конъюнктура рынка, которую в момент времени xi можно считать случайной величиной ξi с нулевым средним и некоторой дисперсией. Будем предполагать, что величины ξi независимы. Естественно ожидать, что на формирование курса в момент времени xi будет оказывать влияние в первую очередь конъюнктура ξi и (в меньшей степени) конъюнктуры в дни предыдущих торгов ξi 1 и т. д.

Рассмотрим регрессионную модель вида:

Будем полагать, что случайные возмущения коррелированны и образуют наи-

где νi i 1, . . ., n представляет белый шум, т. е. последовательность независимых

Полученная модель является классической, так как теперь случайные возму-

Равенство (6.4) имеет смысл только при i 2, так как при i 1 не определены значения лаговых переменных. Параметры модели сохранятся, если при i 1

Преобразование (6.5) называется поправкой Прайса—Уинстона для первого наблюдения. При большом количестве наблюдений поправка Прайса—Уинстона практически не изменяет результат, поэтому ее часто не учитывают, оставляя значение первого наблюдения неопределенным.

Таким образом, при известном значении ρ автокорреляция легко устраняется путем замены переменных. Например, для парной регрессии:

На практике, однако, значение ρ не бывает известно, поэтому в равенстве (6.4) присутствует не точное значение ρ, а наблюдаемое значение его оценки ρ.

Коэффициент может быть определен на основе d-статистики:

ρ1 d2 .

Этот метод дает удовлетворительные результаты при большом числе наблюдений. Другой способ оценить ρ— применить обычный метод наименьших квадратов

к регрессионному уравнению (6.3).

Двухшаговая процедура Дарбина

Как правило, более точную оценку параметра Θ1 дает двухшаговая процедура Дарбина, которая заключается в следующем. Исключая εi из уравнений (6.2)–(6.3), запишем регрессионную модель в виде

Применим к уравнению (6.6) обычный метод наименьших квадратов, включая ρ в число оцениваемых параметров. Получим оценки r и θ величин ρ и Θ1ρ. Тогда оценкой Дарбина является величина:

θ

Θ1 r .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В таблице 6.3 представлены данные о ВВП (xi) и расходах на потребительские товары (yi). Необходимо выполнить тест на автокорреляцию и при необходимости устранить её.

Решение:

По данным таблицы 6.3, используя метод наименьших квадратов, находим оценки неизвестных параметров Θ0, Θ1:

Для устранения автокорреляции определим ρ. Для этого добавим ещё один столбец εi 1 и определим с помощью МНК ρ из уравнения εi ρεi 1 νi. Получим:

ρ0.3936.

Добавим в таблицу 6.3 столбцы y*i , x*i , вычисленные с помощью правил:

y*i yi ρyi 1, x*i xi ρxi 1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Контрольные вопросы по главе 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.Что понимается под автокорреляцией?

2.Какие можно привести примеры автокорреляции?

3.Что представляет собой положительная автокорреляция?

4.Что представляет собой отрицательная автокорреляция?

5.Как записывается формула вычисления случайных остатков в случае автокорреляции первого порядка?

6.Как записывается формула вычисления случайных остатков в случае автокорреляции второго порядка?

7.Что представляют собой модели с распределенными лагами?

8.Какие модели называются авторегресионными?

9.Каковы причины появления лагов?

10.Как с помощью графического метода можно обнаружить автокорреляцию?

11.В чём заключается метод рядов?

12.Что понимается под рядом?

13.В каком случае в методе рядов можно сделать вывод об отрицательной, положительной автокорреляции?

14.Как выполняется тест Дарбина—Уотсона?

15.Как вычисляется статистика d в тесте Дарбина—Уотсона?

16.Какие интервалы попадания статистики d рассматриваются в тесте Дарби- на—Уотсона?

17.Как вычисляется статистика в случае присутствия лаговой переменной?

18.Как выполняется тест серий?

19.В чем преимущество теста серий по сравнению с тестом Дарбина—Уотсона?

20.Как можно устранить автокорреляцию?

21.Какие переменные нужно заменить для устранения автокорреляции?

22.Как оценивается коэффициент ρ при устранении автокорреляции?

23.Что можно определить с помощью двухшаговой процедуры Дарбина?

24.Как реализуется двухшаговая процедура Дарбина?

Глава 7

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

7.1 Расчет эластичностей

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эластичность — показатель, который говорит о том, на сколько процентов изменится значение результирующей переменной при изменении объясняющей переменной на 1%:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим расчет эластичности для различных функций регрессии: 1. Линейная функция:

2. Двойная логарифмическая функция:

3. Линейно-логарифмическая функция:

110 Глава 7. Вопросы практического использования регрессионных моделей

7.2 Мультиколлинеарность

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Мультиколлинеарность может проявляться в функциональной (явной) и стохастической (скрытой) формах.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При функциональной форме мультиколлинеарности (совершенная мультиколлинеарность) по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица особенная, так как содержит линейнозависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т. е. нарушается предпосылка регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.

Мультиколлинеарность может быть проблемой лишь в случае множественной регрессии. Ее суть можно представить на следующем примере совершенной мультиколлинеарности.

Пусть уравнение регрессии имеет вид

YΘ0 Θ1X1 Θ2X2 ε.

Пусть также между объясняющими переменными существует строгая линейная зависимость:

X2 γ0 γ1X1.

Подставив X2 в общее уравнение, получим:

По МНК нетрудно определить коэффициенты a и b. Тогда получим систему двух уравнений:

Θ0 Θ2γ0 a, Θ1 Θ2γ1 b.